Аналоговый фильтр

Аналоговые фильтры - это основной строительный блок обработки сигналов, который широко используется в электронике . Среди множества их применений - разделение аудиосигнала перед подачей на басовые , среднечастотные и высокочастотные динамики ; объединение и последующее разделение нескольких телефонных разговоров на один канал; выделение выбранной радиостанции в радиоприемнике и отказ от других.

Пассивные линейные электронные аналоговые фильтры - это фильтры, которые можно описать линейными дифференциальными уравнениями (линейными); они состоят из конденсаторов , катушек индуктивности и, иногда, резисторов ( пассивных ) и предназначены для работы с постоянно меняющимися ( аналоговыми ) сигналами. Есть много линейных фильтров, которые не являются аналоговыми по реализации ( цифровой фильтр ), и есть много электронных фильтров, которые могут не иметь пассивной топологии - оба из которых могут иметь одинаковую передаточную функцию.фильтров, описанных в этой статье. Аналоговые фильтры чаще всего используются в приложениях фильтрации волн, то есть там, где требуется пропускать определенные частотные компоненты и отклонять другие из аналоговых ( непрерывных ) сигналов.

Аналоговые фильтры сыграли важную роль в развитии электроники. Фильтры сыграли решающую роль в ряде технологических прорывов, особенно в области телекоммуникаций , и стали источником огромных прибылей для телекоммуникационных компаний. Поэтому неудивительно, что ранние разработки фильтров были тесно связаны с линиями передачи . Теория линий передачи породила теорию фильтров, которая изначально приняла очень похожую форму, и основное применение фильтров было для использования в линиях передачи данных. Однако появление методов сетевого синтеза значительно повысило степень контроля разработчика.

Сегодня часто предпочитают выполнять фильтрацию в цифровой области, где сложные алгоритмы намного проще реализовать, но аналоговые фильтры все еще находят применение, особенно для простых задач фильтрации низкого порядка, и часто все еще являются нормой на более высоких частотах, где цифровые технология по-прежнему непрактична или, по крайней мере, менее рентабельна. Везде , где это возможно, и особенно на низких частотах, аналоговые фильтры , теперь реализованы в топологии фильтра , который является активным , чтобы избежать компонентов раны (т.е. катушки индуктивности, трансформаторов и т.д.) , необходимые пассивной топологией.

Можно разработать линейные аналоговые механические фильтры с использованием механических компонентов, которые фильтруют механические колебания или акустические волны. Хотя в самой механике таких устройств мало, их можно использовать в электронике с добавлением преобразователей для преобразования в электрическую область и обратно. Действительно, некоторые из самых ранних идей для фильтров были акустическими резонаторами, потому что в то время электронные технологии были плохо изучены. В принципе, конструкция таких фильтров может быть полностью реализована в виде электронных эквивалентов механических величин с кинетической энергией , потенциальной энергией и тепловой энергией. соответствующие энергии в катушках индуктивности, конденсаторах и резисторах соответственно.

Исторический обзор [ править ]

В истории разработки пассивных аналоговых фильтров можно выделить три основных этапа :

1. Простые фильтры . Частотная зависимость электрического отклика была известна для конденсаторов и катушек индуктивности с самого начала. Явление резонанса также было знакомо с давних пор, и с этими компонентами можно было производить простые фильтры с одной ветвью. Хотя в 1880-х годах были предприняты попытки применить их в телеграфии , эти конструкции оказались неадекватными для успешного мультиплексирования с частотным разделением каналов . Сетевой анализ еще не был достаточно мощным, чтобы предоставить теорию для более сложных фильтров, и прогрессу еще больше мешало общее непонимание природы сигналов в частотной области .
2. Фильтры изображений . Теория фильтров изображений выросла из теории линий передачи, и их разработка была аналогична анализу линии передачи. Впервые могут быть созданы фильтры с точно регулируемыми полосами пропускания и другими параметрами. Эти разработки имели место в 1920-х годах, и фильтры, произведенные для этих конструкций, все еще широко использовались в 1980-х годах, только уменьшаясь по мере сокращения использования аналоговой связи. Их непосредственным применением стало экономически важное развитие мультиплексирования с частотным разделением для использования на междугородных и международных телефонных линиях.
3. Фильтры сетевого синтеза . Математические основы сетевого синтеза были заложены в 30-40-е годы прошлого века. После Второй мировой войны сетевой синтез стал основным инструментом проектирования фильтров . Сетевой синтез поставил проектирование фильтров на прочную математическую основу, освободив его от математически небрежных методов проектирования изображений и разорвав связь с физическими линиями. Суть сетевого синтеза состоит в том, что он создает проект, который (по крайней мере, если он реализован с идеальными компонентами) точно воспроизводит ответ, первоначально указанный втерминах черного ящика .

В этой статье буквы R, L и C используются в их обычном значении для обозначения сопротивления , индуктивности и емкости соответственно. В частности, они используются в комбинациях, таких как LC, для обозначения, например, сети, состоящей только из катушек индуктивности и конденсаторов. Z используется для электрического импеданса , любая 2-контактная ^{[примечание 1]} комбинация элементов RLC, а в некоторых разделах D используется для редко наблюдаемой величины упругости , которая является обратной величине емкости.

