Фильтр прототипа

Фильтры-прототипы - это конструкции электронных фильтров , которые используются в качестве шаблона для создания модифицированной конструкции фильтра для конкретного приложения. Они являются примером безразмерного дизайна, из которого желаемый фильтр может быть масштабирован или преобразован . Чаще всего они встречаются в электронных фильтрах и особенно в линейных аналоговых пассивных фильтрах . Однако, в принципе, этот метод может быть применен к любому типу линейного фильтра или обработки сигнала , включая механические, акустические и оптические фильтры.

Фильтры должны работать на многих разных частотах , импедансах и полосах пропускания . Полезность фильтра-прототипа проистекает из того свойства, что все остальные фильтры могут быть получены из него путем применения коэффициента масштабирования к компонентам прототипа. Таким образом, проектирование фильтра необходимо выполнять только один раз полностью, а другие фильтры получают путем простого применения коэффициента масштабирования.

Особенно полезна возможность преобразования одной формы полосы в другую. В этом случае преобразование - это не просто масштабный коэффициент. Полоса пропускания здесь предназначена для обозначения категории полосы пропускания, которой обладает фильтр. Обычный bandforms является ФНЧ , ФВЧ , полосовой и режекторный , но другие возможны. В частности, фильтр может иметь несколько полос пропускания. Фактически, в некоторых вариантах лечения полосовой фильтр считается типом многополосного фильтра, имеющего две полосы пропускания. Чаще всего прототип фильтра выражается как фильтр нижних частот, но возможны и другие методы.

Прототип фильтра нижних частот с константой k Π (pi)

Части этой статьи или раздела полагаться на знания читателя комплексного импеданса представления конденсаторов и катушек индуктивности и на знании частотной области представления сигналов .

Прототип нижних частот [ править ]

Прототипом чаще всего является фильтр нижних частот с угловой частотой 3 дБ угловой частоты ω _c ' = 1 рад / с . Иногда вместо ω _c ' = 1 используется частота f ' '= 1 Гц. Аналогично, номинальный или характеристический импеданс фильтра устанавливается на R ' = 1 Ом.

В принципе, любая точка ненулевой частоты на отклике фильтра может использоваться в качестве эталона для прототипа. Например, для фильтров с пульсацией в полосе пропускания граничная частота обычно определяется как самая высокая частота при максимальной пульсации, а не 3 дБ. Другой случай - фильтры параметров изображения (более старый метод проектирования, чем более современные фильтры сетевого синтеза ), которые используют частоту среза, а не точку 3 дБ, поскольку срезающая точка является четко определенной точкой в этом типе фильтра.

Фильтр-прототип можно использовать только для создания других фильтров того же класса ^{[n 1]} и порядка. ^{[n 2]} Например, прототип фильтра Бесселя пятого порядка может быть преобразован в любой другой фильтр Бесселя пятого порядка, но он не может быть преобразован в фильтр Бесселя третьего порядка или фильтр Чебышева пятого порядка .

Масштабирование частоты [ править ]

Фильтр-прототип масштабируется до необходимой частоты с помощью следующего преобразования:

${\ displaystyle i \ omega \ to \ left ({\ frac {\ omega _ {c} '} {\ omega _ {c}}} \ right) i \ omega}$

где ω _c ' - значение частотного параметра (например, частота среза) для прототипа, а ω _c - желаемое значение. Таким образом, если ω _c ' = 1, то передаточная функция фильтра преобразуется как:

${\ Displaystyle А (я \ omega) \ в А \ влево (я {\ гидроразрыва {\ omega} {\ omega _ {c}}} \ вправо)}$

Легко видеть, что для этого нерезистивные компоненты фильтра должны быть преобразованы с помощью:

${\ displaystyle L \ to {\ frac {\ omega _ {c} '} {\ omega _ {c}}} \, L}$ и, ${\ displaystyle C \ to {\ frac {\ omega _ {c} '} {\ omega _ {c}}} \, C}$

Масштабирование импеданса [ править ]

Масштабирование импеданса - это всегда масштабирование до фиксированного сопротивления. Это связано с тем, что выводы фильтра, по крайней мере номинально, считаются фиксированным сопротивлением. Чтобы выполнить это масштабирование до номинального импеданса R , каждый импедансный элемент фильтра преобразуется следующим образом:

${\ displaystyle Z \ to {\ frac {R} {R '}} \, Z}$

Для некоторых элементов может быть удобнее масштабировать пропускную способность:

${\ displaystyle Y \ to {\ frac {R '} {R}} \, Y}$

Прототип фильтра выше, преобразованный в фильтр нижних частот 600 Ом, 16 кГц.

