Системы реакции-диффузии - это математические модели, которые соответствуют нескольким физическим явлениям. Наиболее распространенным является изменение концентрации одного или нескольких химических веществ в пространстве и времени: локальные химические реакции, в которых вещества превращаются друг в друга, и диффузия, которая заставляет вещества распространяться по поверхности в пространстве.
Системы реакция – диффузия естественным образом находят применение в химии . Однако система может также описывать динамические процессы нехимической природы. Примеры можно найти в биологии , геологии и физике (теория диффузии нейтронов) и экологии . Математически системы реакция – диффузия имеют форму полулинейных параболических уравнений в частных производных . Их можно представить в общем виде
где д ( х , т ) представляет собой неизвестный вектор - функцию, D представляет собой диагональную матрицу из коэффициентов диффузии , и R счета для всех локальных реакций. Решения уравнений реакция-диффузия демонстрируют широкий диапазон поведения, включая образование бегущих волн и волновых явлений, а также других самоорганизующихся структур, таких как полосы, шестиугольники или более сложные структуры, такие как диссипативные солитоны . Такие паттерны получили название « паттерны Тьюринга ». [1] Каждая функция, для которой выполняется дифференциальное уравнение реакции диффузии, фактически представляет собой переменную концентрации .
Однокомпонентные уравнения реакции – диффузии.
Простейшее уравнение реакции-диффузии находится в одном пространственном измерении в плоской геометрии,
также называется уравнением Колмогорова – Петровского – Пискунова . [2] Если член реакции равен нулю, то уравнение представляет собой чистый процесс диффузии. Соответствующее уравнение является вторым законом Фика . Выбор R ( u ) = u (1 - u ) дает уравнение Фишера, которое первоначально использовалось для описания распространения биологических популяций , [3] уравнение Ньюэлла-Уайтхеда-Сегеля с R ( u ) = u (1 - u 2). ) для описания конвекции Рэлея-Бенара , [4] [5] более общий Зельдович уравнение с Р ( у ) = у (1 - у ) ( у - α ) и 0 < α <1 , который возникает в сгорания теории, [6 ] и его частный вырожденный случай с R ( u ) = u 2 - u 3, который иногда также называют уравнением Зельдовича. [7]
На динамику однокомпонентных систем накладываются определенные ограничения, поскольку уравнение эволюции также можно записать в вариационной форме
и поэтому описывает постоянное уменьшение «свободной энергии» заданный функционалом
с потенциалом V ( u ) таким, что R ( u ) =d V ( u )/д у.
В системах с более чем одним стационарным однородным решением типичное решение дается бегущими фронтами, соединяющими однородные состояния. Эти решения движутся с постоянной скоростью, не меняя своей формы, и имеют вид u ( x , t ) = û ( ξ ) с ξ = x - ct , где c - скорость бегущей волны. Обратите внимание, что в то время как бегущие волны являются обычно стабильными структурами, все немонотонные стационарные решения (например, локализованные домены, состоящие из пары фронт-антифронт) нестабильны. Для c = 0 существует простое доказательство этого утверждения: [8] если u 0 ( x ) - стационарное решение, а u = u 0 ( x ) + ũ ( x , t ) - бесконечно возмущенное решение, линейная устойчивость анализ дает уравнение
Используя анзац ũ = ψ ( x ) exp (- λt ), приходим к задаче на собственные значения
типа Шредингера, где отрицательные собственные значения приводят к неустойчивости решения. Из-за трансляционной инвариантности ψ = ∂ x u 0 ( x ) является нейтральной собственной функцией с собственным значением λ = 0 , а все остальные собственные функции могут быть отсортированы в соответствии с возрастающим числом узлов с величиной соответствующего действительного собственного значения, монотонно возрастающей с увеличением количество нулей. Собственная функция ψ = ∂ x u 0 ( x ) должна иметь по крайней мере один нуль, а для немонотонного стационарного решения соответствующее собственное значение λ = 0 не может быть наименьшим, что подразумевает неустойчивость.
Чтобы определить скорость c движущегося фронта, можно перейти в движущуюся систему координат и посмотреть на стационарные решения:
Это уравнение имеет хороший механический аналог как движение массы D с положением û в течение «времени» ξ под действием силы R с коэффициентом демпфирования c, что позволяет довольно наглядно получить доступ к построению различных типов решений. и определение c .