Резонанс [ править ]

Ранние фильтры использовали явление резонанса для фильтрации сигналов. Хотя электрический резонанс исследовался исследователями с самого начала, он не был широко понят для инженеров-электриков. Следовательно, гораздо более известная концепция акустического резонанса (которая, в свою очередь, может быть объяснена с точки зрения еще более знакомого механического резонанса ) нашла свой путь в конструкции фильтра, опередив электрический резонанс. ^[1]Резонанс можно использовать для достижения эффекта фильтрации, потому что резонансное устройство будет реагировать на частоты, равные или близкие к резонансной частоте, но не будет реагировать на частоты, далекие от резонанса. Следовательно, частоты, далекие от резонанса, отфильтровываются на выходе устройства. ^[2]

Электрический резонанс [ править ]

Резонанс был замечен в начале экспериментов с лейденской банкой , изобретенной в 1746 году. Лейденская банка накапливает электричество благодаря своей емкости и, по сути, является ранней формой конденсатора. Когда лейденская банка разряжается, позволяя искре прыгать между электродами, разряд является колебательным. Об этом не подозревали до 1826 г., когда Феликс Савари во Франции, а позже (1842 г.) Джозеф Генри ^[3] в США заметил, что стальная игла, помещенная рядом с разрядом, не всегда намагничивает в одном и том же направлении. Они оба независимо друг от друга пришли к выводу, что временное колебание умирает со временем. ^[4]

Герман фон Гельмгольц в 1847 году опубликовал свою важную работу по сохранению энергии ^[5], в которой он использовал эти принципы, чтобы объяснить, почему колебания затухают, а именно сопротивление контура, которое рассеивает энергию колебания в каждом последующем. цикл. Гельмгольц также отметил, что в экспериментах Уильяма Хайда Волластона по электролизу были доказательства колебаний . Волластон пытался разложить воду электрическим током, но обнаружил, что и водород, и кислород присутствуют на обоих электродах. При обычном электролизе они разделяются по одному на каждый электрод. ^[6]

Гельмгольц объяснил, почему колебания затухают, но не объяснил, почему они вообще возникли. Это было оставлено сэру Уильяму Томсону (лорд Кельвин), который в 1853 году постулировал, что в цепи присутствует индуктивность, а также емкость емкости и сопротивление нагрузки. ^[7] Это установило физическую основу явления - энергия, поставляемая банкой, частично рассеивалась в нагрузке, но также частично сохранялась в магнитном поле индуктора. ^[8]

До сих пор исследование касалось собственной частоты переходных колебаний резонансного контура, возникающих в результате внезапного воздействия. Более важным с точки зрения теории фильтров является поведение резонансного контура при возбуждении внешним сигналом переменного тока : возникает внезапный пик в отклике контура, когда частота управляющего сигнала находится на резонансной частоте контура. ^{[примечание 2]} Джеймс Клерк Максвелл услышал об этом явлении от сэра Уильяма Гроува в 1868 году в связи с экспериментами на динамо , ^[9], а также знал о более ранней работе Генри Уайльда в 1866 году. Максвелл объяснил резонанс ^{[примечание 3]}математически, с помощью набора дифференциальных уравнений, во многом в тех же терминах, в которых сегодня описывается RLC-схема . ^{[1] [10] [11]}

Генрих Герц (1887) экспериментально продемонстрировал резонансные явления ^[12] , построив две резонансные цепи, одна из которых приводилась в действие генератором, а другая была настраиваемой и соединялась с первой только электромагнитно (т. Е. Без подключения цепей). Герц показал, что реакция второй цепи была максимальной, когда она была согласована с первой. Диаграммы, представленные Герцем в этой статье, были первыми опубликованными графиками электрического резонансного отклика. ^{[1] [13]}

Акустический резонанс [ править ]

Как упоминалось ранее, именно акустический резонанс вдохновил применение фильтров, первой из которых была телеграфная система, известная как « гармонический телеграф ». Версии принадлежат Элише Грею , Александру Грэму Беллу (1870-е), ^[1] Эрнесту Меркадье и другим. Его цель заключалась в одновременной передаче нескольких телеграфных сообщений по одной и той же линии и представляет собой раннюю форму мультиплексирования с частотным разделением каналов.(FDM). FDM требует, чтобы передающий конец передавал на разных частотах для каждого отдельного канала связи. Это требует индивидуальных настроенных резонаторов, а также фильтров для разделения сигналов на приемном конце. Гармонический телеграф достиг этого с помощью настроенных язычков с электромагнитным приводом на передающем конце, которые будут вибрировать аналогичные язычки на приемном конце. Только язычок с той же резонансной частотой, что и передатчик, будет колебаться в какой-либо значительной степени на приемном конце. ^[14]

Между прочим, гармонический телеграф прямо подсказал Беллу идею телефона. Трости можно рассматривать как преобразователи, преобразующие звук в электрический сигнал и обратно. От этого взгляда на гармонический телеграф до идеи о том, что речь может быть преобразована в электрический сигнал и из него, нет большого скачка. ^{[1] [14]}

Раннее мультиплексирование [ править ]

К 1890-м годам электрический резонанс получил гораздо большее понимание и стал нормальной частью инструментария инженеров. В 1891 году Хутин и Леблан запатентовали схему FDM для телефонных цепей с использованием фильтров резонансных цепей. ^[16] Соперничающие патенты были поданы в 1892 году Майклом Пупином и Джоном Стоуном с похожими идеями, причем приоритет в конечном итоге был отдан Пупину. Однако никакая схема, использующая только простые фильтры резонансной цепи, не может успешно мультиплексировать (т. Е. Комбинировать) более широкую полосу пропускания телефонных каналов (в отличие от телеграфных) без неприемлемого ограничения полосы пропускания речи или разноса каналов, столь широкого, чтобы получить преимущества мультиплексирования неэкономично. ^{[1] [17]}

