Линейный фильтр

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Линейные фильтры обрабатывают изменяющиеся во времени входные сигналы для получения выходных сигналов с учетом ограничения линейности . В большинстве случаев эти линейные фильтры также инвариантны во времени (или инварианты сдвига ), и в этом случае их можно точно проанализировать с помощью теории систем LTI («линейный инвариант во времени»), выявляя их передаточные функции в частотной области и их импульсные характеристики во времени. домен. Реализация таких фильтров линейной обработки сигналов в реальном времени во временной области неизбежно является причиной, дополнительное ограничение на их передаточные функции. Аналоговая электронная схема, состоящая только из линейных компонентов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей), обязательно попадет в эту категорию, как и сопоставимые механические системы или системы цифровой обработки сигналов , содержащие только линейные элементы. Поскольку линейные неизменяющиеся во времени фильтры могут быть полностью охарактеризованы их реакцией на синусоиды разных частот (их частотной характеристикой ), их иногда называют частотными фильтрами.

Реализации линейных инвариантных во времени фильтров не в реальном времени не обязательно должны быть причинными. Фильтры более чем одного измерения также используются, например, при обработке изображений . Общая концепция линейной фильтрации также распространяется на другие области и технологии, такие как статистика , анализ данных и машиностроение .

Импульсная характеристика и передаточная функция [ править ]

Линейные стационарно (ЛТИТЕ) фильтр может быть однозначно определен его импульсной характеристика ч , а на выходе любого фильтра математически выражен как свертка входного с этой импульсной характеристикой. Частотная характеристика , дается фильтр передаточной функции , является альтернативой характеристики фильтра. Типичные цели проектирования фильтров - реализовать конкретную частотную характеристику, то есть величину передаточной функции ; важность фазы${\ Displaystyle H (\ omega)}$${\ Displaystyle | ЧАС (\ омега) |}$передаточной функции варьируется в зависимости от приложения, поскольку форма сигнала может искажаться в большей или меньшей степени в процессе достижения желаемого (амплитудного) отклика в частотной области. Частотная характеристика может быть адаптирована, например, для устранения нежелательных частотных составляющих из входного сигнала или для ограничения усилителя сигналами в определенной полосе частот.

Импульсная характеристика ч линейного времени инвариантно причинная фильтра определяет выходной фильтр , который будет производить , если бы получить входной сигнал , состоящий из одного импульса в момент времени 0. «импульс» в непрерывное время фильтрующего средства на функцию Дирака дельта ; в дискретном временном фильтре будет применяться дельта-функция Кронекера . Импульсный отклик полностью характеризует отклик любого такого фильтра, поскольку любой возможный входной сигнал может быть выражен как (возможно, бесконечная) комбинация взвешенных дельта-функций. Умножение импульсной характеристики, сдвинутой во времени в соответствии с появлением каждой из этих дельта-функций, на амплитуду каждой дельта-функции и суммирование этих откликов вместе (в соответствии спринцип суперпозиции , применимый ко всем линейным системам) дает форму выходного сигнала.

Математически это описывается как свертка изменяющегося во времени входного сигнала x (t) с импульсной характеристикой фильтра h , определяемой как:

${\ Displaystyle у (т) = \ int _ {0} ^ {T} х (т- \ тау) \, ч (\ тау) \, д \ тау}$

${\ displaystyle y_ {k} = \ sum _ {i = 0} ^ {N} x_ {ki} \, h_ {i}}$

Первая форма - это форма непрерывного времени, которая описывает, например, механические и аналоговые электронные системы. Второе уравнение представляет собой версию с дискретным временем, используемую, например, цифровыми фильтрами, реализованными в программном обеспечении, так называемой цифровой обработке сигналов . Импульсная характеристика h полностью характеризует любой линейный инвариантный во времени (или инвариантный к сдвигу в случае дискретного времени) фильтр. Вход x называется « свернутым » с импульсной характеристикой h, имеющей (возможно, бесконечную) длительность времени T (или N периодов выборки ).