При переходе от одного пространственного измерения к нескольким все же можно применять ряд утверждений из одномерных систем. Плоские или изогнутые волновые фронты являются типичными структурами, и новый эффект возникает, когда локальная скорость искривленного фронта становится зависимой от локального радиуса кривизны (это можно увидеть, перейдя к полярным координатам ). Это явление приводит к так называемой нестабильности, обусловленной кривизной. [9]
Двухкомпонентные уравнения реакции-диффузии
Двухкомпонентные системы допускают гораздо больший диапазон возможных явлений, чем их однокомпонентные аналоги. Важная идея, которая была впервые предложена Аланом Тьюрингом, состоит в том, что состояние, стабильное в локальной системе, может стать нестабильным при наличии диффузии . [10]
Однако линейный анализ устойчивости показывает, что при линеаризации общей двухкомпонентной системы
плоская волна возмущения
стационарного однородного раствора будет удовлетворять
Идея Тьюринга может быть реализована только в четырех классах эквивалентности систем, характеризуемых знаками якобиана R ' функции реакции. В частности, если предполагается, что конечный волновой вектор k является наиболее неустойчивым, якобиан должен иметь знаки
Этот класс систем назван системой активатор-ингибитор по имени его первого представителя: близкий к основному состоянию один компонент стимулирует выработку обоих компонентов, а другой ингибирует их рост. Его наиболее ярким представителем является уравнение ФитцХью – Нагумо.
с f ( u ) = λu - u 3 - κ, который описывает, как потенциал действия проходит через нерв. [11] [12] Здесь d u , d v , τ , σ и λ - положительные постоянные.
Когда система активатор-ингибитор претерпевает изменение параметров, можно перейти от условий, при которых однородное основное состояние является устойчивым, к условиям, при которых оно является линейно нестабильным. Соответствующая бифуркация может быть либо бифуркацией Хопфа в глобально осциллирующее однородное состояние с доминирующим волновым числом k = 0, либо бифуркацией Тьюринга в глобально структурированное состояние с доминирующим конечным волновым числом. Последнее в двух пространственных измерениях обычно приводит к полосатым или шестиугольным узорам.
Шумные начальные условия при t = 0.
Состояние системы при t = 10.
Практически сходящееся состояние при t = 100.
Для примера Фитцхью – Нагумо кривые нейтральной устойчивости, отмечающие границу области линейной устойчивости для бифуркаций Тьюринга и Хопфа, имеют вид
Если бифуркация является докритической, часто локализованные структуры ( диссипативные солитоны ) могут наблюдаться в гистерезисной области, где паттерн сосуществует с основным состоянием. Другие часто встречающиеся структуры включают последовательности импульсов (также известные как периодические бегущие волны ), спиральные волны и целевые узоры. Эти три типа решений также являются общими чертами двух (или более) компонентных уравнений реакции-диффузии, в которых локальная динамика имеет устойчивый предельный цикл [13]
Вращающаяся спираль.
Целевой шаблон.
Стационарный локализованный импульс (диссипативный солитон).
Трех- и более-компонентные уравнения реакции-диффузии
Для множества систем были предложены уравнения реакции-диффузии с более чем двумя компонентами, например, в качестве моделей для регуляции лимфангиогенеза с помощью VEGFC , MMP2 и коллагена I ; [14] Белоусова-Жаботинского реакция , [15] для свертывания крови [16] или плоские газоразрядные системы. [17]
Известно, что системы с большим количеством компонентов допускают различные явления, невозможные в системах с одним или двумя компонентами (например, стабильные текущие импульсы в более чем одном пространственном измерении без глобальной обратной связи). [18] Введение и систематический обзор возможных явлений в зависимости от свойств базовой системы даны в [19].
Проблемы, создаваемые многокомпонентными системами, коренятся в их аналитически трудноразрешимой природе; Одно из решений состоит в том, чтобы исследовать параметрическое пространство такой модели по одной точке за раз, а затем решать модель численно, как это было сделано в теоретическом исследовании лимфангиогенеза . [14]
Применение и универсальность
В последнее время системы реакции-диффузии вызывают большой интерес в качестве прототипа модели для формирования структуры . [20] Вышеупомянутые паттерны (фронты, спирали, мишени, шестиугольники, полосы и диссипативные солитоны) можно найти в различных типах реакционно-диффузионных систем, несмотря на большие расхождения, например, в условиях локальной реакции. Также утверждалось, что процессы реакции-диффузии являются важной основой для процессов, связанных с морфогенезом в биологии [21] [22], и могут даже быть связаны с шерстью животных и пигментацией кожи. [23] [24] Другие применения уравнений реакции-диффузии включают экологические вторжения, [25] распространение эпидемий, [26] рост опухолей [27] [28] [29] и заживление ран. [30] Другая причина интереса к реакционно-диффузионным системам заключается в том, что, хотя они являются нелинейными уравнениями в частных производных, часто существуют возможности для аналитического рассмотрения. [8] [9] [31] [32] [33] [20]
Эксперименты
Хорошо контролируемые эксперименты в химических реакционно-диффузионных системах до сих пор проводились тремя способами. Во-первых, можно использовать гелевые реакторы [34] или заполненные капиллярные трубки [35] . Во-вторых, исследованы температурные импульсы на каталитических поверхностях . [36] [37] В- третьих, распространение бегущих нервных импульсов моделируется с помощью систем реакции-диффузии. [11] [38]
Помимо этих общих примеров, оказалось, что при определенных обстоятельствах электрические транспортные системы, такие как плазма [39] или полупроводники [40], могут быть описаны в подходе реакции-диффузии. Для этих систем были проведены различные эксперименты по формированию рисунка.