Основная техническая причина этой трудности заключается в том, что частотная характеристика простого фильтра приближается к падению на 6 дБ / октаву вдали от точки резонанса. Это означает, что если телефонные каналы втиснуты бок о бок в частотный спектр, возникнут перекрестные помехи от соседних каналов в любом заданном канале. Что требуется, так это гораздо более сложный фильтр, который имеет плоскую частотную характеристику в требуемой полосе пропускания, как у низкодобротной резонансной схемы, но который быстро падает в отклике (намного быстрее, чем 6 дБ / октава) при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания, например резонансный контур с высокой добротностью. ^{[примечание 5]}Очевидно, это противоречивые требования, которым должен соответствовать одиночный резонансный контур. Решение этих задач было основано на теории линий передачи, и, следовательно, необходимые фильтры не стали доступными, пока эта теория не была полностью разработана. На этой ранней стадии идея ширины полосы сигнала и, следовательно, необходимость в фильтрах, соответствующих ей, не была полностью понята; действительно, концепция полосы пропускания была полностью утверждена только в 1920 году. ^[18] Для раннего радио хватало концепций добротности, селективности и настройки. Все это должно было измениться с развитием теории линий передачи, на которых основаны фильтры изображения , как объясняется в следующем разделе. ^[1]

На рубеже веков, когда стали доступны телефонные линии, стало популярным добавлять телеграф к телефонным линиям с фантомной цепью заземления . ^{[примечание 6]} LC - фильтр был необходим для предотвращения щелчков телеграфных слышны на телефонной линии. С 1920-х годов для телеграфа FDM на звуковых частотах использовались телефонные линии или симметричные линии, предназначенные для этой цели. Первой из этих систем в Великобритании была установка Siemens и Halske между Лондоном и Манчестером. GEC и AT&Tтакже были системы FDM. Для передачи и приема сигналов использовались отдельные пары. У систем Siemens и GEC было по шесть телеграфных каналов в каждом направлении, у системы AT&T - двенадцать. Все эти системы использовали электронные генераторы для генерации разных несущих для каждого телеграфного сигнала и требовали набора полосовых фильтров для выделения мультиплексированного сигнала на приемном конце. ^[19]

Теория линии передачи [ править ]

Самая ранняя модель линии передачи, вероятно, была описана Георгом Омом (1827 г.), который установил, что сопротивление в проводе пропорционально его длине. ^{[20] [примечание 7]} Таким образом, модель Ома включала только сопротивление. Латимер Кларк отметил, что сигналы задерживаются и растягиваются вдоль кабеля, что является нежелательной формой искажения, которая теперь называется дисперсией, но затем называется задержкой, а Майкл Фарадей (1853) установил, что это связано с емкостью, присутствующей в линии передачи. ^{[21] [примечание 8]} Лорд Кельвин(1854) нашел правильное математическое описание, необходимое в его работе над ранними трансатлантическими кабелями; он пришел к уравнению, аналогичному проведению теплового импульса по металлическому стержню. ^[22] Эта модель включает только сопротивление и емкость, но это все, что нужно для подводных кабелей, в которых преобладают емкостные эффекты. Модель Кельвина предсказывает ограничение на скорость передачи телеграфных сигналов по кабелю, но Кельвин по-прежнему не использовал концепцию полосы пропускания, ограничение было полностью объяснено с точки зрения дисперсии телеграфных символов . ^[1] Математическая модель линии передачи достигла своего полного развития с Оливером Хевисайдом . Хевисайд (1881) представил серию индуктивности и шунта.проводимость в модель, всего четыре распределенных элемента . Эта модель теперь известна как уравнение телеграфа, а параметры распределенных элементов называются константами первичной линии . ^[23]

Из работы Хевисайда (1887 г.) стало ясно, что характеристики телеграфных линий, и особенно телефонных, можно улучшить, добавив к линии индуктивность. ^[24] Джордж Кэмпбелл из AT&T реализовал эту идею (1899 г.), вставив нагрузочные катушки через определенные промежутки вдоль линии. ^[25] Кэмпбелл обнаружил, что помимо желаемых улучшений характеристик линии в полосе пропускания существует также определенная частота, за которой сигналы не могут проходить без большого затухания . Это было результатом того, что катушки нагрузки и емкость линии образуют фильтр нижних частот , эффект, который проявляется только в линиях, включающихсосредоточенные компоненты, такие как загрузочные катушки. Это, естественно, привело Кэмпбелла (1910) к созданию фильтра с лестничной топологией. Достаточно взглянуть на принципиальную схему этого фильтра, чтобы увидеть его связь с загруженной линией передачи. ^[26] Явление отсечки является нежелательным побочным эффектом для загруженных линий, но для телефонных фильтров FDM это именно то, что требуется. Для этого приложения Кэмпбелл произвел полосовые фильтры той же лестничной топологии, заменив катушки индуктивности и конденсаторы на резонаторы и антирезонаторы соответственно. ^{[примечание 9]}И загруженная линия, и FDM принесли AT&T большую экономическую выгоду, и с этого момента это привело к быстрому развитию фильтрации. ^[27]

Фильтры изображений [ править ]

Фильтры, разработанные Кэмпбеллом ^{[примечание 10],} были названы волновыми фильтрами из-за их свойства пропускать одни волны и сильно отклонять другие. Метод, с помощью которого они были разработаны, был назван методом параметров изображения ^{[примечание 11] [29] [30],} а фильтры, разработанные для этого метода, называются фильтрами изображения. ^{[примечание 12]} Метод изображения по существу состоит из определения констант передачи бесконечной цепочки идентичных секций фильтра и последующего завершения желаемого конечного числа секций фильтра в импедансе изображения.. Это в точности соответствует тому, как свойства конечной длины линии передачи выводятся из теоретических свойств бесконечной линии, причем импеданс изображения соответствует характеристическому импедансу линии. ^[31]