Проектирование фильтра состоит из поиска возможной передаточной функции, которая может быть реализована в рамках определенных практических ограничений, продиктованных технологией или желаемой сложностью системы, с последующим практическим дизайном, реализующим эту передаточную функцию с использованием выбранной технологии. Сложность фильтра может быть указана в соответствии с порядком фильтра.

Среди рассматриваемых здесь фильтров временной области есть два общих класса передаточных функций фильтров, которые могут аппроксимировать желаемую частотную характеристику. Очень разные математические подходы применяются к конструкции фильтров, называемых фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), характерными для систем механической и аналоговой электроники, и фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ), которые могут быть реализованы системами с дискретным временем , такими как компьютеры (тогда называемые цифровая обработка сигналов ).

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой [ править ]

Рассмотрим физическую систему, которая действует как линейный фильтр, например система пружин и масс, или аналоговую электронную схему, которая включает конденсаторы и / или катушки индуктивности (наряду с другими линейными компонентами, такими как резисторы и усилители ). Когда такая система подвергается воздействию импульса (или любого сигнала конечной длительности), она отвечает выходным сигналом, который длится дольше продолжительности входного сигнала, в конечном итоге экспоненциально затухая тем или иным образом, но никогда полностью не достигая нуля (математически говоря ). Говорят, что такая система имеет бесконечную импульсную характеристику (БИХ). Приведенный выше интеграл свертки (или суммирование) распространяется на все время: T (или N) должно быть установлено на бесконечность.

Например, рассмотрим затухающий гармонический осциллятор, такой как маятник, или резонансный контур LC- резервуара . Если бы маятник находился в состоянии покоя и мы должны были ударить по нему молотком («импульс»), приведя его в движение, он бы качнулся назад и вперед («резонировал»), скажем, с амплитудой 10 см. Скажем, через 10 минут маятник все еще будет раскачиваться, но его амплитуда уменьшится до 5 см, что составляет половину его первоначальной амплитуды. Еще через 10 минут его амплитуда будет всего 2,5 см, затем 1,25 см и т. Д. Однако он никогда не достигнет полного покоя, и поэтому мы называем эту реакцию на импульс (удары молотком) «бесконечной» по продолжительности.

Сложность такой системы определяется ее порядка N . N часто является ограничением при разработке передаточной функции, поскольку определяет количество реактивных компонентов в аналоговой цепи; в цифровом БИХ-фильтре количество требуемых вычислений пропорционально N.

Фильтры с конечной импульсной характеристикой [ править ]

Фильтр, реализованный в компьютерной программе (или так называемом цифровом сигнальном процессоре ), представляет собой систему с дискретным временем; другой (но параллельный) набор математических понятий определяет поведение таких систем. Хотя цифровой фильтр может быть БИХ-фильтром, если алгоритм, реализующий его, включает обратную связь , также можно легко реализовать фильтр, импульс которого действительно стремится к нулю после N временных шагов; это называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ).

Например, предположим, что у кого-то есть фильтр, который при представлении импульса во временном ряду:

0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ...

выводит серию, которая реагирует на этот импульс в момент времени от 0 до времени 4, и не имеет дальнейшей реакции, например:

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 .....

Хотя импульсный отклик длился 4 временных шага после входа, начиная с момента 5, он действительно стал нулевым. Степень импульсной характеристики конечна , и ее можно классифицировать как КИХ-фильтр четвертого порядка. Приведенный выше интеграл свертки (или суммирование) должен распространяться только на полную длительность импульсной характеристики T или на порядок N в фильтре дискретного времени.

Проблемы реализации [ править ]

Классические аналоговые фильтры - это БИХ-фильтры, а классическая теория фильтров основана на определении передаточных функций, задаваемых рациональными функциями низкого порядка , которые могут быть синтезированы с использованием того же небольшого числа реактивных компонентов. ^[1] С другой стороны, при использовании цифровых компьютеров фильтры КИХ и БИХ несложно реализовать в программном обеспечении.