Числовые методы лечения
Система реакция – диффузия может быть решена с использованием методов вычислительной математики . В исследовательской литературе существует несколько числовых трактовок. [41] [20] [42] Также для сложных геометрий предлагаются численные методы решения. [43] [44] С максимальной степенью детализации системы реакции-диффузии описываются с помощью инструментов моделирования на основе частиц, таких как SRSim или ReaDDy [45], которые используют, например, динамику обратимых взаимодействующих частиц. [46]
Смотрите также
- Автоволна
- Реакция, контролируемая диффузией
- Химическая кинетика
- Метод фазового пространства
- Автокаталитические реакции и создание заказов
- Формирование паттерна
- Узоры в природе
- Периодическая бегущая волна
- Стохастическая геометрия
- MClone
- Химические основы морфогенеза
- Паттерн Тьюринга
- Многоступенчатое моделирование биомолекул
Примеры
- Уравнение фишера
- Уравнение Фишера – Колмогорова.
- Модель ФитцХью – Нагумо
Рекомендации
- ^ Вули, TE, Baker, RE , Майне, ПК , глава 34, теория Тьюринга морфогенеза . В Коупленде, Б. Джек ; Боуэн, Джонатан П .; Уилсон, Робин ; Спревак, Марк (2017). Руководство Тьюринга . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0198747826.
- ↑ Колмогоров А., Петровский И. и Пискунов Н. (1937) Изучение уравнения диффузии, связанного с ростом качества вещества, и его применение к биологической проблеме. Вестник Математики МГУ, 1, 1-26.
- ^ Р. А. Фишер, Энн. Евг. 7 (1937): 355
- ^ Ньюэлл, Алан С .; Уайтхед, Дж. А. (3 сентября 1969 г.). «Конечная ширина полосы, конвекция конечной амплитуды». Журнал гидромеханики . Издательство Кембриджского университета (CUP). 38 (2): 279–303. Bibcode : 1969JFM .... 38..279N . DOI : 10.1017 / s0022112069000176 . ISSN 0022-1120 .
- ^ Сегел, Ли А. (14 августа 1969 г.). «Удаленные боковые стенки вызывают медленную амплитудную модуляцию ячеистой конвекции». Журнал гидромеханики . Издательство Кембриджского университета (CUP). 38 (1): 203–224. Bibcode : 1969JFM .... 38..203S . DOI : 10.1017 / s0022112069000127 . ISSN 0022-1120 .
- ^ Я. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий, Acta Physicochim. 9 (1938): 341
- ^ Б. Х. Гилдинг и Р. Керснер, Бегущие волны в реакции нелинейной диффузионной конвекции , Биркхойзер (2004)
- ^ a b П. К. Файф, Математические аспекты реагирующих и рассеивающих систем , Springer (1979)
- ^ a b А. С. Михайлов, Основы синергетики I. Распределенные активные системы, Springer (1990)
- ^ Тьюринг AM (14 августа 1952 г.). «Химические основы морфогенеза» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия B, Биологические науки . Королевское общество. 237 (641): 37–72. Bibcode : 1952RSPTB.237 ... 37T . DOI : 10,1098 / rstb.1952.0012 . ISSN 2054-0280 .
- ^ а б ФитцХью, Ричард (1961). «Импульсы и физиологические состояния в теоретических моделях нервной мембраны» . Биофизический журнал . Elsevier BV. 1 (6): 445–466. Bibcode : 1961BpJ ..... 1..445F . DOI : 10.1016 / s0006-3495 (61) 86902-6 . ISSN 0006-3495 . PMC 1366333 . PMID 19431309 .
