Нелинейная система

Сложные системы
Темы
Самоорганизация Возникновение
Коллективное поведение Социальная динамика Коллективный разум Коллективные действия Самоорганизованная критичность Стадный менталитет Фазовый переход Агентное моделирование Синхронизация Оптимизация муравьиной колонии Оптимизация роя частиц Поведение роя Коллективное сознание
Сети Безмасштабные сети Анализ социальных сетей Сети небольшого мира Центральность Мотивы Теория графов Масштабирование Устойчивость Системная биология Динамические сети Адаптивные сети
Эволюция и адаптация Искусственная нейронная сеть Эволюционные вычисления Генетические алгоритмы Генетическое программирование Искусственная жизнь Машинное обучение Эволюционная биология развития Искусственный интеллект Эволюционная робототехника Эволюционируемость
Формирование паттерна Фракталы Реакционно-диффузионные системы Уравнения с частными производными Диссипативные структуры Перколяция Клеточные автоматы Пространственная экология Самовоспроизводство Геоморфология
Теория систем Гомеостаз Операционализация Обратная связь самоссылки Цель-ориентированная системная динамика осмысление Энтропия Кибернетика Автопоэзис Теория информации Теория вычислений
Нелинейная динамика Анализ временных рядов Обыкновенные дифференциальные уравнения Фазовое пространство Аттракторы Динамика населения Хаос Мультистабильность Бифуркация Решетки связанных карт
Теория игры Дилемма заключенного Теория рационального выбора Ограниченная рациональность Эволюционная теория игр
v т е

В математике и науке , А нелинейная система представляет собой систему , в которой изменение выходного сигнала не пропорционально изменению входного сигнала. ^{[1] [2]} Нелинейные задачи представляют интерес для инженеров , биологов , ^{[3] [4] [5]} физиков , ^{[6] [7]} математиков и многих других ученых, потому что большинство систем по своей природе нелинейны. ^[8] Нелинейные динамические системы., описывающий изменения переменных во времени, может показаться хаотичным, непредсказуемым или нелогичным, в отличие от гораздо более простых линейных систем .

Обычно поведение нелинейной системы описывается в математике нелинейной системой уравнений , которая представляет собой систему одновременных уравнений, в которой неизвестные (или неизвестные функции в случае дифференциальных уравнений ) появляются как переменные полинома степени выше единицы или в аргументе функции, не являющейся полиномом первой степени. Другими словами, в нелинейной системе уравнений решаемое уравнение (я) не может быть записано как линейная комбинация неизвестных переменных или функций.которые появляются в них. Системы могут быть определены как нелинейные, независимо от того, присутствуют ли в уравнениях известные линейные функции. В частности, дифференциальное уравнение является линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, даже если оно нелинейно относительно других переменных, входящих в него.

Поскольку нелинейные динамические уравнения трудно решить, нелинейные системы обычно аппроксимируются линейными уравнениями ( линеаризация ). Это хорошо работает с некоторой точностью и некоторым диапазоном входных значений, но некоторые интересные явления, такие как солитоны , хаос , ^[9] и сингулярности , скрыты линеаризацией. Отсюда следует, что некоторые аспекты динамического поведения нелинейной системы могут показаться нелогичными, непредсказуемыми или даже хаотическими. Хотя такое хаотичное поведение может напоминать случайноеповедение, на самом деле оно не случайно. Например, некоторые аспекты погоды кажутся хаотичными, когда простые изменения в одной части системы производят сложные эффекты повсюду. Эта нелинейность - одна из причин, по которой точные долгосрочные прогнозы невозможны с использованием современных технологий.

Некоторые авторы используют термин нелинейная наука для исследования нелинейных систем. Этот термин оспаривается другими:

Использование термина как нелинейная наука, как со ссылкой на основную часть зоологии , как изучение , не являющиеся -elephant животных.

-  Станислав Улам ^[10]

Определение [ править ]

В математике линейная карта (или линейная функция ) - это карта, которая удовлетворяет обоим из следующих свойств:${\ displaystyle f (x)}$

• Принцип аддитивности или суперпозиции :${\ displaystyle \ textstyle f (x + y) = f (x) + f (y);}$
• Однородность: ${\ displaystyle \ textstyle f (\ alpha x) = \ alpha f (x).}$

Аддитивность подразумевает однородность для любого рационального α , а для непрерывных функций - для любого действительного α . Для комплексного α однородность не следует из аддитивности. Например, антилинейная карта аддитивна, но не однородна. Условия аддитивности и однородности часто объединяются в принципе суперпозиции.

