Обобщенная цепная дробь

В комплексном анализе , разделе математики, обобщенная цепная дробь - это обобщение правильных цепных дробей в канонической форме, в которой частные числители и частные знаменатели могут принимать произвольные комплексные значения.

Обобщенная цепная дробь - это выражение вида

${\ displaystyle x = b_ {0} + {\ cfrac {a_ {1}} {b_ {1} + {\ cfrac {a_ {2}} {b_ {2} + {\ cfrac {a_ {3}} {) b_ {3} + {\ cfrac {a_ {4}} {b_ {4} + \ ddots \,}}}}}}}}}$

где a _n ( n > 0) - частные числители, b _n - частные знаменатели, а главный член b ₀ называется целой частью непрерывной дроби.

Последовательные подходящие дроби непрерывной дроби образуются путем применения основных рекуррентных формул :

${\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {A_ {0}} {B_ {0}}} = b_ {0}, \ qquad x_ {1} = {\ frac {A_ {1}} {B_ {1}) }}} = {\ frac {b_ {1} b_ {0} + a_ {1}} {b_ {1}}}, \ qquad x_ {2} = {\ frac {A_ {2}} {B_ {2 }}} = {\ frac {b_ {2} (b_ {1} b_ {0} + a_ {1}) + a_ {2} b_ {0}} {b_ {2} b_ {1} + a_ {2 }}}, \ qquad \ cdots \,}$

где _п является числителем и В _п есть знаменатель , называется продолженностями , ^{[1] [2]} из п - й сходящихся. Они задаются рекурсией ^[3]

${\ Displaystyle A_ {n} = b_ {n} A_ {n-1} + a_ {n} A_ {n-2}, \ qquad B_ {n} = b_ {n} B_ {n-1} + a_ { n} B_ {n-2} \ qquad (n \ geq 1) \,}$

с начальными значениями

${\ displaystyle A _ {- 1} = 1, \ quad A_ {0} = b_ {0}, \ quad B _ {- 1} = 0, \ quad B_ {0} = 1.}$

Если последовательность сходящихся { x _n } приближается к пределу, непрерывная дробь сходится и имеет определенное значение. Если последовательность подходящих дробей никогда не приближается к пределу, непрерывная дробь расходится. Он может расходиться из-за колебаний (например, нечетные и четные сходящиеся могут приближаться к двум разным пределам), или он может давать бесконечное количество нулевых знаменателей B _n .

История [ править ]

История непрерывных дробей начинается с алгоритма Евклида , ^[4] процедуры нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел m и n . В этом алгоритме появилась идея деления для извлечения нового остатка, а затем многократного деления на новый остаток.

Прошло почти две тысячи лет, прежде чем Рафаэль Бомбелли ^[5] в середине XVI века изобрел метод аппроксимации корней квадратных уравнений с непрерывными дробями. Теперь темпы развития ускорились. Всего 24 года спустя, в 1613 году, Пьетро Катальди ввел первое формальное обозначение ^[6] для обобщенной цепной дроби. Катальди представил непрерывную дробь как

${\ displaystyle a_ {0}. \,}$& & &${\ displaystyle n_ {1} \ over d_ {1}.}$${\ displaystyle n_ {2} \ over d_ {2}.}$${\ displaystyle {n_ {3} \ over d_ {3}},}$

с точками, указывающими, где идет следующая дробь, и каждый & представляет современный знак плюс.

В конце XVII века Джон Уоллис ^[7] ввел в математическую литературу термин «непрерывная дробь». Недавно появились новые методы математического анализа ( исчисление Ньютона и Лейбница ), и поколение современников Уоллиса применили эту новую фразу.

В 1748 году Эйлер опубликовал теорему, показывающую, что определенный вид цепной дроби эквивалентен некоторому очень общему бесконечному ряду . ^[8] Формула непрерывной дроби Эйлера до сих пор является основой многих современных доказательств сходимости цепных дробей .

