LC-цепь

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «LC circuit»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Принципиальная схема LC

LC-цепь (слева), состоящая из ферритовой катушки и конденсатора, используемая в качестве настроенной цепи в приемнике для радиочасов.

LC - контур , также называемый резонансный контур , контур или колебательный контур , представляет собой электрическую цепь , состоящую из катушки индуктивности , представлено буквой L, а конденсатор , представленный буквой C, соединены вместе. Схема может действовать как электрический резонатор , электрический аналог камертона , накапливая энергию, колеблющуюся на резонансной частоте схемы .

LC-схемы используются либо для генерации сигналов с определенной частотой, либо для выделения сигнала с определенной частотой из более сложного сигнала; эта функция называется полосовым фильтром . Они являются ключевыми компонентами многих электронных устройств, особенно радиооборудования, используемого в таких схемах, как генераторы , фильтры , тюнеры и смесители частот .

LC-схема является идеальной моделью, поскольку предполагает отсутствие рассеивания энергии из-за сопротивления . Любая практическая реализация LC-цепи всегда будет включать потери из-за небольшого, но ненулевого сопротивления компонентов и соединительных проводов. Целью LC-контура обычно является колебание с минимальным демпфированием , поэтому сопротивление должно быть как можно более низким. Хотя ни одна практическая схема не обходится без потерь, тем не менее поучительно изучить эту идеальную форму схемы, чтобы получить понимание и физическую интуицию. Для модели схемы, включающей сопротивление, см. Схему RLC .

Терминология [ править ]

Описанная выше двухэлементная LC-цепь представляет собой простейший тип индукционно-конденсаторной сети (или LC -цепи ). Его также называют LC-цепью второго порядка, чтобы отличить ее от более сложных (более высокого порядка) LC- цепей с большим количеством катушек индуктивности и конденсаторов. Такие LC-сети с более чем двумя реактивными сопротивлениями могут иметь более одной резонансной частоты .

Порядок сети - это порядок рациональной функции, описывающей сеть, в переменной комплексной частоты s . Как правило, порядок равен количеству элементов L и C в схеме и в любом случае не может превышать это количество.

Операция [ править ]

LC-контур, колеблющийся на своей собственной резонансной частоте , может накапливать электрическую энергию . Смотрите анимацию. Конденсатор накапливает энергию в электрическом поле ( E ) между пластинами, в зависимости от напряжения на нем, а индуктор накапливает энергию в своем магнитном поле ( B ), в зависимости от протекающего через него тока .

Если катушка индуктивности подключена к заряженному конденсатору, напряжение на конденсаторе будет пропускать ток через катушку индуктивности, создавая вокруг нее магнитное поле. Напряжение на конденсаторе падает до нуля, поскольку заряд расходуется текущим током. В этот момент энергия, запасенная в магнитном поле катушки, индуцирует напряжение на катушке, потому что индукторы противодействуют изменениям тока. Это индуцированное напряжение заставляет ток начать перезаряжать конденсатор с напряжением, противоположным полярности его первоначального заряда. В связи с законом Фарадея , в EMFкоторый управляет током, вызвано уменьшением магнитного поля, таким образом, энергия, необходимая для зарядки конденсатора, извлекается из магнитного поля. Когда магнитное поле полностью рассеивается, ток прекращается, и заряд снова сохраняется в конденсаторе с противоположной полярностью, как и раньше. Затем цикл начнется снова, и ток будет течь в обратном направлении через индуктор.

Заряд течет вперед и назад между пластинами конденсатора через катушку индуктивности. Энергия колеблется между конденсатором и катушкой индуктивности до тех пор, пока внутреннее сопротивление (если не восполняется из внешней цепи) не заставит колебания погаснуть. Действие настроенной схемы, математически известной как гармонический осциллятор , похоже на маятник, раскачивающийся взад и вперед, или плеск воды в баке; по этой причине контур также называют контуром резервуара . ^[1] Собственная частота(то есть частота, с которой он будет колебаться при изолировании от любой другой системы, как описано выше) определяется значениями емкости и индуктивности. В большинстве приложений настроенная схема является частью более крупной схемы, которая применяет к ней переменный ток , вызывая непрерывные колебания. Если частота приложенного тока является собственной резонансной частотой схемы ( собственная частота ниже), произойдет резонанс , и небольшой управляющий ток может вызвать колебательные напряжения и токи большой амплитуды. В типичных настроенных схемах электронного оборудования колебания происходят очень быстро, от тысяч до миллиардов раз в секунду.${\ displaystyle f_ {0} \,}$

Эффект резонанса [ править ]

Резонанс возникает, когда LC-цепь возбуждается от внешнего источника с угловой частотой ω _0, при которой индуктивное и емкостное сопротивление равны по величине. Частота, при которой это равенство выполняется для конкретной цепи, называется резонансной частотой. Резонансная частота контура LC является

${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}},}$

где L - индуктивность в генри , а C - емкость в фарадах . Угловая частота ω ₀ имеет единицы радиан в секунду.