${\ Displaystyle е (\ альфа х + \ бета у) = \ альфа е (х) + \ бета е (у)}$

Уравнение, записанное как

${\ displaystyle f (x) = C}$

называется линейным, если это линейное отображение (как определено выше), и нелинейным в противном случае. Уравнение называется однородным, если .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle C = 0}$

Определение очень общее, так как это может быть любой разумный математический объект (число, вектор, функция и т. Д.), А функция может быть буквально любым отображением , включая интегрирование или дифференцирование со связанными ограничениями (такими как граничные значения ). Если содержит дифференцирование по , результатом будет дифференциальное уравнение .${\ displaystyle f (x) = C}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$

Нелинейные алгебраические уравнения [ править ]

Нелинейные алгебраические уравнения , которые также называются полиномиальными уравнениями , определяются путем приравнивания многочленов (степени больше единицы) к нулю. Например,

${\ Displaystyle х ^ {2} + х-1 = 0 \ ,.}$

Для одного полиномиального уравнения алгоритмы поиска корней могут использоваться для поиска решений уравнения (т. Е. Наборов значений переменных, которые удовлетворяют уравнению). Однако системы алгебраических уравнений сложнее; их изучение - одна из причин, побуждающих к изучению алгебраической геометрии , сложного раздела современной математики. Трудно даже решить, имеет ли данная алгебраическая система сложные решения (см . Nullstellensatz Гильберта ). Тем не менее, в случае систем с конечным числом комплексных решений эти системы полиномиальных уравнений теперь хорошо изучены, и существуют эффективные методы их решения. ^[11]

Нелинейные рекуррентные отношения [ править ]

Нелинейное рекуррентное отношение определяет последовательные члены последовательности как нелинейную функцию предыдущих членов. Примерами нелинейных рекуррентных отношений являются логистическая карта и отношения, которые определяют различные последовательности Хофштадтера . Нелинейные дискретные модели, которые представляют широкий класс нелинейных рекуррентных отношений, включают модель NARMAX (нелинейное авторегрессионное скользящее среднее с внешними входными данными) и соответствующие процедуры идентификации и анализа нелинейных систем . ^[12] Эти подходы могут быть использованы для изучения широкого класса сложных нелинейных поведений во временной, частотной и пространственно-временной областях.

Нелинейные дифференциальные уравнения [ править ]

Система из дифференциальных уравнений называется нелинейной , если она не является линейной системой . Задачи, связанные с нелинейными дифференциальными уравнениями, чрезвычайно разнообразны, и методы решения или анализа зависят от конкретной задачи. Примерами нелинейных дифференциальных уравнений являются уравнения Навье – Стокса в гидродинамике и уравнения Лотки – Вольтерра в биологии.

Одна из самых больших трудностей нелинейных задач состоит в том, что обычно невозможно объединить известные решения в новые решения. Например, в линейных задачах семейство линейно независимых решений может использоваться для построения общих решений с помощью принципа суперпозиции . Хорошим примером этого является одномерный перенос тепла с граничными условиями Дирихле , решение которых может быть записано как зависящая от времени линейная комбинация синусоид различных частот; это делает решения очень гибкими. Часто можно найти несколько очень конкретных решений нелинейных уравнений, однако отсутствие принципа суперпозиции препятствует построению новых решений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения [ править ]

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка часто точно решаются путем разделения переменных , особенно для автономных уравнений. Например, нелинейное уравнение

${\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = - u ^ {2}}$

имеет как общее решение (а также u = 0 как частное решение, соответствующее пределу общего решения, когда C стремится к бесконечности). Уравнение является нелинейным, поскольку его можно записать как${\ displaystyle u = {\ frac {1} {x + C}}}$

${\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} + u ^ {2} = 0}$

и левая часть уравнения не является линейной функцией от u и ее производных. Обратите внимание, что если бы член u ² был заменен на u , проблема была бы линейной ( проблема экспоненциального убывания ).

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка (в более общем смысле, системы нелинейных уравнений) редко дают решения в замкнутой форме , хотя встречаются неявные решения и решения, содержащие неэлементарные интегралы .

Общие методы качественного анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений включают:

• Исследование любых сохраняющихся величин , особенно в гамильтоновых системах.
• Исследование диссипативных величин (см. Функцию Ляпунова ), аналогичных сохраняющимся величинам.
• Линеаризация через разложение Тейлора
• Замена переменных на что-то более легкое для изучения
• Теория бифуркации
• Методы возмущений (применимы и к алгебраическим уравнениям)

Уравнения с частными производными [ править ]

Наиболее распространенный базовый подход к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных состоит в том, чтобы изменить переменные (или иным образом преобразовать проблему) так, чтобы полученная задача была более простой (возможно, даже линейной). Иногда уравнение может быть преобразовано в одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений , как видно из разделения переменных , что всегда полезно независимо от того, разрешимо ли полученное обыкновенное дифференциальное уравнение (я).