В 1761 году Иоганн Генрих Ламберт дал первое доказательство того, что π иррационально , используя следующую цепную дробь для tan x : ^[9]

${\ displaystyle \ tan (x) = {\ cfrac {x} {1 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {3 + {\ cfrac {-x ^ {2}} {5 + {\ cfrac {) -x ^ {2}} {7 + {} \ ddots}}}}}}}}}$

Непрерывные дроби также могут быть применены к задачам теории чисел и особенно полезны при изучении диофантовых уравнений . В конце восемнадцатого века Лагранж использовал непрерывные дроби для построения общего решения уравнения Пелля , отвечая таким образом на вопрос, который интересовал математиков более тысячи лет. ^[10] Удивительно, но открытие Лагранжа подразумевает, что расширение канонической непрерывной дроби квадратного корня из любого целого неквадратного числа является периодическим и что, если период имеет длину p > 1, он содержит палиндромную строку длины p - 1.

В 1813 году Гаусс вывел из комплекснозначных гипергеометрических функций то, что сейчас называется цепными дробями Гаусса . ^[11] Их можно использовать для выражения многих элементарных функций и некоторых более сложных функций (таких как функции Бесселя ) в виде цепных дробей, которые быстро сходятся почти всюду в комплексной плоскости.

Обозначение [ править ]

Представленное во введении выражение длинной непрерывной дроби, вероятно, является наиболее интуитивно понятной формой для читателя. К сожалению, в книге он занимает много места (да и наборщику это непросто). Поэтому математики придумали несколько альтернативных обозначений. Один из удобных способов выражения обобщенной непрерывной дроби выглядит так:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{b_{1}+}}\,{\frac {a_{2}}{b_{2}+}}\,{\frac {a_{3}}{b_{3}+}}\cdots }$

Прингсхайм написал обобщенную цепную дробь следующим образом:

${\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}\mid }{\mid b_{1}}}+{\frac {a_{2}\mid }{\mid b_{2}}}+{\frac {a_{3}\mid }{\mid b_{3}}}+\cdots \,}$.

Карл Фридрих Гаусс вызвал более знакомое бесконечное произведение Π, когда придумал это обозначение:

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Здесь «K» означает Kettenbruch , немецкое слово «непрерывная дробь». Это, вероятно, самый компактный и удобный способ выразить непрерывные дроби; однако он не получил широкого распространения среди английских наборщиков.

Некоторые элементарные соображения [ править ]

Вот некоторые элементарные результаты, имеющие принципиальное значение для дальнейшего развития аналитической теории цепных дробей.

Частичные числители и знаменатели [ править ]

Если один из частичных числителей a _{n +1} равен нулю, бесконечная цепная дробь

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

на самом деле это просто конечная цепная дробь с n дробными членами и, следовательно, рациональная функция первых n a _i и первых ( n + 1) b _i . Такой объект малоинтересен с точки зрения математического анализа, поэтому обычно предполагается, что ни одно из значений a _i = 0. Нет необходимости накладывать это ограничение на частные знаменатели b _i .

Формула детерминанта [ править ]

Когда n- я сходящаяся дробь непрерывной дроби

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

выражается простой дробью x _n = A _n / B _n, мы можем использовать формулу определителя

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=(-1)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\Pi _{i=1}^{n}(-a_{i})}$

( 1 )

связать числители и знаменатели последовательных подходящих дробей x _n и x _{n -1} друг с другом. Доказательство этого легко увидеть по индукции.

Базовый вариант

Это банально правда.

Индуктивный шаг

Предположим, что ( 1 ) выполняется для . Затем нам нужно увидеть, что такое же отношение справедливо для . Подставляя значение и в 1, получаем:${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&=b_{n}A_{n-1}B_{n-1}+a_{n}A_{n-1}B_{n-2}-b_{n}A_{n-1}B_{n-1}-a_{n}A_{n-2}B_{n-1}\\&=a_{n}(A_{n-1}B_{n-2}-A_{n-2}B_{n-1})\end{aligned}}}$

что верно в силу нашей гипотезы индукции.