Цифровой БИХ-фильтр обычно может аппроксимировать желаемый отклик фильтра, используя меньшую вычислительную мощность, чем КИХ-фильтр, однако это преимущество чаще оказывается ненужным, учитывая возрастающую мощность цифровых процессоров. Простота разработки и определения характеристик КИХ-фильтров делает их предпочтительнее для разработчиков фильтров (программистов), когда доступны достаточные вычислительные мощности. Еще одно преимущество КИХ-фильтров состоит в том, что их импульсный отклик можно сделать симметричным, что подразумевает отклик в частотной области с нулевой фазой на всех частотах (без учета конечной задержки), что абсолютно невозможно с любым БИХ-фильтром. ^[2]

Частотная характеристика [ править ]

Частотная характеристика или передаточная функция фильтра может быть получена, если импульсная характеристика известна, или непосредственно посредством анализа с использованием преобразования Лапласа , или в системах с дискретным временем Z-преобразования . Частотная характеристика также включает фазу как функцию частоты, однако во многих случаях фазовая характеристика не представляет особого интереса или не представляет интереса. КИХ-фильтры могут иметь нулевую фазу, но с БИХ-фильтрами это вообще невозможно. С большинством передаточных функций БИХ связаны передаточные функции, имеющие частотную характеристику с той же величиной, но с другой фазой; в большинстве случаев предпочтительна так называемая минимальная фазовая передаточная функция.${\ Displaystyle | ЧАС (\ омега) |}$

Фильтры во временной области чаще всего просят следовать заданной частотной характеристике. Затем математическая процедура находит передаточную функцию фильтра, которая может быть реализована (с некоторыми ограничениями), и аппроксимирует желаемый отклик с точностью до некоторого критерия. Общие характеристики отклика фильтра описаны ниже:

• Фильтр низких частот передает низкие частоты, блокируя более высокие частоты.
• Фильтр высоких частот проходит высокие частоты.
• Полосовой фильтр пропускает полосу (диапазон) частот.
• Полосовой фильтр стоп проходит высокие и низкие частоты за пределы указанного диапазона.
• Режекторный фильтр имеет отклик нуль на определенной частоте. Эта функция может быть объединена с одним из приведенных выше ответов.
• Все-фильтр пропускает все частоты одинаково хорошо, но изменяет фазовое соотношение между ними.
• Фильтр коррекции не предназначен для полного пропускания или блокировки любой частоты, а для постепенного изменения амплитудной характеристики в зависимости от частоты: хорошими примерами являются фильтры, используемые в качестве фильтров предыскажения , эквалайзеры или регуляторы тембра .

Функции передачи FIR [ править ]

Для удовлетворения требований к частотной характеристике с помощью FIR-фильтра используются относительно простые процедуры. В самой простой форме желаемый частотный отклик может быть дискретизирован с разрешением, а Фурье преобразован во временную область. Это позволяет получить коэффициенты h _i фильтра , который реализует FIR-фильтр с нулевой фазой, который соответствует частотной характеристике на используемых частотах дискретизации. Чтобы лучше соответствовать желаемому ответу, он должен быть уменьшен. Однако длительность импульсной характеристики фильтра и количество членов, которые должны быть суммированы для каждого выходного значения (в соответствии с приведенной выше сверткой дискретного времени), задаются выражением, где T - период выборки.${\ displaystyle \ Delta f}$${\ displaystyle \ Delta f}$${\ Displaystyle N = 1 / (\ Delta f \, T)}$системы с дискретным временем (N-1 также называется порядком КИХ-фильтра). Таким образом, сложность цифрового фильтра и время вычислений возрастают обратно пропорционально , увеличивая затраты на функции фильтра, которые лучше аппроксимируют желаемое поведение. По той же причине функции фильтра, критический отклик которых находится на более низких частотах (по сравнению с частотой дискретизации 1 / T ), требуют FIR-фильтра более высокого порядка, требующего больших вычислительных ресурсов. Таким образом, в таких случаях БИХ-фильтр может быть намного более эффективным.${\ displaystyle \ Delta f}$

В другом месте читатель может найти дальнейшее обсуждение методов проектирования для практического проектирования КИХ-фильтров .