Легко видеть, что для этого нерезистивные компоненты фильтра должны быть масштабированы как:

${\ Displaystyle L \ к {\ гидроразрыва {R} {R '}} \, L}$ и, ${\ displaystyle C \ to {\ frac {R '} {R}} \, C}$

Масштабирование импеданса само по себе не влияет на передаточную функцию фильтра (при условии, что к оконечным сопротивлениям применено одинаковое масштабирование). Однако обычно масштабирование частоты и импеданса объединяют в один шаг: ^[1]

$L\to \,{\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\,{\frac {R}{R'}}\,L$ и, $C\to \,{\frac {\omega _{c}'}{\omega _{c}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C$

Преобразование Bandform [ править ]

В общем, форма полосы фильтра преобразуется путем замены iω там, где он встречается в передаточной функции, на функцию от iω . Это, в свою очередь, приводит к преобразованию компонентов импеданса фильтра в некоторые другие компоненты. Приведенное выше масштабирование частоты является тривиальным случаем преобразования формы полосы, соответствующего преобразованию из нижних частот в нижние.

Lowpass to highpass [ править ]

В этом случае требуется преобразование частоты: ^[2]

${\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\frac {\omega _{c}}{i\omega }}$

где ω _c - точка на фильтре верхних частот, соответствующая ω _c ' на прототипе. Затем передаточная функция преобразуется как:

$A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{c}\,\omega _{c}'}{i\omega }}\right)$

Индукторы преобразуются в конденсаторы в соответствии с:

$L'\to C={\frac {1}{\omega _{c}\,\omega _{c}'\,L'}}$

а конденсаторы превращаются в катушки индуктивности,

$C'\to L={\frac {1}{\omega _{c}\,\omega _{c}'\,C'}}$

штрихованные количества представляют собой стоимость компонента в прототипе.

Lowpass в полосу пропускания [ править ]

В этом случае требуется преобразование частоты: ^[3]

${\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

где Q - коэффициент добротности, равный величине, обратной величине дробной ширины полосы: ^[4]

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}$

Если ω ₁ и ω ₂ - нижняя и верхняя частотные точки (соответственно) полосы пропускания, соответствующие ω _c ' прототипа, то,

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,$ и $\omega _{0}={\sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}$

Δ ω - абсолютная ширина полосы, а ω ₀ - резонансная частота резонаторов в фильтре. Обратите внимание, что масштабирование частоты прототипа до преобразования нижних частот в полосу пропускания не влияет на резонансную частоту, а вместо этого влияет на конечную полосу пропускания фильтра.

Передаточная функция фильтра преобразуется в соответствии с:

$A(i\omega )\to A\left(\omega _{c}'Q\left[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)$

Прототип фильтра выше, преобразованный в полосовой фильтр 50 Ом, 6 МГц с полосой пропускания 100 кГц.

Индукторы преобразованы в последовательные резонаторы ,

$L'\to L={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{c}'Q}}{\frac {1}{L'}}$

а конденсаторы преобразованы в параллельные резонаторы,

$C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _{0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{c}'Q}}{\frac {1}{C'}}$

Lowpass к полосе пропускания [ править ]

Требуемое преобразование частоты для фильтра нижних частот в полосу пропускания: ^[5]

${\frac {\omega _{c}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

Индукторы превращаются в параллельные резонаторы,

$L'\to L={\frac {\omega _{c}'}{\omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{c}'}}{\frac {1}{L'}}$

а конденсаторы преобразованы в последовательные резонаторы,

$C'\to C={\frac {\omega _{c}'}{\omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{c}'}}{\frac {1}{C'}}$

Lowpass в многодиапазонный [ править ]

Фильтры с несколькими полосами пропускания можно получить, применив общее преобразование:

${\frac {\omega _{c}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Количество резонаторов в выражении соответствует количеству требуемых полос пропускания. Фильтры нижних и верхних частот можно рассматривать как частные случаи выражения резонатора, когда один или другой член становится равным нулю в зависимости от ситуации. Полосовые фильтры можно рассматривать как комбинацию фильтров нижних и верхних частот. Множественные полосовые фильтры всегда можно выразить в терминах множественных полосовых фильтров. Таким образом, можно увидеть, что это преобразование представляет собой общий случай для любой формы полосы, а все другие преобразования следует рассматривать как ее частные случаи.