${\displaystyle A_{n-1}B_{n}-A_{n}B_{n-1}=(-1)^{n}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=\Pi _{i=1}^{n}(-a_{i})\,}$

В частности, если ни B _n, ни B _{n -1} не равны нулю, мы можем выразить разницу между n- й и n- й ( n > 0) подходящими дробями следующим образом:

${\displaystyle x_{n-1}-x_{n}={\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}-{\frac {A_{n}}{B_{n}}}=(-1)^{n}{\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{B_{n}B_{n-1}}}={\frac {\Pi _{i=1}^{n}(-a_{i})}{B_{n}B_{n-1}}}.\,}$

Преобразование эквивалентности [ править ]

Если { c _i } = { c ₁ , c ₂ , c ₃ , ...} - любая бесконечная последовательность ненулевых комплексных чисел, мы можем доказать по индукции , что

${\displaystyle b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b_{0}+{\cfrac {c_{1}a_{1}}{c_{1}b_{1}+{\cfrac {c_{1}c_{2}a_{2}}{c_{2}b_{2}+{\cfrac {c_{2}c_{3}a_{3}}{c_{3}b_{3}+{\cfrac {c_{3}c_{4}a_{4}}{c_{4}b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

где равенство понимается как эквивалентность, то есть последовательные подходящие дроби непрерывной дроби слева точно такие же, как подходящие дроби дроби справа.

Преобразование эквивалентности является совершенно общим, но два частных случая заслуживают особого упоминания. Во-первых, если ни один из a _i не равен нулю, можно выбрать последовательность { c _i }, чтобы сделать каждый частичный числитель равным 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{c_{i}b_{i}}}\,}$

где c ₁ = 1 / a ₁ , c ₂ = a ₁ / a ₂ , c ₃ = a ₂ / ( a ₁ a ₃ ), и в общем случае c _{n +1} = 1 / ( a _{n +1} c _n ).

Во-вторых, если ни один из частичных знаменателей b _i не равен нулю, мы можем использовать аналогичную процедуру для выбора другой последовательности { d _i }, чтобы сделать каждый частный знаменатель равным 1:

${\displaystyle b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {d_{i}a_{i}}{1}}\,}$

где d ₁ = 1 / b _1, иначе d _{n +1} = 1 / ( b _n b _{n +1} ).

Эти два частных случая преобразования эквивалентности чрезвычайно полезны при анализе общей проблемы сходимости .

Простые концепции конвергенции [ править ]

Как уже отмечалось, непрерывная дробь

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

сходится, если последовательность подходящих дробей { x _n } стремится к конечному пределу.

Понятие абсолютной сходимости играет центральную роль в теории бесконечных рядов . Соответствующего понятия не существует в аналитической теории цепных дробей - другими словами, математики не говорят об абсолютно сходящейся цепной дроби. Однако иногда понятие абсолютной конвергенции все же входит в дискуссию, особенно при изучении проблемы конвергенции. Например, конкретная непрерывная дробь

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{b_{i}}}\,}$

расходится по колебанию, если ряд b ₁ + b ₂ + b ₃ + ... абсолютно сходится. ^[12]

Иногда частные числители и частные знаменатели непрерывной дроби выражаются как функции комплексной переменной z . Например, относительно простая функция ^[13] может быть определена как

${\displaystyle f(z)={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {1}{z}}.\,}$

Для такой цепной дроби понятие равномерной сходимости возникает вполне естественно. Непрерывная дробь одной или нескольких комплексных переменных сходится равномерно в открытой окрестности Ω, если сходящиеся дроби равномерно сходятся в каждой точке Ω. Или, точнее: если для любого ε > 0 может быть найдено целое число M такое, что модуль разности

${\displaystyle f(z)-f_{n}(z)={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}(z)}{b_{i}(z)}}-{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}(z)}{b_{i}(z)}}\,}$

меньше ε для любой точки z в открытой окрестности Ω, когда n > M , цепная дробь, определяющая f ( z ), сходится равномерно на Ω. (Здесь f _n ( z ) обозначает n- ю сходящуюся дробь непрерывной дроби, вычисленную в точке z внутри Ω, а f ( z ) - значение бесконечной непрерывной дроби в точке z .)

