Сети синтеза фильтры являются фильтрами обработки сигналов , разработанных в сети синтеза метода. Метод произвел несколько важных классов фильтра , включая фильтр Баттерворта , с фильтром Чебышева и эллиптического фильтра . Первоначально он предназначался для применения в разработке пассивных линейных аналоговых фильтров, но его результаты также могут быть применены для реализации в активных фильтрах и цифровых фильтрах . Суть метода заключается в получении значений компонентов фильтра из заданной рациональной функции, представляющей желаемую передаточную функцию .
Описание метода
Метод можно рассматривать как обратную задачу сетевого анализа . Сетевой анализ начинается с сети и, применяя различные теоремы об электрических цепях, предсказывает отклик сети. С другой стороны, синтез сети начинается с желаемого ответа, и его методы создают сеть, которая выводит этот ответ или приближается к нему. [1]
Изначально сетевой синтез был предназначен для создания фильтров, которые раньше назывались волновыми фильтрами, но теперь обычно называются просто фильтрами. То есть фильтры, предназначенные для пропускания волн определенных частот и подавления волн других частот. Сетевой синтез начинается со спецификации передаточной функции фильтра H (s) как функции комплексной частоты s. Это используется для генерации выражения для входного импеданса фильтра (импеданса точки возбуждения), которое затем с помощью процесса непрерывной дроби или частичного дробного расширения приводит к требуемым значениям компонентов фильтра. В цифровой реализации фильтра H (s) могут быть реализованы напрямую. [2]
Преимущества этого метода лучше всего понять, сравнив его с ранее использовавшейся методологией проектирования фильтров - методом изображения . Метод изображения рассматривает характеристики отдельной секции фильтра в бесконечной цепочке ( лестничной топологии ) идентичных секций. Эти фильтры , полученные этим методом , страдают от неточностей в связи с теоретической терминации импеданса, тем изображение импеданса , как правило , не равна фактическому терминации импеданса. С фильтрами синтеза сети оконечные нагрузки включаются в проект с самого начала. Метод изображения также требует определенного опыта со стороны дизайнера. Разработчик должен сначала решить, сколько секций и какого типа следует использовать, а затем после расчета получит передаточную функцию фильтра. Это может быть не то, что требуется, и может быть несколько итераций. С другой стороны, метод сетевого синтеза начинается с требуемой функции и генерирует на выходе секции, необходимые для построения соответствующего фильтра. [2]
В общем, секции сетевого фильтра синтеза имеют одинаковую топологию (обычно это самый простой лестничный тип), но в каждой секции используются разные значения компонентов. Напротив, структура фильтра изображения имеет идентичные значения в каждой секции, как следствие подхода с бесконечной цепочкой, но может изменять топологию от секции к секции для достижения различных желаемых характеристик. В обоих методах используются прототипы фильтров нижних частот с последующими частотными преобразованиями и масштабированием импеданса для получения окончательного желаемого фильтра. [2]
Важные классы фильтров
Класс фильтра относится к классу многочленов, из которых фильтр математически выведен. Порядок фильтра - это количество фильтрующих элементов, присутствующих в лестничной реализации фильтра. Вообще говоря, чем выше порядок фильтра, тем круче переход отсечки между полосой пропускания и полосой задерживания. Фильтры часто называют в честь математика или математика, на котором они основаны, а не в честь первооткрывателя или изобретателя фильтра.