Эквивалентная частота в герцах равна

${\ displaystyle f_ {0} = {\ frac {\ omega _ {0}} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {LC}}}}.}$

Приложения [ править ]

Резонансный эффект LC-контура имеет много важных применений в системах обработки сигналов и связи.

• Наиболее распространенное применение танковых схем - настройка радиопередатчиков и приемников. Например, при настройке радио на определенную станцию ​​LC-контуры устанавливаются в резонанс для этой конкретной несущей частоты .
• Последовательный резонансный контур обеспечивает увеличение напряжения .
• Параллельный резонансный контур обеспечивает увеличение тока .
• Параллельный резонансный контур может использоваться в качестве сопротивления нагрузки в выходных цепях ВЧ усилителей. Из-за высокого импеданса коэффициент усиления усилителя максимален на резонансной частоте.
• В индукционном нагреве используются как параллельные, так и последовательные резонансные цепи .

LC-схемы действуют как электронные резонаторы , которые являются ключевым компонентом во многих приложениях:

• Усилители
• Осцилляторы
• Фильтры
• Тюнеры
• Смесители
• Дискриминатор Фостера-Сили
• Бесконтактные карты
• Графические планшеты
• Электронное наблюдение за статьями (теги безопасности)

Решение для временной области [ править ]

Законы Кирхгофа [ править ]

По закону Кирхгофа напряжение V _C на конденсаторе плюс напряжение V _L на катушке индуктивности должно равняться нулю:

${\ displaystyle V_ {C} + V_ {L} = 0.}$

Аналогичным образом, согласно закону Кирхгофа , ток через конденсатор равен току через катушку индуктивности:

${\ displaystyle I_ {C} = I_ {L}.}$

Из определяющих соотношений для элементов схемы мы также знаем, что

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}(t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}$

Дифференциальное уравнение [ править ]

Преобразование и замена дает дифференциальное уравнение второго порядка

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}$

Параметр ω ₀ , резонансная угловая частота , определяется как

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Используя это, можно упростить дифференциальное уравнение:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}$

Связанное преобразование Лапласа IS

${\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,}$

таким образом

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

где j - мнимая единица .

Решение [ править ]

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения есть

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

и может быть решена для A и B с учетом начальных условий. Поскольку экспонента комплексная , решение представляет собой синусоидальный переменный ток . Поскольку электрический ток I является физической величиной, он должен быть действительным. В результате можно показать, что константы A и B должны быть комплексно сопряженными :

${\displaystyle A=B^{*}.}$

Теперь позвольте

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}$

Следовательно,

${\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

Затем мы можем использовать формулу Эйлера для получения действительной синусоиды с амплитудой I ₀ , угловой частотой ω ₀ =1/√ LC, и фазовый угол .${\displaystyle \phi }$

Таким образом, полученное решение становится

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}$

Начальные условия [ править ]

Начальные условия, которые удовлетворяют этому результату, следующие:

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}$

${\displaystyle V(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

Последовательная схема [ править ]

В последовательной конфигурации LC-цепи катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) соединены последовательно, как показано здесь. Общее напряжение V на открытых клеммах - это просто сумма напряжения на катушке индуктивности и напряжения на конденсаторе. Ток I на положительном выводе схемы равен току через конденсатор и катушку индуктивности.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

Резонанс [ править ]

Величина X _L индуктивного сопротивления увеличивается с увеличением частоты, а величина X _C емкостного реактивного сопротивления уменьшается с увеличением частоты. На одной конкретной частоте эти два реактивных сопротивления равны по величине, но противоположны по знаку; эта частота называется резонансной частотой f ₀ для данной цепи.

Следовательно, при резонансе

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{L}&=X_{C},\\\omega L&={\frac {1}{\omega C}}.\end{aligned}}}$

Решая относительно ω , имеем

${\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

которая определяется как резонансная угловая частота контура. Преобразуя угловую частоту (в радианах в секунду) в частоту (в герцах), мы получаем

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

В последовательной конфигурации X _C и X _L компенсируют друг друга. В реальных, а не идеализированных компонентах току противодействует, в основном, сопротивление обмоток катушки. Таким образом, ток, подаваемый в последовательный резонансный контур, максимален при резонансе.