Теорема Слешинского – Прингсхейма дает достаточное условие сходимости.

Четные и нечетные сходящиеся [ править ]

Иногда бывает необходимо разделить непрерывную дробь на четную и нечетную части. Например, если непрерывная дробь расходится колебанием между двумя различными предельными точками p и q , то последовательность { x ₀ , x ₂ , x ₄ , ...} должна сходиться к одной из них, а { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...} должны сходиться к другому. В такой ситуации может быть удобно выразить исходную непрерывную дробь как две разные непрерывные дроби, одна из которых сходится к p , а другая - к q .

Формулы для четной и нечетной частей непрерывной дроби можно записать наиболее компактно, если дробь уже преобразована так, что все ее частные знаменатели равны единице. В частности, если

${\displaystyle x={\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{1}}\,}$

является непрерывной дробью, то четная часть x _even и нечетная часть x _odd задаются формулами

${\displaystyle x_{\mathrm {even} }={\cfrac {a_{1}}{1+a_{2}-{\cfrac {a_{2}a_{3}}{1+a_{3}+a_{4}-{\cfrac {a_{4}a_{5}}{1+a_{5}+a_{6}-{\cfrac {a_{6}a_{7}}{1+a_{7}+a_{8}-\ddots }}}}}}}}\,}$

и

${\displaystyle x_{\mathrm {odd} }=a_{1}-{\cfrac {a_{1}a_{2}}{1+a_{2}+a_{3}-{\cfrac {a_{3}a_{4}}{1+a_{4}+a_{5}-{\cfrac {a_{5}a_{6}}{1+a_{6}+a_{7}-{\cfrac {a_{7}a_{8}}{1+a_{8}+a_{9}-\ddots }}}}}}}}\,}$

соответственно. Точнее, если последовательные дробей непрерывной дроби х являются { х ₁ , х ₂ , х ₃ , ...}, то последовательные дроби х , _даже в написанных выше { х ₂ , х ₄ , х ₆ ,. ..}, а последовательные подходящие дроби _{нечетного} x равны { x ₁ , x ₃ , x ₅ , ...}. ^[14]

Условия иррациональности [ править ]

Если и - натуральные числа с ≤ для всех достаточно больших , то${\displaystyle a_{1},a_{2},{\text{ . . .}}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},{\text{ . . .}}}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle x=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

сходится к иррациональному пределу. ^[15]

Основные формулы повторения [ править ]

Частные числители и знаменатели последовательных подходящих дробей связаны фундаментальными рекуррентными формулами :

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{-1}&=1&B_{-1}&=0\\A_{0}&=b_{0}&B_{0}&=1\\A_{n+1}&=b_{n+1}A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}&B_{n+1}&=b_{n+1}B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}\,\end{aligned}}}$

Последовательные подходящие дроби непрерывной дроби задаются выражением

${\displaystyle x_{n}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}.\,}$

Эти рекуррентные отношения созданы Джоном Уоллисом (1616–1703) и Леонардом Эйлером (1707–1783). ^[16]

В качестве примера рассмотрим правильную цепную дробь в канонической форме, которая представляет золотое сечение φ :

${\displaystyle x=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots \,}}}}}}}}}$

Применяя фундаментальные рекуррентные формулы, мы находим, что последовательные числители A _n равны {1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}, а последовательные знаменатели B _n равны {1, 1, 2, 3, 5, 8 , ...}, числа Фибоначчи . Поскольку все частичные числители в этом примере равны единице, формула определителя гарантирует нам, что абсолютное значение разницы между последовательными сходящимися приближается к нулю довольно быстро.