Функции передачи IIR [ править ]

Поскольку классические аналоговые фильтры являются БИХ-фильтрами, существует долгая история изучения диапазона возможных передаточных функций, реализующих различные из вышеупомянутых желаемых характеристик фильтра в системах с непрерывным временем. Используя преобразования, можно преобразовать эти частотные характеристики с непрерывным временем в те, которые реализованы в дискретном времени, для использования в цифровых БИХ-фильтрах. Сложность любого такого фильтра определяется порядком N, который описывает порядок рациональной функции, описывающей частотную характеристику. Порядок N особенно важен в аналоговых фильтрах, потому что N- ^йДля реализации электронного фильтра требуется N реактивных элементов (конденсаторов и / или катушек индуктивности). Если фильтр реализуется с использованием, например, биквадратных каскадов с использованием операционных усилителей , необходимо N / 2 каскада. В цифровой реализации количество вычислений, выполняемых на выборку, пропорционально N. Таким образом, математическая проблема состоит в том, чтобы получить наилучшее приближение (в некотором смысле) к желаемому отклику с использованием меньшего N, как мы сейчас проиллюстрируем.

Ниже приведены частотные характеристики нескольких стандартных функций фильтра, которые приблизительно соответствуют желаемому отклику, оптимизированному в соответствии с некоторым критерием. Все это фильтры нижних частот пятого порядка, рассчитанные на частоту среза 0,5 в нормализованных единицах. Частотные характеристики показаны для фильтров Баттерворта , Чебышева , обратного Чебышева и эллиптического фильтра .

Как видно из изображения, эллиптический фильтр резче, чем другие, но за счет ряби как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Фильтр Баттерворта имеет самый плохой переход, но имеет более равномерный отклик, избегая пульсаций в полосе пропускания или полосе задерживания. Фильтр Бесселя (не показан) , имеет еще хуже переход в частотной области, но сохраняет лучшую фазовую точность воспроизведения сигнала. Разные приложения подчеркивают разные требования к дизайну, что приводит к разному выбору среди этих (и других) оптимизаций или к требованию фильтра более высокого порядка.

Примеры реализации [ править ]

Популярной схемой, реализующей активный RC-фильтр второго порядка, является конструкция Саллена-Ки , принципиальная схема которой показана здесь. Эта топология может быть адаптирована для создания фильтров нижних, полосовых и верхних частот.

КИХ-фильтр N- ^го порядка может быть реализован в системе с дискретным временем с использованием компьютерной программы или специального оборудования, в котором входной сигнал подвергается N стадиям задержки. Выходной сигнал фильтра формируется как взвешенная сумма этих задержанных сигналов, как показано на прилагаемой диаграмме потока сигналов. Характеристика фильтра зависит от весовых коэффициентов , обозначаемых б ₀ , Ь ₁ , .... б _N . Например, если бы все коэффициенты были равны единице, так называемая блочная функция , тогда он бы реализовал бы фильтр нижних частот с низкочастотным усилением N + 1 и частотной характеристикой, заданной функцией sinc.. Превосходные формы частотной характеристики могут быть получены с использованием коэффициентов, полученных в результате более сложной процедуры проектирования.