С 1920 года Джон Карсон , также работающий в AT&T, начал разрабатывать новый способ рассмотрения сигналов, используя операционное исчисление Хевисайда, которое, по сути, работает в частотной области . Это дало инженерам AT&T новое понимание того, как работают их фильтры, и побудило Отто Зобеля изобрести множество улучшенных форм. Карсон и Зобель неуклонно опровергали многие старые идеи. Например, старые инженеры-телеграфисты думали о сигнале как о единственной частоте, и эта идея сохранялась в эпоху радио, и некоторые все еще полагали, что передача с частотной модуляцией (FM) может быть достигнута с меньшей шириной полосы, чем в основной полосе частот.сигнал вплоть до публикации статьи Карсона 1922 года. ^[32] Еще одно достижение касалось природы шума. Карсон и Зобель (1923) ^[33] рассматривали шум как случайный процесс с непрерывной полосой пропускания, идея, которая намного опередила свое время, и, таким образом, ограничила количество шума, которое он можно было удалить путем фильтрации до той части спектра шума, которая выпала за пределы полосы пропускания. Это тоже поначалу не было общепринятым, в частности, против него выступал Эдвин Армстронг (который, по иронии судьбы, фактически преуспел в снижении шума с помощью широкополосной FM ), и только окончательно решился с работой Гарри Найквиста, чья формула мощности теплового шума хорошо известна. сегодня. ^[34]

Отто Зобель внес несколько улучшений в фильтры изображений и теорию их действия . Зобель ввел термин постоянный фильтр k (или фильтр k-типа), чтобы отличать фильтр Кэмпбелла от более поздних типов, в частности, от фильтра Зобеля, производного от m (или фильтра m-типа). Конкретные проблемы, которые Zobel пытался решить с помощью этих новых форм, заключались в согласовании импеданса в концевых заделках и улучшении крутизны спада. Это было достигнуто за счет увеличения сложности схемы фильтра. ^{[35] [36]}

Более систематический метод создания фильтров изображения был введен Хендриком Боде (1930) и далее развит несколькими другими исследователями, включая Пилоти (1937–1939) и Вильгельма Кауэра (1934–1937). Вместо того, чтобы перечислять поведение (передаточная функция, функция затухания, функция задержки и т. Д.) Конкретной цепи, вместо этого было разработано требование для самого импеданса изображения. Импеданс изображения может быть выражен через импеданс холостого хода и короткого замыкания ^{[примечание 13]} фильтра как . Так как импеданс изображения должен быть реальным в полосах пропускания и мнимым в задерживания согласно теории изображений, существует требование о том , что полюс и нули из Z _O${\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {i} = {\ sqrt {Z_ {o} Z_ {s}}}}$и Z _s отменяются в полосе пропускания и соответствуют в полосе задерживания. Поведение фильтра может быть полностью определено с точки зрения положений в комплексной плоскости этих пар полюсов и нулей. Любая цепь, которая имеет необходимые полюса и нули, также будет иметь требуемый отклик. Кауэр преследовал два связанных вопроса, связанных с этим методом: какая спецификация полюсов и нулей может быть реализована как пассивные фильтры; и какие реализации эквивалентны друг другу. Результаты этой работы привели Кауэра к разработке нового подхода, теперь называемого сетевым синтезом. ^{[36] [37] [38]}

Такой взгляд на конструкцию фильтра «полюса и нули» был особенно полезен, когда набор фильтров, каждый из которых работает на разных частотах, подключен к одной и той же линии передачи. Более ранний подход не мог должным образом справиться с этой ситуацией, но подход полюсов и нулей мог охватить ее, задав постоянный импеданс для комбинированного фильтра. Эта проблема изначально была связана с телефонией FDM, но теперь часто возникает в фильтрах кроссовера громкоговорителей . ^[37]

Фильтры синтеза сети [ править ]

Суть синтеза сети состоит в том, чтобы начать с требуемого отклика фильтра и создать сеть, которая доставляет этот отклик или приближается к нему в определенных границах. Это обратный сетевой анализ, который начинается с данной сети и, применяя различные теоремы об электрических цепях, предсказывает отклик сети. ^[39] Термин впервые был использован в этом значении в докторской диссертации Юк-Винга Ли (1930) и, по-видимому, возник из разговора с Ванневаром Бушем . ^[40]Преимущество сетевого синтеза перед предыдущими методами состоит в том, что он обеспечивает решение, которое точно соответствует проектной спецификации. Это не относится к фильтрам изображения, для их разработки требуется определенный опыт, поскольку фильтр изображения соответствует проектным требованиям только в нереалистичном случае, когда он ограничен своим собственным импедансом изображения, для создания которого потребовалась бы точная искомая схема. . С другой стороны, сетевой синтез заботится о оконечных сопротивлениях, просто вводя их в проектируемую сеть. ^[41]

Разработка сетевого анализа должна была произойти до того, как стал возможен синтез сети. Основу положили теоремы Густава Кирхгофа и других, а также идеи Чарльза Штейнмеца ( фазоры ) и Артура Кеннелли ( комплексный импеданс ) ^[42] . ^[43] Концепция порта также сыграла роль в развитии теории и оказалась более полезной идеей, чем сетевые терминалы. ^{[примечание 1] [36]} Первой вехой на пути к синтезу сети была важная статья Рональда М. Фостера (1924 г.), ^[44] Теорема о реактивности, в котором Фостер вводит идею импеданса точки возбуждения , то есть импеданса, подключенного к генератору. Выражение для этого импеданса определяет отклик фильтра и наоборот, и реализация фильтра может быть получена путем разложения этого выражения. Невозможно реализовать произвольное выражение импеданса в виде сети. Теорема Фостера об реактивном сопротивлении устанавливает необходимые и достаточные условия для реализации: реактивное сопротивление должно алгебраически возрастать с увеличением частоты, а полюса и нули должны чередоваться. ^{[45] [46]}