- ^ J. Nagumo et al., Proc. Inst. Радио Энджин. Электр. 50 (1962): 2061
- ^ Kopell, N .; Ховард, Л.Н. (1973). "Плоские волновые решения уравнений реакции-диффузии". Исследования по прикладной математике . Вайли. 52 (4): 291–328. DOI : 10.1002 / sapm1973524291 . ISSN 0022-2526 .
- ^ а б Русе, Тиина; Вертхайм, Кеннет Ю. (3 января 2019 г.). "Может ли VEGFC формировать паттерны Тьюринга в эмбрионе рыбки данио?" . Вестник математической биологии . 81 (4): 1201–1237. DOI : 10.1007 / s11538-018-00560-2 . ISSN 1522-9602 . PMC 6397306 . PMID 30607882 .
- ^ Ванаг, Владимир К .; Эпштейн, Ирвинг Р. (24 марта 2004 г.). «Стационарные и колебательные локализованные паттерны и подкритические бифуркации». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 92 (12): 128301. DOI : 10,1103 / physrevlett.92.128301 . ISSN 0031-9007 . PMID 15089714 .
- ^ Лобанова Е.С.; Атауллаханов Ф.И. (26 августа 2004 г.). «Бегущие импульсы сложной формы в реакционно-диффузионной модели». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 93 (9): 098303. DOI : 10,1103 / physrevlett.93.098303 . ISSN 0031-9007 . PMID 15447151 .
- ^ Х.-Г. Purwins et al. в: Диссипативные солитоны, Конспект лекций по физике / Под ред. Н. Ахмедиев и А. Анкевич, Springer (2005)
- ^ Шенк, КП; Ор-Гиль, М .; Bode, M .; Пурвинс, Х.-Г. (12 мая 1997 г.). «Взаимодействующие импульсы в трехкомпонентных реакционно-диффузионных системах на двумерных областях». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 78 (19): 3781–3784. DOI : 10.1103 / physrevlett.78.3781 . ISSN 0031-9007 .
- ^ AW Liehr: Диссипативные солитоны в реакционных диффузионных системах. Механизм, динамика, взаимодействие. Том 70 серии Springer по синергетике, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2
- ^ а б в Гупта, Анкур; Чакраборти, Сайкат (январь 2009 г.). «Линейный анализ устойчивости высоко- и низкоразмерных моделей для описания формирования структуры с ограниченным перемешиванием в гомогенных автокаталитических реакторах». Журнал химической инженерии . 145 (3): 399–411. DOI : 10.1016 / j.cej.2008.08.025 . ISSN 1385-8947 .
- ^ LG Харрисон, Кинетическая теория живого образца, Cambridge University Press (1993)
- ^ Дуран-Небреда, Сальва; Пла, Хорди; Видиелла, Блай; Пиньеро, Хорди; Конде-Пуэйо, Нурия; Соле, Рикар (15 января 2021 г.). «Синтетическое латеральное ингибирование в периодических образцах микробных колоний» . Синтетическая биология ACS . 10 (2): 277–285. DOI : 10.1021 / acssynbio.0c00318 . ISSN 2161-5063 . PMID 33449631 .
- ^ Х. Мейнхардт, Модели формирования биологического паттерна, Academic Press (1982)
- ^ Мюррей, Джеймс Д. (9 марта 2013 г.). Математическая биология . Springer Science & Business Media. С. 436–450. ISBN 978-3-662-08539-4.
- ^ Холмс, Э. Льюис, Массачусетс; Банки, JE; Вейт, Р.Р. (1994). «Уравнения с частными производными в экологии: пространственные взаимодействия и динамика населения». Экология . Вайли. 75 (1): 17–29. DOI : 10.2307 / 1939378 . ISSN 0012-9658 . JSTOR 1939378 .
- ^ Мюррей, Джеймс Д .; Стэнли, EA; Браун, DL (22 ноября 1986 г.). «О пространственном распространении бешенства среди лисиц». Труды Лондонского королевского общества. Серия Б. Биологические науки . Королевское общество. 229 (1255): 111–150. DOI : 10,1098 / rspb.1986.0078 . ISSN 2053-9193 . PMID 2880348 .
- ^ ЧАПЛЕН, МАЙ (1995). «ПРЕДПРИЯТИЕ РЕАКЦИИ-ДИФФУЗИИ И ЕЕ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ РОЛЬ В ИНВАЗИИ ОПУХОЛЕЙ». Журнал биологических систем . World Scientific Pub Co Pte Lt. 03 (4): 929-936. DOI : 10.1142 / s0218339095000824 . ISSN 0218-3390 .
