В математике , уравнение Фишера (названный после того, как статистик и биолог Ronald Fisher ) , также известный как уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова (имени Андрея Колмогорова , И. Петровского и Н. Пискунов ), уравнение КРР или уравнение Фишера-КРР является дифференциальное уравнение :
Это своего рода система реакции-диффузии, которую можно использовать для моделирования роста населения и распространения волн.
Подробности
Уравнение Фишера относится к классу уравнений реакции-диффузии : по сути, это одно из простейших полулинейных уравнений реакции-диффузии, имеющее неоднородный член
которые могут демонстрировать решения с бегущей волной, которые переключаются между состояниями равновесия, заданными формулой . Такие уравнения встречаются, например, в экологии , физиологии , горении , кристаллизации , физике плазмы и в общих задачах фазовых переходов .
Фишер предложил это уравнение в своей статье 1937 года «Волна продвижения полезных генов в контексте популяционной динамики», чтобы описать пространственное распространение выгодного аллеля, и исследовал его решения в виде бегущей волны. [1] Для каждой скорости волны (в безразмерном виде) допускает решения бегущей волны вида
где увеличивается и
То есть решение переключается из состояния равновесия u = 0 в состояние равновесия u = 1. Такого решения не существует при c <2. [1] [2] [3] Форма волны для данной скорости волны уникальна. Решения бегущей волны устойчивы к возмущениям ближнего поля, но не к возмущениям дальнего поля, которые могут утолщать хвост. Используя принцип сравнения и теорию суперрешений, можно доказать, что все решения с компактными начальными данными сходятся к волнам с минимальной скоростью.
Для особой скорости волны , все решения можно найти в замкнутой форме [4] с
где произвольно, и указанные выше предельные условия выполняются для .
Доказательство существования решений с бегущей волной и анализ их свойств часто выполняется методом фазового пространства .
Уравнение КПП
В том же 1937 году, когда Фишер, Колмогоров, Петровский и Пискунов [2] ввели более общее уравнение реакции-диффузии
где является достаточно гладкой функцией со свойствами, что а также для всех . Это тоже имеет решения с бегущей волной, обсуждавшиеся выше. Уравнение Фишера получается при задании и изменение масштаба координировать с коэффициентом . Более общий пример дается с участием . [5] [6] [7] Колмогоров, Петровский и Пискунов [2] обсудили этот пример св контексте популяционной генетики .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Фишер, Р. А. (1937). «Волна продвижения полезных генов» (PDF) . Летопись евгеники . 7 (4): 353–369. DOI : 10.1111 / j.1469-1809.1937.tb02153.x . ЛВП : 2440/15125 .
- ^ a b c А. Колмогоров, И. Петровский, Н. Пискунов. «Изучение уравнения диффузии с увеличением количества вещества» и его применение к биологической проблеме. В В. М. Тихомирове, редакторе, Избранные сочинения А. Н. Колмогорова I , стр. 248–270. Kluwer 1991, ISBN 90-277-2796-1 . Перевод В.М. Волосова из Бюл. МГУ, Матем. Мех. 1, 1–25, 1937 г.
- ^ Питер Гриндрод. Теория и приложения уравнений реакции-диффузии: модели и волны. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. The Clarendon Press Oxford University Press, Нью-Йорк, второе издание, 1996 г. ISBN 0-19-859676-6 ; ISBN 0-19-859692-8 .
- ^ Абловиц, Марк Дж. И Цеппетелла, Энтони, Явные решения уравнения Фишера для специальной скорости волны , Бюллетень математической биологии 41 (1979) 835–840 doi : 10.1007 / BF02462380
- ^ Trefethen (30 августа 2001 г.). "Уравнение Фишера-КПП" (PDF) . Фишер 2 .
- ^ Гриффитс, Грэм В .; Шиссер, Уильям Э. (2011). «Уравнение Фишера – Колмогорова». Анализ бегущей волны уравнений с частными производными . Академия Пресс. С. 135–146. ISBN 978-0-12-384652-5.
- ^ Адомян, Г. (1995). «Уравнение Фишера – Колмогорова». Письма по прикладной математике . 8 (2): 51–52. DOI : 10.1016 / 0893-9659 (95) 00010-N .
Внешние ссылки
- Уравнение Фишера на MathWorld .
- Уравнение Фишера на EqWorld.