Вильгельм Кауэр расширил работу Фостера (1926) ^[47] и первым заговорил о реализации однопортового импеданса с заданной частотной функцией. В своей работе Фостер рассматривал только реактивные сопротивления (т.е. только цепи типа LC). Кауэр обобщил это на любую двухэлементную однопортовую сеть, обнаружив, что между ними существует изоморфизм. Он также нашел лестничные реализации ^{[примечание 14]} сети с помощью Томаса Стилтьеса.'непрерывное расширение фракции. Эта работа была основой, на которой был построен сетевой синтез, хотя работа Кауэра поначалу мало использовалась инженерами, частично из-за вмешательства Второй мировой войны, частично по причинам, изложенным в следующем разделе, а частично потому, что Кауэр представил свои результаты, используя топологии, требующие взаимно связанных катушек индуктивности и идеальных трансформаторов. Разработчики стараются по возможности избегать усложнения взаимных индуктивностей и трансформаторов, хотя усилители с двойной настройкой с трансформаторной связью являются обычным способом расширения полосы пропускания без ущерба для селективности. ^{[48] [49] [50]}

Образный метод против синтеза [ править ]

Фильтры изображений продолжали использоваться разработчиками еще долгое время после того, как стали доступны передовые методы сетевого синтеза. Частично причиной этого могла быть просто инерция, но в значительной степени это было связано с большими объемами вычислений, необходимых для фильтров сетевого синтеза, часто нуждающихся в математическом итеративном процессе. Фильтры изображений в своей простейшей форме состоят из цепочки повторяющихся идентичных участков. Дизайн можно улучшить, просто добавив больше секций, а вычисления, необходимые для создания начальной секции, находятся на уровне проектирования «обратной стороны конверта». В случае фильтров сетевого синтеза, с другой стороны, фильтр разработан как единое целое и предназначен для добавления дополнительных секций (т. Е. Увеличения порядка) ^{[примечание 15]}у дизайнера не было бы выбора, кроме как вернуться к началу и начать все сначала. Преимущества синтезированных дизайнов реальны, но они не являются огромными по сравнению с тем, что мог бы достичь опытный дизайнер изображений, и во многих случаях было более экономически выгодно отказаться от трудоемких вычислений. ^[51] Это просто не проблема с современной доступностью вычислительной мощности, но в 1950-х ее не существовало, в 1960-х и 1970-х годах она была доступна только по цене и, наконец, не стала широко доступной для всех разработчиков до 1980-х годов с появление настольного персонального компьютера. Фильтры изображений продолжали разрабатываться до этого момента, и многие из них остались в эксплуатации в 21 веке. ^[52]

Вычислительная сложность метода синтеза сети решалась путем табулирования значений компонентов прототипа фильтра, а затем масштабирования частоты и импеданса и преобразования формы полосы в фактически необходимые. Такой или аналогичный подход уже использовался с фильтрами изображений, например, Зобелем ^[35], но концепция «эталонного фильтра» принадлежит Сидни Дарлингтону . ^[53] Дарлингтон (1939), ^[30] также был первым, кто суммировал значения для фильтров-прототипов сетевого синтеза, ^[54], тем не менее, пришлось ждать до 1950-х годов, прежде чем эллиптический фильтр Кауэра-Дарлингтона впервые вошел в употребление. ^[55]

Когда вычислительная мощность стала доступной, появилась возможность легко разрабатывать фильтры для минимизации любого произвольного параметра, например временной задержки или допуска к вариациям компонентов. Трудности метода изображения прочно остались в прошлом, и даже необходимость в прототипах стала во многом излишней. ^{[56] [57]} Кроме того, появление активных фильтров упростило вычисление, потому что секции можно было изолировать, и итерационные процессы тогда обычно не требовались. ^[51]

Реализуемость и эквивалентность [ править ]

Реализуемость (то есть, какие функции могут быть реализованы как реальные сети с полным сопротивлением) и эквивалентность (какие сети имеют одинаковую функцию) - два важных вопроса в синтезе сетей. По аналогии с лагранжевой механикой Кауэр сформировал матричное уравнение

${\ Displaystyle \ mathbf {[A]} = s ^ {2} \ mathbf {[L]} + s \ mathbf {[R]} + \ mathbf {[D]} = s \ mathbf {[Z]}}$

где [ Z ], [ R ], [ L ] и [ D ] является п х п матрицы, соответственно, полным сопротивления , сопротивления , индуктивности и эластичности в качестве п - сетка сети и ево это комплексная частота оператор . Здесь [ R ], [ L ] и [ D${\ displaystyle \ scriptstyle s = \ sigma + я \ omega}$] имеют связанные энергии, соответствующие кинетической, потенциальной и диссипативной тепловой энергии, соответственно, в механической системе, и здесь могут быть применены уже известные результаты механики. Кауэр определил импеданс движущей точки методом множителей Лагранжа ;

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }(s)={\frac {\det \mathbf {[A]} }{s\,a_{11}}}}$

где a ₁₁ - это дополнение к элементу A _11, к которому должен быть подключен один порт. Из теории устойчивости Кауэр обнаружил, что [ R ], [ L ] и [ D ] все должны быть положительно определенными матрицами, чтобы Z _p ( s ) было реализуемым, если не исключены идеальные преобразователи. В остальном реализуемость ограничивается только практическими ограничениями топологии. ^[39] Эта работа также частично принадлежит Отто Бруну (1931), который работал с Кауэром в США до его возвращения в Германию. ^[49]Хорошо известное условие реализуемости однопортового рационального ^{[примечание 16]} импеданса согласно Кауэру (1929) заключается в том, что он должен быть функцией s , аналитической в ​​правой полуплоскости (σ> 0), иметь положительную действительную часть в правой полуплоскости и принимают действительные значения на действительной оси. Это следует из интегрального представления Пуассона этих функций. Брюн ввел термин положительно-вещественный для этого класса функций и доказал, что это было необходимым и достаточным условием (Кауэр только доказал, что это необходимо), и они распространили работу на мультипорты LC. Теорема Сидни Дарлингтона утверждает, что любая положительно-вещественная функция Z ( s) может быть реализован как двухпортовый без потерь, оканчивающийся положительным резистором R. Никакие резисторы в сети не требуются для реализации указанного отклика. ^{[49] [58] [59]}

Что касается эквивалентности, Кауэр обнаружил, что группа действительных аффинных преобразований ,