- ^ Sherratt, JA; Новак, Массачусетс (22 июня 1992 г.). «Онкогены, антионкогены и иммунный ответ на рак: математическая модель». Труды Королевского общества B: биологические науки . Королевское общество. 248 (1323): 261–271. DOI : 10,1098 / rspb.1992.0071 . ISSN 0962-8452 . PMID 1354364 .
- ^ RA Gatenby и ET Gawlinski, Cancer Res. 56 (1996): 5745
- ^ Sherratt, JA; Мюррей, JD (23 июля 1990 г.). «Модели заживления эпидермальных ран». Труды Королевского общества B: биологические науки . Королевское общество. 241 (1300): 29–36. DOI : 10,1098 / rspb.1990.0061 . ISSN 0962-8452 . PMID 1978332 .
- ^ П. Гриндрод, Модели и волны: теория и приложения уравнений реакции-диффузии, Clarendon Press (1991)
- ^ Дж. Смоллер, Ударные волны и уравнения диффузии реакций, Springer (1994)
- ^ Б. С. Кернер, В. В. Осипов, Автосолитоны. Новый подход к проблемам самоорганизации и турбулентности, Kluwer Academic Publishers (1994).
- ^ Ли, Кён-Джин; Маккормик, Уильям Д .; Пирсон, Джон Э .; Суинни, Гарри Л. (1994). «Экспериментальное наблюдение самовоспроизводящихся пятен в системе реакция – диффузия». Природа . Springer Nature. 369 (6477): 215–218. DOI : 10.1038 / 369215a0 . ISSN 0028-0836 .
- ^ Хамик, Чад Т; Стейнбок, Оливер (6 июня 2003 г.). «Волны возбуждения в реакционно-диффузионных средах с немонотонными дисперсионными соотношениями» . Новый журнал физики . IOP Publishing. 5 : 58. DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 5/1/358 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Rotermund, HH; Jakubith, S .; von Oertzen, A .; Эртл, Г. (10 июня 1991 г.). «Солитоны в поверхностной реакции». Письма с физическим обзором . Американское физическое общество (APS). 66 (23): 3083–3086. DOI : 10.1103 / physrevlett.66.3083 . ISSN 0031-9007 . PMID 10043694 .
- ^ Грэм, Майкл Д .; Lane, Samuel L .; Лусс, Дэн (1993). «Динамика температурных импульсов на каталитическом кольце». Журнал физической химии . Американское химическое общество (ACS). 97 (29): 7564–7571. DOI : 10.1021 / j100131a028 . ISSN 0022-3654 .
- ^ Ходжкин, А.Л .; Хаксли, AF (28 августа 1952 г.). «Количественное описание мембранного тока и его применение к проводимости и возбуждению в нерве» . Журнал физиологии . Вайли. 117 (4): 500–544. DOI : 10.1113 / jphysiol.1952.sp004764 . ISSN 0022-3751 . PMC 1392413 . PMID 12991237 .
- ^ Bode, M .; Пурвинс, Х.-Г. (1995). «Формирование закономерностей в реакционно-диффузионных системах - диссипативных солитонах в физических системах». Physica D: нелинейные явления . Elsevier BV. 86 (1–2): 53–63. DOI : 10.1016 / 0167-2789 (95) 00087-к . ISSN 0167-2789 .
- ^ Э. Шёлль, Нелинейная пространственно-временная динамика и хаос в полупроводниках, Cambridge University Press (2001)
- ^ S.Tang et al., J.Austral.Math.Soc. Сер.Б 35 (1993): 223–243.
- ^ Тим Хаттон, Роберт Мунафо, Эндрю Треворроу, Том Рокики, Дэн Уиллс. «Готово, кроссплатформенная реализация различных систем реакции-диффузии». https://github.com/GollyGang/ready
- ^ Isaacson, Samuel A .; Пескин, Чарльз С. (2006). «Включение диффузии в сложных геометриях в моделирование стохастической химической кинетики». SIAM J. Sci. Comput . 28 (1): 47–74. CiteSeerX 10.1.1.105.2369 . DOI : 10.1137 / 040605060 .
- ^ Линкер, Патрик (2016). «Численные методы решения уравнения реактивной диффузии в сложных геометриях» . Победитель .
- ^ Инструменты моделирования для динамики реакции-диффузии на основе частиц в непрерывном пространстве https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5
- ^ Fröhner, Christoph, и Фрэнк Ноэ. «Обратимая динамика реакций взаимодействующих частиц». Журнал физической химии B 122.49 (2018): 11240-11250.
Внешние ссылки
- Реакция – диффузия по модели Грея – Скотта: параметризация Пирсона - визуальная карта пространства параметров диффузии по реакции Грея – Скотта.
- Диссертация по реакционно-диффузионным моделям с обзором области.