Фильтр Баттерворта
Фильтры Баттерворта описываются как максимально плоские, что означает, что отклик в частотной области является наиболее гладкой кривой любого класса фильтров эквивалентного порядка. [3]
Класс фильтров Баттерворта был впервые описан в статье 1930 года британским инженером Стивеном Баттервортом, в честь которого он назван. Отклик фильтра описывается полиномами Баттерворта , также принадлежащими Баттерворту. [4]
Фильтр Чебышева
Фильтр Чебышева имеет более быстрый переход среза, чем фильтр Баттерворта, но за счет появления пульсаций в частотной характеристике полосы пропускания. Необходимо найти компромисс между максимально допустимым затуханием в полосе пропускания и крутизной характеристики отсечки. Его также иногда называют фильтром Чебышева типа I. Тип 2 представляет собой фильтр без пульсаций в полосе пропускания, но с пульсациями в полосе задерживания. Фильтр назван в честь Пафнутия Чебышева , полиномы Чебышева которого используются при выводе передаточной функции. [3]
Фильтр Кауэра
Фильтры Кауэра имеют одинаковую максимальную пульсацию в полосе пропускания и полосе задерживания. Фильтр Кауэра имеет более быстрый переход от полосы пропускания к полосе задерживания, чем любой другой класс фильтров синтеза сети. Термин фильтр Кауэра может использоваться как синоним эллиптического фильтра, но в общем случае эллиптические фильтры могут иметь неравные колебания в полосе пропускания и полосе задерживания. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в полосе пропускания идентичен фильтру Чебышева типа 2. Эллиптический фильтр в пределе нулевой пульсации в полосе задерживания идентичен фильтру Чебышева типа 1. Эллиптический фильтр в пределах нулевой пульсации в обеих полосах пропускания идентичен фильтру Баттерворта. Фильтр назван в честь Вильгельма Кауэра, а передаточная функция основана на эллиптических рациональных функциях . [5] В фильтрах типа Кауэра используются обобщенные непрерывные дроби . [6] [7] [8]
Фильтр Бесселя
Фильтр Бесселя имеет максимально плоскую временную задержку ( групповую задержку ) по всей полосе пропускания. Это дает фильтру линейную фазовую характеристику и приводит к передаче сигналов с минимальными искажениями. Фильтр Бесселя имеет минимальные искажения во временной области из-за фазовой характеристики с частотой, в отличие от фильтра Баттерворта, который имеет минимальные искажения в частотной области из-за характеристики затухания с частотой. Фильтр Бесселя назван в честь Фридриха Бесселя, а передаточная функция основана на полиномах Бесселя . [9]
Сопротивление ведущей точки
Импеданс точки возбуждения - это математическое представление входного импеданса фильтра в частотной области с использованием одного из множества обозначений, таких как преобразование Лапласа (s-область) или преобразование Фурье ( jω-область ). Рассматривая его как однопортовую сеть, выражение расширяется с использованием расширений непрерывной дроби или частичной дроби . В результате расширение преобразуется в сеть (обычно лестничную сеть) электрических элементов. Получение выхода с конца этой сети, реализованное таким образом, преобразует его в двухпортовый сетевой фильтр с желаемой передаточной функцией. [1]
Не все возможные математические функции для импеданса точки возбуждения могут быть реализованы с использованием реальных электрических компонентов. Вильгельм Кауэр (вслед за Р. М. Фостером [10] ) сделал большую часть ранней работы над тем, какие математические функции могут быть реализованы и в каких топологиях фильтров . Повсеместная лестничная топология проектирования фильтров названа в честь Кауэра. [11]
Существует ряд канонических форм импеданса управляющей точки, которые можно использовать для выражения всех (кроме простейших) реализуемых импедансов. Наиболее известные из них: [12]
- Первая форма импеданса точки возбуждения состоит из лестницы шунтирующих конденсаторов и последовательных катушек индуктивности и наиболее полезна для фильтров нижних частот .
- Вторая форма импеданса точки возбуждения состоит из лестницы последовательных конденсаторов и шунтирующих катушек индуктивности и наиболее полезна для фильтров верхних частот .
- Первая форма импеданса возбуждающей точки Фостера состоит из параллельно соединенных LC-резонаторов (последовательные LC-цепи) и наиболее полезна для полосовых фильтров .
- Вторая форма импеданса возбуждающей точки Фостера состоит из последовательно соединенных LC-антирезонаторов (параллельных LC-цепей) и наиболее полезна для полосовых фильтров .
Дальнейшая теоретическая работа над реализуемыми фильтрами в терминах данной рациональной функции как передаточной функции была проделана Отто Бруном в 1931 году [13] и Ричардом Даффином с Раулем Боттом в 1949 году. [14] Работа была обобщена в 2010 году Джоном Хаббардом . [15] Когда функция передачи задается в виде положительной вещественной функцией (множество положительных действительных чисел является инвариантной под передаточной функцией), то сеть пассивных компонентов (резисторы, катушки индуктивности и конденсаторов) может быть разработана с этой передачей функция.