Математика построения фильтров [ править ]

Теория систем LTI описывает линейные инвариантные во времени (LTI) фильтры всех типов. LTI-фильтры можно полностью описать их частотной характеристикой и фазовой характеристикой , спецификация которых однозначно определяет их импульсную характеристику , и наоборот . С математической точки зрения, БИХ-фильтры LTI с непрерывным временем могут быть описаны в терминах линейных дифференциальных уравнений , а их импульсные характеристики могут рассматриваться как функции Грина уравнения. Фильтры LTI с непрерывным временем также могут быть описаны в терминах преобразования Лапласа.их импульсной характеристики, что позволяет анализировать все характеристики фильтра, рассматривая структуру нулей и полюсов их преобразования Лапласа в комплексной плоскости . Аналогичным образом, фильтры LTI с дискретным временем могут быть проанализированы с помощью Z-преобразования их импульсной характеристики.

До появления компьютерных инструментов синтеза фильтров в качестве инструментов проектирования широко использовались графические инструменты, такие как графики Боде и Найквиста . Даже сегодня они являются бесценным инструментом для понимания поведения фильтров. Справочники ^[3] содержат обширные графики частотной характеристики, фазовой характеристики, групповой задержки и импульсной характеристики для различных типов фильтров разного порядка. Они также содержали таблицы значений, показывающие, как реализовать такие фильтры, как лестницы RLC - очень полезно, когда усилительные элементы были дорогими по сравнению с пассивными компонентами. Такая лестница также может быть спроектирована так, чтобы иметь минимальную чувствительность к изменению компонентов ^[4], свойство, которое трудно оценить без компьютерных инструментов.

Было разработано множество различных конструкций аналоговых фильтров, каждая из которых пытается оптимизировать некоторые характеристики отклика системы. Для практических фильтров иногда желательна индивидуальная конструкция, которая может предложить лучший компромисс между различными критериями проектирования, которые могут включать количество компонентов и стоимость, а также характеристики отклика фильтра.

Эти описания относятся к математическим свойствам фильтра (то есть к частотной и фазовой характеристикам). Они могут быть реализованы как аналоговые схемы (например, с использованием топологии фильтра Саллена-Ки , типа активного фильтра ) или как алгоритмы в системах цифровой обработки сигналов .

Цифровые фильтры гораздо более гибкие для синтеза и использования, чем аналоговые фильтры, где ограничения конструкции позволяют их использовать. Примечательно, что нет необходимости учитывать допуски компонентов, и могут быть получены очень высокие уровни добротности.

Цифровые фильтры КИХ могут быть реализованы путем прямого свертки желаемой импульсной характеристики с входным сигналом. Их можно легко сконструировать, чтобы получить согласованный фильтр для любой произвольной формы импульса.

Цифровые БИХ-фильтры часто труднее проектировать из-за проблем, включая проблемы с динамическим диапазоном, шум квантования и нестабильность. Обычно цифровые БИХ-фильтры представляют собой серию цифровых биквадратных фильтров .

Все фильтры нижних частот с непрерывным временем второго порядка имеют передаточную функцию, заданную следующим образом:

${\displaystyle H(s)={\frac {K\omega _{0}^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

Все полосовые фильтры с непрерывным временем второго порядка имеют передаточную функцию, заданную следующим образом:

${\displaystyle H(s)={\frac {K{\frac {\omega _{0}}{Q}}s}{s^{2}+{\frac {\omega _{0}}{Q}}s+\omega _{0}^{2}}}.}$

куда

• K - усиление (усиление по постоянному току нижних частот или усиление в полосе средних частот) ( K равно 1 для пассивных фильтров)
• Q - коэффициент добротности
• ${\displaystyle \omega _{0}}$ центральная частота
• ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ это комплексная частота

См. Также [ править ]

• Дизайн фильтра
• Преобразование Лапласа
• Функция Грина
• Фильтр прототипа
• Z-преобразование
• Системная теория
  • Теория систем LTI
• Нелинейный фильтр
• Винеровский фильтр
• Фильтр Габора
• Чехол-фильтр

Примечания и ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]