Полярная система координат

Точки в полярной системе координат с полюсом O и полярной осью L . Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3,  60 °). Синим цветом обозначена точка (4,  210 °).

В математике , то полярная система координат является двумерный системой координат , в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от опорной точки и углом от опорного направления. Опорная точка (аналогично происхождению системы координат декартовой ) называется полюсом , и луч от полюса в опорном направлении является полярной осью . Расстояние от полюса называется радиальной координатой , радиальным расстоянием или просто радиусом., а угол называется угловой координатой , полярным углом или азимутом . ^[1] Радиальная координата часто обозначается r или ρ , а угловая координата - φ , θ или t . Углы в полярной системе счисления обычно выражаются либо в градусах, либо в радианах (2 π рад равно 360 °).

Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга представили эти концепции в середине 17 века, хотя фактический термин полярные координаты был приписан Грегорио Фонтане в 18 веке. Первоначальной мотивацией для введения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения .

Полярные координаты наиболее подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей природе привязано к направлению и длине от центральной точки на плоскости, например спирали . Плоские физические системы с телами, движущимися вокруг центральной точки, или явлениями, происходящими из центральной точки, часто проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных координат.

Полярная система координат расширяется до трех измерений двумя способами: цилиндрической и сферической системами координат.

История [ править ]

Понятия угла и радиуса использовались древними народами еще в первом тысячелетии до нашей эры . Греческий астроном и астролог Гиппарх (190-120 до н.э.) создали таблицу аккордов функций , задающей длину хорды для каждого угла, и есть ссылки на его полярные координаты в создании звездных позиций. ^[2] В На Спирали , Архимеда описывает архимедовой спирали , функцию, радиус которой зависит от угла. Однако греческая работа не охватывала полную систему координат.

Начиная с 8 века нашей эры, астрономы разработали методы для аппроксимации и вычисления направления на Мекку ( кибла ) - и ее расстояния - от любого места на Земле. ^[3] Начиная с 9 века, они использовали сферическую тригонометрию и методы картографической проекции для точного определения этих величин. Расчет по существу представляет собой преобразование экваториальных полярных координат Мекки (т. Е. Ее долготы и широты ) в ее полярные координаты (т. Е. Ее киблу и расстояние) относительно системы, опорным меридианом которой является большой круг.через данное местоположение и полюса Земли и чья полярная ось является линией, проходящей через местоположение и его противоположную точку . ^[4]

Существуют различные версии введения полярных координат как части формальной системы координат. Полная история этого предмета описана в книге профессора Гарварда Джулиана Лоуэлла Кулиджа « Происхождение полярных координат». ^[5] Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга представили эти концепции в середине семнадцатого века. Сен-Винсент писал о них в частном порядке в 1625 году и опубликовал свою работу в 1647 году, а Кавальери опубликовал свою работу в 1635 году с исправленной версией, появившейся в 1653 году. Кавальери впервые использовал полярные координаты для решения проблемы, относящейся к области внутри спирали Архимеда . Блез Паскальвпоследствии использовали полярные координаты для расчета длины параболической дуги .

В « Методе колебаний» (написано в 1671 г., опубликовано в 1736 г.) сэр Исаак Ньютон исследовал преобразования между полярными координатами, которые он назвал «Седьмой способ для спиралей», и девятью другими системами координат. ^[6] В журнале Acta Eruditorum (1691) Якоб Бернулли использовал систему с точкой на линии, называемой полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались расстоянием от полюса и углом от полярной оси . Работа Бернулли расширилась до определения радиуса кривизны кривых, выраженных в этих координатах.

Фактический термин полярные координаты был приписан Грегорио Фонтане и использовался итальянскими писателями 18-го века. Термин появился в английском языке в Джордж Peacock «s 1816 перевод Lacroix » s дифференциальное и интегральное исчисление . ^{[7] [8]} Алексис Клеро был первым, кто придумал полярные координаты в трех измерениях, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал их. ^[5]

Соглашения [ править ]

Радиальная координата часто обозначается r или ρ , а угловая координата - φ , θ или t . Угловой определяются как координата ф по ISO стандарту 31-11 . Однако в математической литературе угол часто обозначается как θ вместо φ .

Углы в полярной системе счисления обычно выражаются либо в градусах, либо в радианах (2 π рад равно 360 °). Градусы традиционно используются в навигации , геодезии и многих прикладных дисциплинах, тогда как радианы чаще используются в математике и математической физике . ^[9]

Угол φ определяется для запуска при 0 ° от опорного направления , и увеличить для вращения в любом направлении против часовой стрелки (CCW) или по часовой стрелке (CW) ориентации. Так , например, в математике, контрольное направление обычно изображается в виде луча от полюса по горизонтали вправо, и полярный угол увеличивается до положительных углов для CCW вращений, в то время как в навигации ( подшипник , заголовок ) 0 ° -heading обращается вертикально вверх, и угол увеличивается при вращении по часовой стрелке. Полярные углы уменьшаются в сторону отрицательных значений для вращений в противоположных направлениях.