• В пределе f → f ₀ ток максимален. Сопротивление цепи минимальное. В этом состоянии цепь называется цепью акцептора ^[2]
• Для е < е ₀ , X _L «- X _C . Следовательно, схема емкостная.
• Для е > е ₀ , X _L »- X _C . Следовательно, цепь индуктивна.

Импеданс [ править ]

В последовательной конфигурации резонанс возникает, когда комплексный электрический импеданс цепи приближается к нулю.

Сначала рассмотрим импеданс последовательной LC-цепи. Полный импеданс определяется суммой индуктивного и емкостного сопротивлений:

${\displaystyle Z=Z_{L}+Z_{C}.}$

Запись индуктивного сопротивления как Z _L = jωL и емкостного сопротивления как Z _C =1/jωC и замена дает

${\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}.}$

Запись этого выражения под общим знаменателем дает

${\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\omega ^{2}LC-1}{\omega C}}\right).}$

Наконец, определяя собственную угловую частоту как

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

импеданс становится

${\displaystyle Z(\omega )=jL\left({\frac {\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}{\omega }}\right).}$

Числитель означает, что в пределе ω → ± ω ₀ полный импеданс Z будет равен нулю, а в противном случае отличен от нуля. Следовательно, последовательный LC-контур при последовательном включении с нагрузкой будет действовать как полосовой фильтр, имеющий нулевой импеданс на резонансной частоте LC-контура.

Параллельная схема [ править ]

Когда катушка индуктивности (L) и конденсатор (C) подключены параллельно, как показано здесь, напряжение V на открытых выводах равно как напряжению на катушке индуктивности, так и напряжению на конденсаторе. Полный ток I, протекающий через положительный вывод схемы, равен сумме тока, протекающего через катушку индуктивности, и тока, протекающего через конденсатор:

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}=V_{C},\\I&=I_{L}+I_{C}.\end{aligned}}}$

Резонанс [ править ]

Когда X _L равно X _C , два тока ответвления равны и противоположны. Они компенсируют друг друга, чтобы обеспечить минимальный ток в основной линии (в принципе, нулевой ток). Однако между конденсатором и катушкой индуктивности циркулирует большой ток. В принципе, этот циркулирующий ток бесконечен, но на самом деле он ограничен сопротивлением в цепи, особенно сопротивлением в обмотках индуктора. Так как общий ток минимален, в этом состоянии полное сопротивление будет максимальным.

Резонансная частота определяется выражением

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

Обратите внимание, что любой ток ответвления не является минимальным при резонансе, но каждый определяется отдельно путем деления напряжения источника ( V ) на реактивное сопротивление ( Z ). Следовательно, I =V/Z, по закону Ома .

• При f ₀ линейный ток минимален. Общий импеданс максимальный. В этом состоянии схема называется схемой отбраковки . ^[3]
• Ниже f ₀ схема является индуктивной.
• Выше f ₀ цепь емкостная.

Импеданс [ править ]

Такой же анализ можно применить к параллельной LC-цепи. Тогда полный импеданс определяется как

${\displaystyle Z={\frac {Z_{L}Z_{C}}{Z_{L}+Z_{C}}},}$

и после замены Z _L = jωL и Z _C =1/jωC и упрощение, дает

${\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\omega ^{2}LC-1}}.}$

С помощью

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

это еще больше упрощает

${\displaystyle Z(\omega )=-j\left({\frac {1}{C}}\right)\left({\frac {\omega }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right).}$

Обратите внимание, что

${\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty ,}$

но для всех остальных значений ω полное сопротивление конечно. Параллельный LC-контур, соединенный последовательно с нагрузкой, будет действовать как полосовой фильтр, имеющий бесконечный импеданс на резонансной частоте LC-контура. Параллельная LC-цепь, подключенная параллельно нагрузке, будет действовать как полосовой фильтр .

Решение Лапласа [ править ]

LC-цепь может быть решена с помощью преобразования Лапласа .

Пусть общее уравнение будет:

${\displaystyle v_{C}(t)=v(t)}$

${\displaystyle i(t)=C{\frac {\mathrm {d} v_{C}}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle v_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}}$

Пусть дифференциальное уравнение серии LC имеет вид:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{C}(t)=L{\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}+v=LC{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v}$

С начальным состоянием:

${\displaystyle {\begin{cases}v(0)=v_{0}\\i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\end{cases}}}$

Определим:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

${\displaystyle f(t)=\omega _{0}^{2}v_{in}(t)}$

Дает:

${\displaystyle f(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}v}$

Преобразование с помощью Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[f(t)\right]={\mathcal {L}}\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}v\right]}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}V(s)-sv_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}V(s)}$

${\displaystyle V(s)={\frac {sv_{0}+v'_{0}+F(s)}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

Тогда антитрансформация:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {F(s)}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\right]}$