Дробно-линейные преобразования [ править ]

Дробно-линейное преобразование (ДЛП) - это сложная функция вида

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a+bz}{c+dz}},\,}$

где z - комплексная переменная, а a , b , c , d - произвольные комплексные константы, такие что . Дополнительное ограничение - ad ≠ bc - обычно накладывается, чтобы исключить случаи, когда w = f ( z ) является константой. Дробно-линейное преобразование, также известное как преобразование Мёбиуса , обладает множеством интересных свойств. Четыре из них имеют первостепенное значение для развития аналитической теории непрерывных дробей.${\displaystyle c+dz\neq 0}$

• Если d ≠ 0, LFT имеет одну или две неподвижные точки . В этом можно убедиться, рассмотрев уравнение

${\displaystyle f(z)=z\Rightarrow dz^{2}+cz=a+bz\,}$

который, очевидно , является квадратным уравнением в г . Корни этого уравнения - неподвижные точки f ( z ). Если дискриминант ( c - b ) ² + 4 ad равен нулю, LFT фиксирует единственную точку; в противном случае он имеет две неподвижные точки.

• Если объявление ≠ Ьс ЯПТА является обратимым конформным отображением на расширенной комплексной плоскости на себя. Другими словами, этот LFT имеет обратную функцию

${\displaystyle z=g(w)={\frac {-a+cw}{b-dw}}\,}$

такое, что f ( g ( z )) = g ( f ( z )) = z для каждой точки z в расширенной комплексной плоскости, и как f, так и g сохраняют углы и формы на исчезающе малых масштабах. Из вида z = g ( w ) видно, что g также является LFT.

• Композиция из двух различных LFTs , для которых объявлений ≠ Ьс само по себе является ФЕТ , для которых объявлений ≠ до н . Другими словами, множество всех LFT, для которых ad ≠ bc замкнуто относительно композиции функций. Совокупность всех таких LFT - вместе с композицией функций «групповой операции» - известна как группа автоморфизмов расширенной комплексной плоскости.
• Если b = 0, LFT сводится к

${\displaystyle w=f(z)={\frac {a}{c+dz}},\,}$

который является очень простой мероморфны функцией от г с одним простым полюсом (при - гр / г ) и а остаток равен в / г . (См. Также серию Лорана .)

Непрерывная дробь как состав LFT [ править ]

Рассмотрим последовательность простых дробно-линейных преобразований

${\displaystyle \tau _{0}(z)=b_{0}+z,\quad \tau _{1}(z)={\frac {a_{1}}{b_{1}+z}},\quad \tau _{2}(z)={\frac {a_{2}}{b_{2}+z}},\quad \tau _{3}(z)={\frac {a_{3}}{b_{3}+z}},\quad \cdots \,}$

Здесь мы используем греческую букву τ (тау) для обозначения каждого простого LFT, и мы принимаем условные обозначения круга для композиции функций. Мы также вводим новый символ Τ _n для обозначения композиции n + 1 маленьких τ s, т. Е.

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)=\tau _{0}(\tau _{1}(z)),\quad {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)=\tau _{0}(\tau _{1}(\tau _{2}(z))),\,}$

и так далее. Путем прямой подстановки из первого набора выражений во второй мы видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {1}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+z}}\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {2}}(z)&=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}(z)&=&\quad b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+z}}}}\,\end{aligned}}}$

и в целом

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)=\tau _{0}\circ \tau _{1}\circ \tau _{2}\circ \cdots \circ \tau _{n}(z)=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}\,}$

где последний частный знаменатель в конечной цепной дроби K понимается как b _n + z . И, поскольку b _n + 0 = b _n , изображение точки z = 0 при повторном LFT Τ _n действительно является значением конечной цепной дроби с n частичными числителями:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}.\,}$

Геометрическая интерпретация [ править ]

Определение конечной цепной дроби как образа точки при повторном линейном функциональном преобразовании Τ _n ( z ) приводит к интуитивно привлекательной геометрической интерпретации бесконечных цепных дробей.

