Гауссов фильтр

Форма импульсной характеристики типичного фильтра Гаусса

В электроники и обработки сигналов , A фильтр Гаусса представляет собой фильтр , чья импульсная характеристика представляет собой гауссово функцию (или приближение к нему, так как истинный гауссов ответ физически нереализуемо , как это имеет бесконечную поддержку). Гауссовские фильтры имеют свойство не иметь перерегулирования входной ступенчатой ​​функции при минимальном времени нарастания и спада. Такое поведение тесно связано с тем, что гауссовский фильтр имеет минимально возможную групповую задержку . Он считается идеальным фильтром во временной области , так же как sinc - идеальным фильтром в частотной области. ^[1] Эти свойства важны в таких областях, как осциллографы ^[2] и цифровые телекоммуникационные системы. ^[3]

Математически фильтр Гаусса изменяет входной сигнал путем свертки с функцией Гаусса; это преобразование также известно как преобразование Вейерштрасса .

Определение [ править ]

Одномерный фильтр Гаусса имеет импульсную характеристику, определяемую выражением

${\displaystyle g(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi }}}\cdot e^{-a\cdot x^{2}}}$

а частотная характеристика дается преобразованием Фурье

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-{\frac {\pi ^{2}f^{2}}{a}}}}$

с обычной частотой. Эти уравнения также могут быть выражены с использованием стандартного отклонения как параметра${\displaystyle f}$

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\cdot \sigma }}\cdot e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

а частотная характеристика определяется выражением

${\displaystyle {\hat {g}}(f)=e^{-{\frac {f^{2}}{2\sigma _{f}^{2}}}}}$

Записав как функцию от двух уравнений для и как функцию от двух уравнений для, можно показать, что произведение стандартного отклонения и стандартного отклонения в частотной области определяется выражением${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle \sigma _{f}}$${\displaystyle {\hat {g}}(f)}$

${\displaystyle \sigma \cdot \sigma _{f}={\frac {1}{2\pi }}}$,

где стандартные отклонения выражены в их физических единицах, например, в случае времени и частоты в секундах и герцах, соответственно.

В двух измерениях это произведение двух таких гауссиан, по одному на направление:

${\displaystyle g(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\cdot e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ ^{[4] [5] [6]}

где x - расстояние от начала координат по горизонтальной оси, y - расстояние от начала координат по вертикальной оси, а σ - стандартное отклонение гауссова распределения.

Цифровая реализация [ править ]

Функция Гаусса предназначена для и теоретически требует бесконечной длины окна. Однако, поскольку он быстро затухает, часто бывает разумно обрезать окно фильтра и реализовать фильтр непосредственно для узких окон, по сути, используя простую функцию прямоугольного окна. В других случаях усечение может привести к значительным ошибкам. Лучших результатов можно достичь, используя вместо этого другую оконную функцию ; подробности см. в реализации масштабного пространства .${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$

Фильтрация включает свертку . Функция фильтра называется ядром интегрального преобразования. Ядро Гаусса непрерывно. Чаще всего дискретный эквивалент - это дискретизированное ядро ​​Гаусса , которое создается точками дискретизации из непрерывного гауссова решения. Альтернативный метод - использовать дискретное ядро ​​Гаусса ^[7], которое имеет лучшие характеристики для некоторых целей. В отличие от дискретизированного ядра Гаусса, дискретное ядро ​​Гаусса является решением дискретного уравнения диффузии .

Поскольку преобразование Фурье функции Гаусса дает функцию Гаусса, сигнал (предпочтительно после разделения на перекрывающиеся оконные блоки) можно преобразовать с помощью быстрого преобразования Фурье , умножить на функцию Гаусса и преобразовать обратно. Это стандартная процедура применения произвольного фильтра с конечной импульсной характеристикой , с той лишь разницей, что преобразование Фурье окна фильтра известно явно.

В соответствии с центральной предельной теоремой гауссианин может быть аппроксимирован несколькими запусками очень простого фильтра, такого как скользящее среднее . Простое скользящее среднее соответствует свертке с постоянным B-сплайном (прямоугольный импульс), и, например, четыре итерации скользящего среднего дают кубический B-сплайн в качестве окна фильтра, который довольно хорошо аппроксимирует гауссиан. Расчет скользящего среднего довольно дешев, поэтому уровни можно легко каскадировать.