Другая распространенная (хотя и менее математическая) тактика, часто применяемая в механике жидкости и тепла, - это использование масштабного анализа для упрощения общего естественного уравнения в определенной конкретной краевой задаче . Например, (очень) нелинейные уравнения Навье-Стокса можно упростить до одного линейного уравнения в частных производных в случае нестационарного, ламинарного, одномерного потока в круглой трубе; масштабный анализ обеспечивает условия, при которых поток является ламинарным и одномерным, а также дает упрощенное уравнение.

Другие методы включают изучение характеристик и использование описанных выше методов для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пендула [ править ]

Классической, широко изучаемой нелинейной задачей является динамика маятника под действием силы тяжести . Используя лагранжевую механику , можно показать ^[13], что движение маятника можно описать безразмерным нелинейным уравнением

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + \ sin (\ theta) = 0}$

где сила тяжести направлена ​​«вниз» и представляет собой угол, который маятник образует с положением покоя, как показано на рисунке справа. Один из подходов к «решению» этого уравнения - использовать в качестве интегрирующего множителя , который в конечном итоге даст${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle d \ theta / dt}$

${\ displaystyle \ int {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {C_ {0} +2 \ cos (\ theta)}}} = t + C_ {1}}$

которое является неявным решением, включающим эллиптический интеграл . Это «решение» обычно не имеет большого применения, потому что большая часть природы решения скрыта в неэлементарном интеграле (неэлементарном, если только ).${\ displaystyle C_ {0} = 2}$

Другой способ подойти к проблеме - линеаризовать любые нелинейности (в данном случае член синусоидальной функции) в различных точках интереса с помощью разложений Тейлора . Например, линеаризация при , называемая приближением малого угла, равна${\ displaystyle \ theta = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + \ theta = 0}$

поскольку для . Это простой гармонический осциллятор, соответствующий колебаниям маятника в нижней части его пути. Другая линеаризация будет в точке , соответствующей вертикальному положению маятника:${\ Displaystyle \ грех (\ тета) \ приблизительно \ тета}$${\displaystyle \theta \approx 0}$${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0}$

поскольку для . Решение этой проблемы включает в себя гиперболические синусоиды , и обратите внимание, что в отличие от приближения малых углов, это приближение нестабильно, что означает, что они обычно будут расти без ограничений, хотя ограниченные решения возможны. Это соответствует сложности удержания маятника в вертикальном положении, это буквально неустойчивое состояние.${\displaystyle \sin(\theta )\approx \pi -\theta }$${\displaystyle \theta \approx \pi }$${\displaystyle |\theta |}$

Возможна еще одна интересная линеаризация , вокруг которой :${\displaystyle \theta =\pi /2}$${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.}$

Это соответствует проблеме свободного падения. Очень полезную качественную картину динамики маятника можно получить, собирая вместе такие линеаризации, как показано на рисунке справа. Для нахождения (точных) фазовых портретов и приблизительных периодов могут использоваться другие методы .

Типы нелинейного динамического поведения [ править ]

• Смерть амплитуды - любые колебания, присутствующие в системе, прекращаются из-за какого-либо взаимодействия с другой системой или обратной связи той же системы.
• Хаос - ценности системы нельзя предсказать на неопределенное время в далеком будущем, а колебания апериодичны.
• Мультистабильность - наличие двух и более стабильных состояний
• Солитоны - самоусиливающиеся уединенные волны
• Предельные циклы - асимптотические периодические орбиты, к которым притягиваются дестабилизированные неподвижные точки.
• Автоколебания - колебания с обратной связью, имеющие место в открытых диссипативных физических системах.

Примеры нелинейных уравнений [ править ]

См. Также [ править ]

• Александр Михайлович Ляпунов
• Динамическая система
• Обратная связь
• Начальное состояние
• Взаимодействие
• Линейная система
• Связь мод
• Векторный солитон
• Серия Вольтерра

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Программа исследования командования и управления (CCRP)
• Институт сложных систем Новой Англии: концепции сложных систем
• Нелинейная динамика I: Хаос на OpenCourseWare Массачусетского технологического института
• Библиотека нелинейных моделей  - (в MATLAB ) база данных физических систем
• Центр нелинейных исследований в Лос-Аламосской национальной лаборатории