Отношение

${\displaystyle x_{n}=b_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\mathrm {K} }}}{\frac {a_{i}}{b_{i}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(0)={\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(\infty )\,}$

можно понять, переписав Τ _n ( z ) и Τ _{n +1} ( z ) в терминах основных рекуррентных формул :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {(b_{n}+z)A_{n-1}+a_{n}A_{n-2}}{(b_{n}+z)B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)&={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}};\\{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {(b_{n+1}+z)A_{n}+a_{n+1}A_{n-1}}{(b_{n+1}+z)B_{n}+a_{n+1}B_{n-1}}}&{\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n+1}}(z)&={\frac {zA_{n}+A_{n+1}}{zB_{n}+B_{n+1}}}.\,\end{aligned}}}$

В первом из этих уравнений отношение стремится к A _n / B _n, когда z стремится к нулю. Во втором случае отношение стремится к A _n / B _n, когда z стремится к бесконечности. Это приводит нас к нашей первой геометрической интерпретации. Если непрерывная дробь сходится, последовательные подходящие дроби A _n / B _n в конечном итоге произвольно близки друг к другу . Поскольку дробно-линейное преобразование Τ _n ( z ) является непрерывным отображением , должна существовать окрестность z= 0, который отображается в сколь угодно малую окрестность Τ _n (0) = A _n / B _n . Точно так же должна существовать окрестность бесконечно удаленной точки, которая отображается в произвольно малую окрестность Τ _n (∞) = A _{n -1} / B _{n -1} . Таким образом, если непрерывная дробь сходится, преобразование Τ _n ( z ) отображает и очень малые z, и очень большие z в произвольно малую окрестность x , значение непрерывной дроби, как n становится все больше и больше.

А как насчет промежуточных значений z ? Что ж, поскольку последовательные конвергенты становятся все ближе друг к другу, мы должны иметь

${\displaystyle {\frac {A_{n-1}}{B_{n-1}}}\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}\approx {\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}=k\,}$

где k - постоянная, введенная для удобства. Но тогда, подставляя в выражение для Τ _n ( z ), получаем

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathrm {T} }}_{\boldsymbol {n}}(z)={\frac {zA_{n-1}+A_{n}}{zB_{n-1}+B_{n}}}={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {z{\frac {A_{n-1}}{A_{n}}}+1}{z{\frac {B_{n-1}}{B_{n}}}+1}}\right)\approx {\frac {A_{n}}{B_{n}}}\left({\frac {zk+1}{zk+1}}\right)={\frac {A_{n}}{B_{n}}}\,}$

так что даже промежуточные значения z (кроме случаев, когда z ≈ - k ⁻¹ ) отображаются в произвольно малую окрестность x , значения непрерывной дроби, когда n становится все больше и больше. Интуитивно кажется, что сходящаяся цепная дробь отображает всю расширенную комплексную плоскость в одну точку. ^[17]

Обратите внимание, что последовательность { Τ _n } лежит в группе автоморфизмов расширенной комплексной плоскости, поскольку каждое Τ _n является дробно-линейным преобразованием, для которого ab ≠ cd . И каждый член этой группы автоморфизмов отображает расширенную комплексную плоскость в себя - ни один из Τ _{n не} может отобразить плоскость в единственную точку. Тем не менее, в пределе последовательность { Τ _n } определяет бесконечную цепную дробь, которая (если i t сходится) представляет собой единственную точку на комплексной плоскости.

Как это возможно? Подумайте об этом так. Когда бесконечная непрерывная дробь сходится, соответствующая последовательность { Τ _n } LFT "фокусирует" плоскость в направлении x , значения непрерывной дроби. На каждом этапе процесса все большая и большая область плоскости отображается в окрестности x , а оставшаяся меньшая и меньшая области плоскости растягивается все тоньше, чтобы покрыть все, что находится за пределами этой окрестности. ^[18]

А как насчет расходящихся непрерывных дробей? Можно ли их также интерпретировать геометрически? Одним словом, да. Мы различаем три случая.