${\displaystyle \mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[A]} \mathbf {[T]} }$

куда,

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

инвариантна в Z _p ( s ), то есть все преобразованные сети являются эквивалентами оригинала. ^[39]

Приближение [ править ]

Проблема аппроксимации в синтезе сетей состоит в том, чтобы найти функции, которые будут создавать реализуемые сети, приближенные к заданной функции частоты в произвольно установленных пределах. Проблема аппроксимации является важной проблемой, поскольку требуемая идеальная функция частоты обычно недостижима с рациональными сетями. Например, идеальной заданной функцией часто считается недостижимая передача без потерь в полосе пропускания, бесконечное затухание в полосе задерживания и вертикальный переход между ними. Однако идеальная функция может быть аппроксимирована рациональной функцией , которая становится все ближе к идеалу, чем выше порядок полинома. Первым, кто обратился к этой проблеме, был Стивен Баттерворт (1930), используя свойПолиномы Баттерворта . Независимо, Кауэр (1931) использовал полиномы Чебышева , первоначально применявшиеся к фильтрам изображений, а не к теперь хорошо известной лестничной реализации этого фильтра. ^{[49] [60]}

Фильтр Баттерворта [ править ]

Фильтры Баттерворта - важный класс ^{[примечание 15]} фильтров Стивена Баттерворта (1930) ^[61], которые теперь признаны частным случаем эллиптических фильтров Кауэра . Баттерворт открыл этот фильтр независимо от работы Кауэра и реализовал его в своей версии с каждой секцией, изолированной от следующей, с помощью лампового усилителя, который упростил вычисление значений компонентов, поскольку секции фильтра не могли взаимодействовать друг с другом, и каждая секция представляла один член в Полиномы Баттерворта. Это дает Баттерворту заслугу как первого, кто отклонился от теории параметров изображения, так и первого, кто разработал активные фильтры. Позже было показано, что фильтры Баттерворта могут быть реализованы в лестничной топологии без необходимости в усилителях. Возможно, первым это сделал Уильям Беннетт (1932) ^[62] в патенте, в котором представлены формулы для значений компонентов, идентичные современным. Беннетт, однако, на данном этапе все еще обсуждает проект искусственной линии передачи и поэтому принимает подход с использованием параметров изображения, несмотря на то, что создал то, что теперь можно было бы рассматривать как схему синтеза сети. Он также, похоже, не знает о работе Баттерворта или о связи между ними. ^{[29] [63]}

Метод вставки-потери [ править ]

Метод внесения потерь при разработке фильтров состоит, по сути, в том, чтобы предписать желаемую функцию частоты для фильтра как ослабление сигнала, когда фильтр вставлен между выводами, относительно уровня, который был бы принят, если бы выводы были подключены. друг к другу через идеальный трансформатор, идеально соответствующий им. Версии этой теории принадлежат Сидни Дарлингтону., Вильгельм Кауэр и другие работают более или менее независимо и часто воспринимаются как синоним сетевого синтеза. В этом смысле реализация фильтра Баттерворта является фильтром вносимых потерь, но математически это относительно тривиально, поскольку активные усилители, используемые Баттервортом, гарантируют, что каждый каскад индивидуально работает в резистивной нагрузке. Фильтр Баттерворта становится нетривиальным примером, когда он полностью реализован с пассивными компонентами. Еще более ранним фильтром, который повлиял на метод вносимых потерь, был двухдиапазонный фильтр Norton, в котором входы двух фильтров подключены параллельно и спроектированы так, что объединенный вход представляет постоянное сопротивление. Метод проектирования Нортона вместе с каноническими ЖК-сетями Кауэра и ДарлингтономТеорема о том, что в корпусе фильтра требуются только LC-компоненты, привела к методу вносимых потерь. Однако лестничная топология оказалась более практичной, чем канонические формы Кауэра.^[64]

Метод Дарлингтона является обобщением процедуры, используемой Нортоном. В фильтре Нортона можно показать, что каждый фильтр эквивалентен отдельному фильтру, не имеющему окончаний на общем конце. Метод Дарлингтона применим к более простому и общему случаю 2-портовой сети LC, оконечной на обоих концах. Процедура состоит из следующих шагов:

1. определить полюса заданной функции вносимых потерь,
2. из этого найти комплексную функцию передачи,
3. из этого найти комплексные коэффициенты отражения на оконечных резисторах,
4. найти импеданс точки возбуждения по импедансам короткого замыкания и холостого хода, ^{[примечание 13]}
5. расширить сопротивление точки возбуждения до LC (обычно лестничной) сети.

Дарлингтона дополнительно используется преобразование найдено Hendrik Bode , что предсказанный отклик фильтра , используя неидеальные компоненты , но все с тем же Q . Дарлингтон использовал это преобразование в обратном порядке, чтобы создать фильтры с заданными вносимыми потерями с неидеальными компонентами. Такие фильтры имеют идеальную характеристику вносимых потерь плюс равномерное затухание на всех частотах. ^{[51] [65]}

Эллиптические фильтры [ править ]

Эллиптические фильтры - это фильтры, созданные методом вносимых потерь, которые используют эллиптические рациональные функции в своей передаточной функции в качестве приближения к идеальному отклику фильтра, и результат называется приближением Чебышева. Это тот же метод аппроксимации Чебышева, который использовался Кауэром в фильтрах изображений, но следует методу проектирования вносимых потерь Дарлингтона и использует несколько другие эллиптические функции. Кауэр имел определенные контакты с Дарлингтоном и Bell Labs до Второй мировой войны (какое-то время он работал в США), но во время войны они работали независимо, в некоторых случаях делая одни и те же открытия. Кауэр раскрыл приближение Чебышева к Bell Labs, но не оставил им доказательства. Сергей Щелкуновпри условии, что это и обобщение для всех равных проблем пульсации. Эллиптические фильтры - это общий класс фильтров, который включает несколько других важных классов в качестве частных случаев: фильтр Кауэра (равные пульсации в полосе пропускания и полосе задерживания ), фильтр Чебышева (пульсации только в полосе пропускания), обратный фильтр Чебышева (пульсации только в полосе задерживания) и фильтр Баттерворта. (нет пульсации ни в одном диапазоне). ^{[64] [66]}