Фильтры-прототипы
Фильтры-прототипы используются, чтобы сделать процесс создания фильтров менее трудоемким. Прототип обычно представляет собой фильтр нижних частот с единичным номинальным сопротивлением и единичной частотой среза , хотя возможны и другие схемы. Полные расчетные расчеты по соответствующим математическим функциям и полиномам выполняются только один раз. Фактический требуемый фильтр получается путем масштабирования и преобразования прототипа. [16]
Значения элементов прототипа публикуются в таблицах, одна из первых принадлежит Сидни Дарлингтону . [17] И современные вычислительные мощности, и практика прямого внедрения функций передачи фильтров в цифровой области в значительной степени сделали эту практику устаревшей.
Для каждого порядка фильтров в каждом классе требуется свой прототип. Для тех классов, в которых присутствует пульсация затухания, для каждого значения пульсации требуется другой прототип. Тот же прототип можно использовать для создания фильтров, которые имеют форму полосы, отличную от прототипа. Например , низкий проход , высоких частот , полосовой и полосовой стоп - фильтров все могут быть получены из того же самого прототипа. [18]
Смотрите также
- Линейный фильтр
Заметки
- ^ а б Э. Кауэр, стр. 4
- ^ a b c Matthaei, стр 83-84
- ^ a b Matthaei et al., стр 85-108
- ^ Баттерворт, S, "Теория фильтров-усилителей", Wireless Engineer , vol. 7 , 1930, стр. 536-541.
- ^ Mathaei, P95
- ^ Фрай, TC (1929). «Использование непрерывных дробей при проектировании электрических сетей» . Бык. Амер. Математика. Soc . 35 (4): 463–498. DOI : 10,1090 / s0002-9904-1929-04747-5 . Руководство по ремонту 1561770 .
- ^ Милтон. GW (1987). «Многокомпонентные композиты сетей и новые типы цепной дроби. I». Comm. Математика. Физика . 111 (2): 281–327. Bibcode : 1987CMaPh.111..281M . DOI : 10.1007 / bf01217763 . Руководство по ремонту 0899853 .
- ^ Милтон. GW (1987). «Многокомпонентные композиты сетей и новые типы цепной дроби. II». Comm. Математика. Физика . 111 (3): 329–372. Bibcode : 1987CMaPh.111..329M . DOI : 10.1007 / bf01238903 . Руководство по ремонту 0900499 .
- ^ Маттеи, pp108-113
- ^ Фостер, Р.М., «Теорема о реактивном сопротивлении», Bell System Technical Journal , том 3 , стр 259-267, 1924.
- ^ Э. Кауэр, p1
- ^ Дарлингтон, S, "История сетевого синтеза и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов", IEEE Trans. Цепи и системы , том 31 , стр. 6, 1984.
- ↑ Отто Брун (1931) «Синтез конечной двухполюсной сети, импеданс ведущей точки которой является заданной функцией частоты», MIT Journal of Mathematics and Physics , Vol 10, pp 191–236
- ^ Ричард Даффин и Рауль Ботт , "Синтез импеданса без использования трансформаторов", Журнал прикладной физики 20: 816
- ^ Джон Х. Хаббард (2010) «Ботт-Даффиновый синтез электрических цепей», стр.33-40в «Праздновании математического наследия Рауля Ботта» , редактора П. Роберта Котюги, CRM Proceedings and Lecture Notes # 50, American Mathematical Общество
- ^ Маттеи, P83
- ^ Дарлингтон, S, "Синтез реактивных 4-полюсных выводов, которые производят предписанные характеристики вносимых потерь", Jour. Математика. и Phys. , Vol 18 , pp257-353, сентябрь 1939 г.
- ^ См Matthaei примеры.
Рекомендации
- Маттеи, Янг, Джонс, Микроволновые фильтры, согласующие импеданс сети и структуры связи , McGraw-Hill 1964.
- Э. Кауэр, В. Матис и Р. Паули, «Жизнь и работа Вильгельма Кауэра (1900–1945)», Труды Четырнадцатого Международного симпозиума по математической теории сетей и систем (MTNS2000) , Перпиньян, июнь 2000 г. Проверено онлайн 19 сентября 2008 г.