1. Две последовательности { Τ _{2 n -1} } и { Τ _{2 n} } могут сами определять две сходящиеся непрерывные дроби, которые имеют два разных значения: x _{нечетное} и x _четное . В этом случае цепная дробь, определяемая последовательностью { Τ _n }, расходится колебанием между двумя различными предельными точками. И на самом деле эту идею можно обобщить - можно построить последовательности { Τ _n }, которые колеблются между тремя, четырьмя или даже любым количеством предельных точек. Интересные примеры этого случая возникают, когда последовательность { Τ _n } составляет подгруппу конечного порядка внутри группы автоморфизмов над расширенной комплексной плоскостью.
2. Последовательность { Τ _n } может производить бесконечное число нулевых знаменателей B _i, а также производить подпоследовательность конечных подходящих дробей. Эти конечные сходящиеся элементы могут не повторяться или образовывать узнаваемый колебательный паттерн. Или они могут сходиться к конечному пределу или даже колебаться между несколькими конечными пределами. Независимо от того, как ведут себя конечные подходящие дроби, в этом случае непрерывная дробь, определяемая последовательностью { Τ _n }, расходится колебанием с бесконечно удаленной точкой. ^[19]
3. Последовательность { Τ _n } может давать не более конечного числа нулевых знаменателей B _i . в то время как подпоследовательность конечных сходящихся элементов дико танцует вокруг плоскости по шаблону, который никогда не повторяется и никогда не приближается к конечному пределу.

Интересные примеры случаев 1 и 3 можно построить, изучив простую цепную дробь

${\displaystyle x=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{1+\ddots }}}}}}}}\,}$

где z - любое действительное число такое, что z <−¼. ^[20]

Формула непрерывной дроби Эйлера [ править ]

Эйлер доказал следующее тождество: ^[8]

${\displaystyle a_{0}+a_{0}a_{1}+a_{0}a_{1}a_{2}+\cdots +a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}={\frac {a_{0}}{1-}}{\frac {a_{1}}{1+a_{1}-}}{\frac {a_{2}}{1+a_{2}-}}\cdots {\frac {a_{n}}{1+a_{n}}}.\,}$

Из этого можно получить многие другие результаты, такие как

${\displaystyle {\frac {1}{u_{1}}}+{\frac {1}{u_{2}}}+{\frac {1}{u_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u_{n}}}={\frac {1}{u_{1}-}}{\frac {u_{1}^{2}}{u_{1}+u_{2}-}}{\frac {u_{2}^{2}}{u_{2}+u_{3}-}}\cdots {\frac {u_{n-1}^{2}}{u_{n-1}+u_{n}}},\,}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}+{\frac {x}{a_{0}a_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a_{0}a_{1}a_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a_{0}a_{1}a_{2}\ldots a_{n}}}={\frac {1}{a_{0}-}}{\frac {a_{0}x}{a_{1}+x-}}{\frac {a_{1}x}{a_{2}+x-}}\cdots {\frac {a_{n-1}x}{a_{n}+x}}.\,}$

Формула Эйлера, связывающая непрерывные дроби и ряды, является мотивацией для фундаментальных неравенств ^{[необходима ссылка или разъяснение ]} , а также основой элементарных подходов к проблеме сходимости .

Примеры [ править ]

Трансцендентные функции и числа [ править ]

Вот две цепные дроби, которые можно построить с помощью тождества Эйлера .