Если входное напряжение является ступенчатой ​​функцией Хевисайда :

${\displaystyle v_{in}(t)=Mu(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[\omega _{0}^{2}{\frac {V_{in}(s)}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\right]={\mathcal {L}}^{-1}\left[\omega _{0}^{2}M{\frac {1}{s(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]=M(1-\cos(\omega _{0}t))}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)+M(1-\cos(\omega _{0}t))}$

Если входное напряжение является синусоидальной функцией:

${\displaystyle v_{in}(t)=U\sin(\omega _{f}t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {U\omega _{f}}{s^{2}+\omega _{f}^{2}}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left[\omega _{0}^{2}{\frac {1}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}{\frac {U\omega _{f}}{s^{2}+\omega _{f}^{2}}}\right]={\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}^{2}U\omega _{f}}{\omega _{f}^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}-{\frac {1}{s^{2}+\omega _{f}^{2}}}\right)\right]={\frac {\omega _{0}^{2}U\omega _{f}}{\omega _{f}^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)-{\frac {1}{\omega _{f}}}\sin(\omega _{f}t)\right)}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)+{\frac {\omega _{0}^{2}U\omega _{f}}{\omega _{f}^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)-{\frac {1}{\omega _{f}}}\sin(\omega _{f}t)\right)}$

История [ править ]

Первое свидетельство того, что конденсатор и индуктор могут вызывать электрические колебания, было обнаружено в 1826 году французским ученым Феликсом Савари . ^{[4] [5]} Он обнаружил, что, когда лейденская банка разряжалась через проволоку, намотанную вокруг железной иглы, иногда игла оставалась намагниченной в одном направлении, а иногда в противоположном. Он правильно пришел к выводу, что это было вызвано затухающим колеблющимся током разряда в проводе, который менял намагниченность иглы назад и вперед до тех пор, пока она не становилась слишком маленькой, чтобы оказывать влияние, оставляя иглу намагниченной в случайном направлении. Американский физик Джозеф Генри повторил эксперимент Савари в 1842 году и пришел к такому же выводу, по-видимому, независимо.^{[6] [7]} Ирландский ученый Уильям Томсон (лорд Кельвин) в 1853 году математически показал, что разряд лейденской банки через индуктивность должен быть колебательным, и определил его резонансную частоту. ^{[4] [6] [7]} Британский радиоисследователь Оливер Лодж , разрядив большую батарею лейденских банок через длинный провод, создал настроенный контур с его резонансной частотой в звуковом диапазоне, который производил музыкальный тон из искры, когда он был разряжен. ^[6] В 1857 году немецкий физик Беренд Вильгельм Феддерсен сфотографировал искру, вызванную резонансным контуром лейденской банки во вращающемся зеркале, предоставив видимые свидетельства колебаний. ^{[4][6] [7]} В 1868 году шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вычислил эффект приложения переменного тока к цепи с индуктивностью и емкостью, показав, что отклик максимален на резонансной частоте. ^[4] Первый примеркривойэлектрического резонанса был опубликован в 1887 году немецким физиком Генрихом Герцем в его новаторской статье об открытии радиоволн, в которой показана длина искры, получаемой от его детекторов с искровым разрядником LC-резонатора, как функция частоты. . ^[4]

Одной из первых демонстраций резонанса между настроенными контурами был эксперимент Лоджа с «синтонными сосудами» около 1889 года. ^{[4] [6]} Он поместил два резонансных контура рядом друг с другом, каждый из которых состоял из лейденского сосуда, подключенного к регулируемой однооборотной катушке. с искровым разрядником. Когда высокое напряжение от индукционной катушки прикладывалось к одному настроенному контуру, создавая искры и, следовательно, колеблющиеся токи, искры возбуждались в другом настроенном контуре только тогда, когда контуры были настроены на резонанс. Лодж и некоторые английские ученые предпочли термин « синтония » для этого эффекта, но термин « резонанс » в конце концов прижился. ^[4] Первое практическое использование LC-цепей было в 1890-х годах врадиопередатчики с искровым разрядником, позволяющие настраивать приемник и передатчик на одну и ту же частоту. Первый патент на радиосистему, позволяющую настройку, был подан Лоджем в 1897 году, хотя первые практические системы были изобретены в 1900 году итальянским пионером радио Гульельмо Маркони . ^[4]

См. Также [ править ]

• Цепь RL
• RC схема
• Схема RLC

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Wikibook Circuit Idea есть страница по теме: Как мы создаем синусоидальные колебания?

• Электрический маятник Тони Купальда - это классический рассказ о работе танка LC
• Способ хранения энергии в схеме параллельного LC - еще один отличный ресурс LC.