В дискретном случае стандартные отклонения связаны соотношением

${\displaystyle \sigma \cdot \sigma _{f}={\frac {N}{2\pi }}}$

где стандартные отклонения выражены в количестве образцов, а N - общее количество образцов. Заимствуя термины из статистики, стандартное отклонение фильтра можно интерпретировать как меру его размера. Частота среза фильтра Гаусса может быть определена стандартным отклонением в частотной области, что дает

${\displaystyle f_{c}=\sigma _{f}={\frac {1}{2\pi \sigma }}}$

где все величины выражены в своих физических единицах. Если измеряется в выборках, частота среза (в физических единицах) может быть рассчитана с помощью${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle f_{c}={\frac {F_{s}}{2\pi \sigma }}}$

где - частота дискретизации. Значение отклика фильтра Гаусса на этой частоте среза составляет exp (-0,5) ≈0,607.${\displaystyle F_{s}}$

Однако чаще определяют частоту среза как точку половинной мощности: где характеристика фильтра снижается до 0,5 (-3 дБ) в спектре мощности или 1 / √ 2  ≈ 0,707 в спектре амплитуды (см. например, фильтр Баттерворта ). Для произвольного значения отсечки 1 / c для отклика фильтра частота отсечки определяется выражением

${\displaystyle f_{c}={\sqrt {2\ln(c)}}\cdot \sigma _{f}}$

Для c = 2 константа перед стандартным отклонением в частотной области в последнем уравнении равна приблизительно 1,1774, что составляет половину полной ширины на половине максимума (FWHM) (см. Функцию Гаусса ). Для c = √ 2 эта константа приблизительно равна 0,8326. Эти значения довольно близки к 1.

Простое скользящее среднее соответствует равномерному распределению вероятностей, и, следовательно, его ширина фильтра размера имеет стандартное отклонение . Таким образом, применение последовательных скользящих средних с размерами дает стандартное отклонение в размере ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {({n}^{2}-1)/12}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {n}_{1},\dots ,{n}_{m}}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {{n}_{1}^{2}+\cdots +{n}_{m}^{2}-m}{12}}}}$

(Обратите внимание, что стандартные отклонения не суммируются, а отклонения суммируются .)

Гауссовскому ядру требуются значения, например, для a, равного 3, ему требуется ядро ​​длиной 17. Фильтр скользящего среднего из 5 точек будет иметь сигму . Выполнение его трижды даст 2,42. Еще неизвестно, в чем преимущество использования гауссовского, а не плохого приближения.${\displaystyle 6{\sigma }-1}$${\displaystyle {\sigma }}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sigma }}$

При применении в двух измерениях эта формула дает гауссову поверхность с максимумом в начале координат, контуры которой представляют собой концентрические окружности с началом координат в центре. Двумерная матрица свертки предварительно вычисляется по формуле и свертывается с двумерными данными. Для каждого элемента в результирующей матрице новое значение устанавливается равным средневзвешенному значению окрестности этого элемента. Фокальный элемент получает наибольший вес (имеющий наивысшее значение Гаусса), а соседние элементы получают меньший вес по мере увеличения их расстояния до фокального элемента. При обработке изображений каждый элемент в матрице представляет атрибут пикселя, такой как яркость или интенсивность цвета, и общий эффект называетсяРазмытие по Гауссу .

Гауссов фильтр не является причинным, что означает, что окно фильтра симметрично относительно начала координат во временной области. Это делает фильтр Гаусса физически нереализуемым. Обычно это не имеет значения для приложений, где полоса пропускания фильтра намного больше, чем сигнал. В системах реального времени задержка возникает из-за того, что входящие отсчеты должны заполнить окно фильтра, прежде чем фильтр может быть применен к сигналу. Хотя никакая задержка не может сделать теоретический фильтр Гаусса причинным (поскольку функция Гаусса везде не равна нулю), функция Гаусса сходится к нулю так быстро, что каузальное приближение может обеспечить любой требуемый допуск с небольшой задержкой, даже с точностью представления с плавающей запятой .

Приложения [ править ]

• GSM, поскольку он применяет модуляцию GMSK
• фильтр Гаусса также используется в GFSK .
• Детектор Canny Edge, используемый при обработке изображений.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]