Как правило, для фильтров с вносимыми потерями, где нули передачи и бесконечные потери находятся на действительной оси комплексной частотной плоскости (что обычно для минимального количества компонентов), функция вносимых потерь может быть записана как;

${\displaystyle {\frac {1}{1+JF^{2}}}}$

где F - это либо четная (приводящая к антиметрическому фильтру), либо нечетная (приводящая к симметричному фильтру) функция частоты. Нули F соответствуют нулевым потерям, а полюсы F соответствуют нулям передачи. J устанавливает высоту пульсаций в полосе пропускания и потери в полосе задерживания, и эти два конструктивных требования можно менять местами. Нули и полюсы F и J могут быть установлены произвольно. Природа F определяет класс фильтра;

• если F - приближение Чебышева, результатом будет фильтр Чебышева,
• если F - максимально плоское приближение, результатом будет максимально плоский фильтр полосы пропускания,
• если 1 / F - приближение Чебышева, результатом будет обратный фильтр Чебышева,
• если 1 / F - максимально плоское приближение, результатом будет максимально плоский фильтр полосы задерживания,

Возможен чебышёвский отклик одновременно в полосе пропускания и полосе задерживания, например, в эллиптическом фильтре равных пульсаций Кауэра. ^[64]

Дарлингтон рассказывает, что он нашел в нью-йоркской библиотеке оригинальную статью Карла Якоби об эллиптических функциях, опубликованную на латинском языке в 1829 году. В этой статье Дарлингтон был удивлен, обнаружив складные таблицы точных преобразований эллиптических функций, необходимых для чебышевских приближений как Кауэра. параметр изображения и фильтры Дарлингтона от вносимых потерь. ^[51]

Другие методы [ править ]

Дарлингтон считает, что топология связанных настроенных схем включает в себя отдельный метод приближения к методу вносимых потерь, но при этом создает номинально плоские полосы пропускания и полосы задерживания с высоким затуханием. Наиболее распространенная топология для них - это шунтирующие антирезонаторы, соединенные последовательными конденсаторами, реже - индукторами или, в случае двухсекционного фильтра, взаимной индуктивностью. Они наиболее полезны там, где требования к конструкции не слишком строгие, то есть умеренная полоса пропускания, спад и пульсации полосы пропускания. ^[57]

Другие известные разработки и приложения [ править ]

Механические фильтры [ править ]

Эдвард Нортон , около 1930 года, разработал механический фильтр для использования на фонографах и проигрывателях. Нортон разработал фильтр в области электричества, а затем использовал соответствие механических величин электрическим величинам, чтобы реализовать фильтр с использованием механических компонентов. Масса соответствует индуктивности , жесткость - упругости, а демпфирование - сопротивлению . Фильтр был разработан так, чтобы иметь максимально ровную частотную характеристику. ^[59]

В современных конструкциях обычно используются кварцевые фильтры , особенно для узкополосных фильтров. Сигнал существует в виде механической акустической волны, пока он находится в кристалле, и преобразуется преобразователями между электрическими и механическими доменами на выводах кристалла. ^[68]

Фильтры с распределенными элементами [ править ]

Фильтры с распределенными элементами состоят из отрезков линии передачи, которые составляют, по крайней мере, значительную долю длины волны. Все самые ранние неэлектрические фильтры были именно этого типа. Уильям Гершель (1738–1822), например, сконструировал прибор с двумя трубками разной длины, которые ослабляли одни частоты, но не ослабляли другие. Жозеф-Луи Лагранж (1736–1813) изучал волны на струне, периодически нагружаемой грузами. Это устройство никогда не изучалось и не использовалось в качестве фильтра ни Лагранжем, ни более поздними исследователями, такими как Чарльз Годфри. Однако Кэмпбелл использовал результаты Годфри по аналогии.для расчета количества загрузочных катушек, необходимых на его нагруженных линиях, устройство, которое привело к разработке его электрического фильтра. Лагранж, Годфри и Кэмпбелл сделали в своих расчетах упрощающие допущения, игнорирующие распределенную природу их аппаратов. Следовательно, их модели не показывают множественные полосы пропускания, которые характерны для всех фильтров с распределенными элементами. ^[69] Первые электрические фильтры, которые были действительно разработаны по принципам распределенных элементов, были созданы Уорреном П. Мэйсоном, начиная с 1927 года. ^[70]

Поперечные фильтры [ править ]

Поперечные фильтры обычно не связаны с пассивными реализациями, но эту концепцию можно найти в патенте Винера и Ли от 1935 года, в котором описывается фильтр, состоящий из каскада всепроходных секций . ^[71] Выходы различных секций суммируются в пропорциях, необходимых для получения требуемой частотной функции. Это работает по принципу, согласно которому определенные частоты будут находиться в противофазе или близки к ней на разных участках и будут иметь тенденцию отменяться при добавлении. Эти частоты отклоняются фильтром, и из них можно получить фильтры с очень резкими срезами. Этот подход не нашел немедленного применения и не является обычным для пассивных фильтров. Однако этот принцип находит множество применений в качестве реализации активной линии задержки для широкополосныхприложения фильтрации дискретного времени, такие как телевидение, радары и высокоскоростная передача данных. ^{[72] [73]}

Соответствующий фильтр [ править ]

Назначение согласованных фильтров - максимизировать отношение сигнал / шум (S / N) за счет формы импульса. Форма импульса, в отличие от многих других приложений, не важна в радаре, в то время как отношение сигнал / шум является основным ограничением производительности. Фильтры были введены во время Второй мировой войны (описана в 1943 г.) ^[74] Дуайтом Норт и часто называются одноименными « фильтрами Севера ». ^{[72] [75]}