Такой же отклик может быть получен эквивалентным образом, иногда с более удобной топологией компонентов, путем преобразования в несколько полос задерживания вместо нескольких полос пропускания. Требуемое преобразование в этих случаях:

${\frac {i\omega }{\omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Альтернативный прототип [ править ]

В своем обращении графических фильтров , Зобель является альтернативным основанием для построения прототипа , который не основан в частотной области . ^[6] Таким образом, прототипы Zobel не соответствуют какой-либо конкретной форме полосы, но могут быть преобразованы в любую из них. Отсутствие особого значения какой-либо одной полосы делает этот метод более математически приятным; однако он не используется повсеместно.

Прототип Zobel рассматривает секции фильтра, а не компоненты. То есть преобразование выполняется в двухпортовой сети, а не в двухполюсной катушке индуктивности или конденсаторе. Передаточная функция выражается как произведение последовательного импеданса Z и шунтирующей проводимости Y полусекции фильтра. Описание полусекций см. В статье Импеданс изображения . Эта величина безразмерна , что делает прототип универсальным. Как правило, ZY - сложная величина,

$ZY=U+iV\,\!$ а так как U и V , в общем, являются функциями от ω, мы должны правильно написать,

$ZY=U(\omega )+iV(\omega )\,\!$

С помощью фильтров изображения можно получить фильтры разных классов из прототипа фильтра с постоянным k посредством другого вида преобразования (см. Фильтр составного изображения ), постоянный k - это те фильтры, для которых Z / Y является постоянным. По этой причине фильтры всех классов задаются в терминах U (ω) для константы k, которая обозначается как,

$ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )\,\!$

В случае сетей без рассеяния, т.е. без резисторов, величина V (ω) равна нулю, и необходимо учитывать только U (ω) . U _k (ω) находится в диапазоне от 0 в центре полосы пропускания до -1 на частоте среза, а затем продолжает отрицательно возрастать в полосе задерживания независимо от формы полосы проектируемого фильтра. Для получения требуемой формы полосы используются следующие преобразования:

Для прототипа с константой нижних частот k, который масштабируется:

$R_{0}=1\,,\,\omega _{c}=1$

независимая переменная графика отклика,

$U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!$

Преобразования формы полосы из этого прототипа:

для lowpass, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2}$

для highpass, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{c}}{i\omega }}\right)^{2}$

и для полосы пропускания, $U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}$

См. Также [ править ]

Топология электронного фильтра
Электронный фильтр
Линейный фильтр
Фильтр составного изображения

Полоса пропускания фильтра : см., НЧ , ВЧ , полосовой , полосовой .

Сноски [ править ]

^ Класс фильтра - это математический класс многочленов от рациональной функции, которые описывают ее передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не рациональны и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типу ( k-тип , m-тип и т. Д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии схемы фильтра.
^ Порядок фильтра - это порядок его рациональной функции. Рациональная функция - это отношение двух многочленов, а порядок функции - это порядок многочлена наивысшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описываться рациональной функцией, и в целом порядок будет равен количеству используемых реактивных элементов.

Ссылки [ править ]

^ Matthaei et al. С. 96–97.
^ Matthaei et al. С. 412–413.
^ Matthaei et al. С. 438–440.
^ Фараго, стр. 69.
^ Matthaei et al. С. 727–729.
^ Зобель, 1930, стр. 3.

Библиография [ править ]

Зобель, О.Дж., "Теория и разработка однородных и составных фильтров электрических волн", Bell System Technical Journal , том 2 (1923), стр. 1–46.
Zobel, OJ, "Электрические волновые фильтры", патент США 1 850 146, подана 25 ноября 1930 г., выдана 22 марта 1932 г. Дает много полезных формул и основу для определения прототипов в нечастотной области.
Маттеи, Янг, Микроволновые фильтры Джонса , сети согласования импеданса и структуры связи МакГроу-Хилл 1964.
Фараго, П.С., Введение в линейный сетевой анализ , English Universities Press, 1961.

[1] Класс фильтра - это математический класс многочленов от рациональной функции, которые описывают ее передаточную функцию . Фильтры параметров изображения не рациональны и, следовательно, не имеют полиномиального класса. Такие фильтры классифицируются по типу ( k-тип , m-тип и т. Д.). Тип служит именем класса для фильтров изображений и основан на топологии схемы фильтра.

[2] Порядок фильтра - это порядок его рациональной функции. Рациональная функция - это отношение двух многочленов, а порядок функции - это порядок многочлена наивысшего порядка. Любой фильтр, построенный из конечного числа дискретных элементов, будет описываться рациональной функцией, и в целом порядок будет равен количеству используемых реактивных элементов.

[3] Matthaei et al. С. 96–97.

[4] Matthaei et al. С. 412–413.

[5] Matthaei et al. С. 438–440.

[6] Фараго, стр. 69.

[7] Matthaei et al. С. 727–729.

[8] Зобель, 1930, стр. 3.

[n 1]