Цепь RL

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  "RL circuit"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2006 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Резистор-индуктора цепи ( RL цепи ), или RL - фильтр или сеть RL , является электрическая цепь состоит из резисторов и катушек индуктивности с приводом от напряжения или источника тока . Цепь RL первого порядка состоит из одного резистора и одной катушки индуктивности и является самым простым типом цепи RL.

Схема RL первого порядка является одним из простейших аналоговых электронных фильтров с бесконечной импульсной характеристикой . Он состоит из резистора и катушки индуктивности, подключенных последовательно от источника напряжения или параллельно от источника тока.

Введение [ править ]

Основными пассивными элементами линейной цепи являются резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Эти элементы схемы могут быть объединены в электрическую цепь четырьмя различными способами: RC-цепь , RL-цепь, LC-цепь и RLC-цепь с сокращениями, указывающими, какие компоненты используются. Эти схемы демонстрируют важные типы поведения, которые являются фундаментальными для аналоговой электроники . В частности, они могут действовать как пассивные фильтры . В этой статье рассматривается схема RL как в последовательном, так и в последовательном исполнении.параллельно, как показано на схемах.

На практике, однако, конденсаторы (и RC-цепи) обычно предпочтительнее катушек индуктивности, поскольку их легче изготавливать и, как правило, они физически меньше, особенно для компонентов с более высокой стоимостью.

Обе цепи RC и RL образуют однополюсный фильтр. В зависимости от того, находится ли реактивный элемент (C или L) последовательно с нагрузкой или параллельно с нагрузкой, будет зависеть, является ли фильтр низкочастотным или высокочастотным.

Часто цепи RL используются в качестве источников питания постоянного тока для усилителей RF, где катушка индуктивности используется для пропускания постоянного тока смещения и блокировки возврата RF в источник питания.

Эта статья основана на знании комплексного импеданса представления индукторов и на знании частотной области представления сигналов .

Комплексное сопротивление [ править ]

Комплексное сопротивление Z _L (в омах ) от индуктора с индуктивностью L (в генри ) является

${\displaystyle Z_{L}=Ls\,.}$

Комплексная частота s - это комплексное число ,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

где

• j представляет собой мнимую единицу : j ² = −1 ,
• σ - экспоненциальная постоянная затухания (в радианах в секунду ), а
• ω - угловая частота (в радианах в секунду).

Собственные функции [ править ]

В комплекснозначными собственные функции любого линейного времени инвариантной системы (LTI) имеют следующие формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}$

Из формулы Эйлера , в реальном часть этих собственных функций экспоненциально затухающей синусоиды:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}$

Синусоидальное установившееся состояние [ править ]

Синусоидальное установившееся состояние - это особый случай, когда входное напряжение состоит из чистой синусоиды (без экспоненциального затухания). Как результат,

${\displaystyle \sigma =0}$

и оценка s становится

${\displaystyle s=j\omega \,.}$

Последовательная схема [ править ]

Рассматривая схему как делитель напряжения , мы видим, что напряжение на катушке индуктивности равно:

${\displaystyle V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,}$

а напряжение на резисторе равно:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Текущий [ править ]

Ток в цепи везде одинаковый, так как цепь включена последовательно:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}$

Передаточные функции [ править ]

Функция передачи к напряжению индуктора

${\displaystyle H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.}$

Точно так же передаточная функция для напряжения резистора равна

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.}$

Передаточная функция по отношению к току равна

${\displaystyle H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}$

Полюсы и нули [ править ]

Передаточные функции имеют один полюс, расположенный в

${\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}$

Кроме того, передаточная функция катушки индуктивности имеет ноль, расположенный в начале координат .

Коэффициент усиления и фазовый угол [ править ]

Прирост по двум компонентам находится, принимая величины приведенных выше выражений:

${\displaystyle G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}$

а также

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}$

а фазовые углы равны:

${\displaystyle \phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}$

а также

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}$

Обозначение фазора [ править ]

Эти выражения вместе могут быть заменены на обычное выражение для вектора, представляющего выходные данные:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}}$

Импульсный отклик [ править ]

Импульсная характеристика для каждого напряжения является обратным преобразованием Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящую из импульса или дельта-функции Дирака .

Импульсная характеристика для напряжения катушки индуктивности равна

${\displaystyle h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где u ( t ) - ступенчатая функция Хевисайда, а τ =L/рявляется постоянным время .

Точно так же импульсная характеристика для напряжения резистора равна

${\displaystyle h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}$

Ответ с нулевым вводом [ править ]

Нулевой входной отклик (ZIR), также называемый естественный ответом , из схемы RL описывает поведение цепи после того, как она достигла постоянных напряжений и тока и отключена от любого источника питания. Это называется откликом с нулевым вводом, потому что он не требует ввода.

ZIR цепи RL:

${\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}$

Рекомендации по частотной области [ править ]

Это выражения в частотной области . Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основан на рассмотрении того, что происходит с этим усилением, когда частота становится очень большой и очень маленькой.

При ω → ∞ :

${\displaystyle G_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

При ω → 0 :

${\displaystyle G_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

Это показывает, что если выходной сигнал поступает через катушку индуктивности, высокие частоты пропускаются, а низкие частоты ослабляются (отклоняются). Таким образом, схема ведет себя как фильтр верхних частот . Если, тем не менее, выходной сигнал подается через резистор, высокие частоты отклоняются, а низкие частоты пропускаются. В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр нижних частот . Сравните это с поведением выхода резистора в RC-цепи , где все наоборот.

Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его полосой пропускания . Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал до половины его нефильтрованной мощности, называется его частотой среза . Это требует, чтобы коэффициент усиления схемы был уменьшен до

${\displaystyle G_{L}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}$

Решение вышеуказанного уравнения дает

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}$

это частота, которую фильтр будет ослаблять до половины своей исходной мощности.

Ясно, что фазы также зависят от частоты, хотя в целом этот эффект менее интересен, чем изменение усиления.

При ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

При ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

Таким образом, при постоянном токе (0  Гц ) напряжение резистора находится в фазе с напряжением сигнала, в то время как напряжение катушки индуктивности опережает его на 90 °. По мере увеличения частоты напряжение на резисторе запаздывает на 90 ° относительно сигнала, а напряжение на катушке индуктивности оказывается синфазным с сигналом.

Соображения во временной области [ править ]

Этот раздел основан на знании e , натуральной логарифмической константы .

Самый простой способ вывести поведение во временной области - использовать преобразования Лапласа из выражений для V _L и V _R, приведенных выше. Это эффективно преобразует jω → s . Предполагая ступенчатый вход (т.е. V _in = 0 перед t = 0, а затем V _in = V после):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Разложение по частным дробям и обратное преобразование Лапласа дают:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Таким образом, напряжение на катушке индуктивности с течением времени стремится к 0, в то время как напряжение на резисторе стремится к V , как показано на рисунках. Это согласуется с интуитивно понятным моментом, что на катушке индуктивности будет напряжение только до тех пор, пока ток в цепи изменяется - когда схема достигает своего установившегося состояния, дальнейшее изменение тока и, в конечном счете, отсутствие напряжения на катушке индуктивности.

Эти уравнения показывают, что последовательный RL-контур имеет постоянную времени, обычно обозначаемую τ =L/р время, за которое напряжение на компоненте падает (на катушке индуктивности) или повышается (на резисторе) с точностью до 1/еего окончательного значения. То есть τ - это время, за которое V _L достигает V (1/е) и V _R, чтобы достичь V (1 -1/е) .

Скорость изменения дробная 1 -1/ена τ . Таким образом, при переходе от t = Nτ к t = ( N + 1) τ напряжение переместится примерно на 63% от своего уровня в t = Nτ к своему конечному значению. Таким образом, напряжение на катушке индуктивности упадет примерно до 37% после τ и практически до нуля (0,7%) примерно через 5 τ . Закон Кирхгофа подразумевает, что напряжение на резисторе будет расти с той же скоростью. Когда источник напряжения затем заменяется коротким замыканием, напряжение на резисторе падает экспоненциально с t отV к 0. Резистор разряжается примерно до 37% после τ и практически полностью разряжается (0,7%) примерно через 5 τ . Обратите внимание, что ток I в цепи ведет себя так же, как напряжение на резисторе, в соответствии с законом Ома .

Задержка нарастания или спада в цепи в этом случае вызвана обратной ЭДС от катушки индуктивности, которая по мере того, как ток, протекающий через нее, пытается измениться, предотвращает рост тока (и, следовательно, напряжения на резисторе). или падает намного быстрее, чем постоянная времени цепи. Поскольку все провода имеют некоторую самоиндукцию и сопротивление, все цепи имеют постоянную времени. В результате, когда источник питания включен, ток не мгновенно достигает своего установившегося значения,V/р. Вместо этого для завершения подъема требуется несколько постоянных времени. Если бы это было не так, и ток был достичь устойчивого состояния немедленно, очень сильные индукционные электрические поля будут генерируемым резким изменением в магнитном поле - это привело бы к разрушению воздуха в цепи и электрическую дуге , возможно повреждение компонентов (и пользователей).

Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциального уравнения, описывающего схему:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}}$

Первое уравнение решается с использованием интегрирующего множителя и дает ток, который необходимо дифференцировать, чтобы получить V _L ; второе уравнение простое. Решения точно такие же, как и полученные с помощью преобразований Лапласа.

Уравнение короткого замыкания [ править ]

Для оценки короткого замыкания рассматривается цепь RL. Более общее уравнение:

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}$

С начальным состоянием:

${\displaystyle i(0)=i_{0}}$

Что можно решить с помощью преобразования Лапласа :

${\displaystyle V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI}$

Таким образом:

${\displaystyle I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}}$

Затем антитрансформация возвращается:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]}$

Если напряжение источника является ступенчатой ​​функцией Хевисайда (постоянный ток):

${\displaystyle v_{in}(t)=Eu(t)}$

Возврат:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}$

Если напряжение источника является синусоидальной функцией (переменный ток):

${\displaystyle v_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}$

Возврат:

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left[{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left[e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right]}$

${\displaystyle =i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}\left({\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right)}$

${\displaystyle i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left(\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right)}$

Параллельная схема [ править ]

Параллельная цепь RL обычно представляет меньший интерес, чем последовательная цепь, если она не питается от источника тока. Во многом это связано с тем, что выходное напряжение V _out равно входному напряжению V _in - в результате эта схема не действует как фильтр для входного сигнала напряжения.

Со сложными сопротивлениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}$

Это показывает, что катушка индуктивности отстает от тока резистора (и источника) на 90 °.

Параллельная схема видна на выходе многих схем усилителя и используется для изоляции усилителя от эффектов емкостной нагрузки на высоких частотах. Из-за фазового сдвига, вносимого емкостью, некоторые усилители становятся нестабильными на очень высоких частотах и ​​имеют тенденцию к колебаниям. Это влияет на качество звука и срок службы компонентов (особенно транзисторов), и этого следует избегать.

See also[edit]

• LC circuit
• RC circuit
• RLC circuit
• Electrical network
• List of electronics topics

References[edit]