Фильтры для систем управления [ править ]

Системы управления нуждаются в сглаживающих фильтрах в их контурах обратной связи с критериями, позволяющими максимизировать скорость движения механической системы до заданной отметки и в то же время минимизировать перерегулирование и движения, вызванные шумом. Ключевой проблемой здесь является выделение гауссовых сигналов из зашумленного фона. Ранняя статья об этом была опубликована во время Второй мировой войны Норбертом Винером и относилась к аналоговым компьютерам управления зенитным огнем. Руди Калман ( фильтр Калмана ) позже переформулировал это в терминах сглаживания и прогнозирования в пространстве состояний, где он известен как линейно-квадратично-гауссовское управление.проблема. Калман начал интересоваться решениями в пространстве состояний, но, согласно Дарлингтону, этот подход также можно найти в работах Хевисайда и ранее. ^[72]

Современная практика [ править ]

ЖК-фильтры на низких частотах становятся неудобными; компоненты, особенно катушки индуктивности, становятся дорогими, громоздкими, тяжелыми и неидеальными. Практические индукторы 1 H требуют большого количества витков на сердечнике с высокой магнитной проницаемостью; этот материал будет иметь высокие потери и проблемы со стабильностью (например, большой температурный коэффициент). Для таких приложений, как сетевые фильтры, необходимо мириться с неудобствами. Для низкоуровневых и низкочастотных приложений возможны RC-фильтры, но они не могут реализовать фильтры со сложными полюсами или нулями. Если приложение может использовать питание, тогда усилители можно использовать для создания RC- активных фильтров, которые могут иметь сложные полюса и нули. В 1950 -х годах активные RC-фильтры Саллена – Ки были изготовлены с вакуумной трубкой.усилители; эти фильтры заменили громоздкие индукторы громоздкими и горячими вакуумными лампами. Транзисторы предлагали более энергоэффективные конструкции активных фильтров. Позже недорогие операционные усилители позволили использовать другие топологии активных RC-фильтров. Хотя конструкции активных фильтров были обычным явлением на низких частотах, они были непрактичными на высоких частотах, где усилители не были идеальными; LC-фильтры (и фильтры линии передачи) все еще использовались на радиочастотах.

Постепенно низкочастотный активный RC-фильтр был вытеснен фильтром с переключаемыми конденсаторами, который работал в дискретной временной области, а не в непрерывной временной области. Все эти технологии фильтрации требуют прецизионных компонентов для высокопроизводительной фильтрации, а для этого часто требуется настройка фильтров. Регулируемые компоненты дороги, а работа по настройке может быть значительной. Настройка полюсов и нулей эллиптического фильтра 7-го порядка - непростое занятие. Интегральные схемы сделали цифровые вычисления недорогими, поэтому теперь фильтрация низких частот выполняется с помощью цифровых сигнальных процессоров. Такие цифровые фильтрынет проблем с реализацией сверхточных (и стабильных) значений, поэтому настройка или регулировка не требуется. Цифровым фильтрам также не нужно беспокоиться о паразитных путях связи и экранировании отдельных секций фильтра друг от друга. Одним из недостатков является то, что цифровая обработка сигнала может потреблять гораздо больше энергии, чем эквивалентный LC-фильтр. Недорогая цифровая технология в значительной степени вытеснила аналоговые реализации фильтров. Тем не менее, для них все еще есть случайное место в более простых приложениях, таких как связь, где сложные функции частоты не нужны. ^{[76] [77]} Пассивные фильтры по-прежнему являются предпочтительной технологией на микроволновых частотах. ^[78]

См. Также [ править ]

• Аудио фильтр
• Фильтр составного изображения
• Цифровой фильтр
• Электронный фильтр
• Линейный фильтр
• Фильтры синтеза сети

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Белевич, В. Краткое изложение истории теории цепей, Труды IRE , вып. 50, вып. 5, стр 848-855, май 1962. DOI : 10,1109 / JRPROC.1962.288301 .
• Бланшар, Дж., "История электрического резонанса", Bell System Technical Journal , vol. 23. С. 415–433, 1944.
• Кауэр, Э; Матис, Вт; Паули, Р., «Жизнь и работа Вильгельма Кауэра (1900–1945)» , Труды Четырнадцатого Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г.
• Дарлингтон, С., "История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов", IEEE Transactions on Circuits and Systems , vol. 31, стр 3-13, 1984. DOI : 10,1109 / TCS.1984.1085415 .
• Fagen, MD; Миллман, С. История инженерии и науки в системе Bell: Том 5: Науки о коммуникациях (1925–1980) , Лаборатории Белла AT&T, 1984 ISBN 0932764061 . 
• Годфри, Чарльз, "О разрывах, связанных с распространением волнового движения вдоль периодически нагружаемой струны" , Philosophical Magazine , сер. 5, т. 45, нет. 275, стр. 356–363, апрель 1898 г.
• Хант, Брюс Дж., Максвеллианцы , издательство Корнельского университета, 2005 ISBN 0-8014-8234-8 . 
• Lundheim, L, "О формуле Шеннона и Шеннона" , Telektronikk , vol. 98, нет. 1. С. 20–29, 2002.
• Мейсон, Уоррен П., «Электрические и механические аналогии» , Bell System Technical Journal , vol. 20, нет. 4. С. 405–414, октябрь 1941 г.
• Маттеи, Янг, Джонс, Микроволновые фильтры, согласующие импеданс сети и структуры связи , McGraw-Hill 1964.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Фрай, Т.С., «Использование непрерывных дробей в проектировании электрических сетей» , Бюллетень Американского математического общества , том 35, страницы 463–498, 1929 (доступен полный текст).