${\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}$

Вот дополнительные обобщенные цепные дроби:

${\displaystyle \tan ^{-1}{\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}};\;e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}$

Последний основан на алгоритме, разработанном Алексеем Николаевичем Хованским в 1970-х годах. ^[21]

Пример: натуральный логарифм 2 (= [0; 1,2,3,1,5,2 / 3,7,1 / 2,9,2 / 5, ..., 2k-1,2 / k, ...] ≈ 0,693147 ...): ^[22]

${\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}$

π [ править ]

Вот три из П «ы наиболее известные обобщенные цепные дроби, первый и третий из которых получены из их соответствующих арктангенс выше формулах , путем установки х = у = 1 и умножение на четыре. Формула Лейбница для π :

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }$

сходится слишком медленно, требуется примерно 3 x 10 ⁿ членов для достижения n- десятичной точности. Серия, полученная Нилакантхой Сомаяджи :

${\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }$

является гораздо более очевидным выражением, но все же сходится довольно медленно, требуя почти 50 членов для пяти десятичных знаков и почти 120 для шести. Оба сходятся сублинейно к π . С другой стороны:

${\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }$

сходится линейно к π , добавляя по крайней мере три десятичных разряда точности на четыре члена, что немного быстрее, чем формула арксинуса для π :

${\displaystyle \pi =6\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3\cdot {\binom {2n}{n}}}{16^{n}(2n+1)}}={\frac {3}{16^{0}\cdot 1}}+{\frac {6}{16^{1}\cdot 3}}+{\frac {18}{16^{2}\cdot 5}}+{\frac {60}{16^{3}\cdot 7}}+\cdots \!}$

который добавляет не менее трех десятичных цифр на пять членов.^[23]

Примечание: использование непрерывной дроби для процитированного выше с наиболее известной формулой типа Мачина дает еще более быстрое, хотя и все еще линейное, сходящееся выражение:${\displaystyle \tan ^{-1}{\frac {x}{y}}}$

${\displaystyle \pi =16\tan ^{-1}{\cfrac {1}{5}}\,-\,4\tan ^{-1}{\cfrac {1}{239}}={\cfrac {16}{u+{\cfrac {1^{2}}{3u+{\cfrac {2^{2}}{5u+{\cfrac {3^{2}}{7u+\ddots }}}}}}}}\,-\,{\cfrac {4}{v+{\cfrac {1^{2}}{3v+{\cfrac {2^{2}}{5v+{\cfrac {3^{2}}{7v+\ddots }}}}}}}}.}$

где ${\displaystyle u=5,\;v=239.}$

Корни положительных чисел [ править ]

П - й корень из любого положительного числа г ^м может быть выражено путем пересчета г = х ^п + у , в результате чего

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{(x^{n}+y)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}$

который можно упростить, сложив каждую пару фракций в одну фракцию, чтобы

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2z-y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2z-y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}}}.}$

Квадратный корень из г является частным случаем этого п - го корневого алгоритма ( т = 1, п = 2):

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2z-y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2z-y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2z-y)-\ddots }}}}}}}$

который можно упростить, отметив, что 5/10 = 3/6 = 1/2:

${\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2z-y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-\ddots }}}}}}.}$

Квадратный корень также можно выразить периодической непрерывной дробью , но приведенная выше форма сходится быстрее с правильными x и y .

Пример 1 [ править ]

Кубический корень из двух (2 ^1/3 или ³ √ 2 ≈ 1.259921 ...):

(A) «Стандартные обозначения» x = 1, y = 1 и 2 z - y = 3:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}$

(B) Быстрая сходимость при x = 5, y = 3 и 2 z - y = 253:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}$

Пример 2 [ править ]

Коэффициент Погсона (100 ^1/5 или ⁵ √ 100 ≈ 2,511886 ...), где x = 5, y = 75 и 2 z - y = 6325:

${\displaystyle {\sqrt[{5}]{100}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {3}{250+{\cfrac {12}{5+{\cfrac {18}{750+{\cfrac {27}{5+{\cfrac {33}{1250+{\cfrac {42}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{2}}+{\cfrac {5\cdot 3}{1265-3-{\cfrac {12\cdot 18}{3795-{\cfrac {27\cdot 33}{6325-{\cfrac {42\cdot 48}{8855-\ddots }}}}}}}}.}$

Пример 3 [ править ]

Двенадцатый корень из двух (2 ^1/12 или ¹² √ 2 ≈ 1.059463 ...), используя стандартные обозначения "":