Уникальность полярных координат [ править ]

Добавление любого количества полных оборотов (360 °) к угловой координате не меняет соответствующего направления. Точно так же любая полярная координата идентична координате с отрицательной радиальной составляющей и противоположным направлением (добавление 180 ° к полярному углу). Следовательно, одна и та же точка ( r , φ ) может быть выражена бесконечным числом различных полярных координат ( r , φ + n × 360 °) и (- r , φ + 180 ° + n × 360 °) = (- r , φ + (2 n + 1) × 180 °) , где n- произвольное целое число . ^[10] Более того, сам полюс можно выразить как (0,  φ ) для любого угла φ . ^[11]

Если для любой точки, кроме полюса, требуется уникальное представление, обычно ограничивают r положительными числами ( r > 0 ), а φ либо интервалом [0, 360 °), либо интервалом (-180 °, 180 °]. , которые в радианах равны [0, 2π) или (−π, π] . ^[12] Другое соглашение, ссылающееся на обычную область значений функции arctan , состоит в том, чтобы учесть произвольные ненулевые действительные значения радиальной компоненты и ограничить полярный угол до (-90 °,  90 °] . Во всех случаях должен быть выбран уникальный азимут для полюса ( r = 0), например, φ = 0.

Преобразование между полярными и декартовыми координатами [ править ]

Кривую на декартовой плоскости можно отобразить в полярных координатах. В этой анимации отображается на . Нажмите на изображение, чтобы узнать подробности.${\ Displaystyle у = \ грех (6х) +2}$${\ Displaystyle г = \ грех (6 \ тета) +2}$

Полярные координаты r и φ могут быть преобразованы в декартовы координаты x и y с помощью тригонометрических функций синуса и косинуса:

${\ Displaystyle {\ begin {выровнено} х & = г \ соз \ фи, \\ у & = г \ грех \ фи. \ конец {выровнено}}}$

Декартовы координаты x и y могут быть преобразованы в полярные координаты r и φ с r  ≥ 0 и φ в интервале (- π , π ] следующим образом: ^[13]

${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ quad}$(как в теореме Пифагора или евклидовой норме ), и

${\ displaystyle \ phi = \ operatorname {atan2} (y, x),}$

где atan2 - это общий вариант функции арктангенса, определяемой как

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$

Если сначала вычисляется r , как указано выше, то эту формулу для φ можно сформулировать немного проще, используя стандартную функцию арккосинуса :

${\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$

Вышеуказанное значение φ является главным значением функции комплексного числа arg, применяемой к x + iy . Угол в диапазоне [0, 2 π ) может быть получен путем добавления 2 π к значению, если оно отрицательное (другими словами, когда y отрицательно).

Полярное уравнение кривой [ править ]

Уравнение, определяющее алгебраическую кривую, выраженную в полярных координатах, известно как полярное уравнение . Во многих случаях такое уравнение можно просто задать, задав r как функцию от φ . Полученная кривая состоит из точек вида ( r ( φ ),  φ ) и может рассматриваться как график полярной функции r . Обратите внимание, что, в отличие от декартовых координат, независимая переменная φ является второй записью в упорядоченной паре.

Различные формы симметрии могут быть выведены из уравнения полярной функции r . Если r (- φ ) = r ( φ ), кривая будет симметричной относительно горизонтального (0 ° / 180 °) луча, если r ( π - φ ) = r ( φ ), она будет симметрична относительно вертикали (90 ° / 270 °) луч, и если r ( φ - α) = r ( φ ), он будет осесимметричным на α по часовой стрелке и против часовой стрелки. про полюс.

Из-за круговой природы полярной системы координат многие кривые можно описать довольно простым полярным уравнением, тогда как их декартова форма намного сложнее. К наиболее известным из этих кривых относятся полярная роза , спираль Архимеда , лемниската , лимасон и кардиоида .

Для круга, линии и полярной розы ниже подразумевается, что нет никаких ограничений на область и диапазон кривой.

Круг [ править ]

Общее уравнение для круга с центром в ( r ₀ , )${\displaystyle \gamma }$ и радиусом a имеет вид

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Это можно упростить различными способами, чтобы соответствовать более конкретным случаям, таким как уравнение

${\displaystyle r(\varphi )=a}$

для окружности с центром на полюсе и радиусом a . ^[14]

Когда r ₀ = a или когда начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид

${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$

В общем случае уравнение можно решить относительно r , давая

${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}},}$

решение со знаком минус перед квадратным корнем дает ту же кривую.

Строка [ править ]

Радиальные линии (проходящие через полюс) представлены уравнением

${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$

где γ - угол подъема линии; то есть γ = arctan m , где m - наклон прямой в декартовой системе координат. Нерадиальная линия, пересекающая радиальную линию φ = γ перпендикулярно в точке ( r ₀ , γ), имеет уравнение

${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$

В противном случае ( r ₀ , γ) - это точка, в которой касательная пересекает мнимую окружность радиуса r ₀ .

Полярная роза [ править ]

Полярная роза является математической кривой , которая выглядит как лепестковый цветок, и что может быть выражено в виде простого полярного уравнения,

${\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}$

для любой постоянной γ ₀ (включая 0). Если к является целым числом, то эти уравнения будут производить K -petaled розу , если к является нечетным , или 2 к -petaled розы , если к четно. Если k рациональное, но не целое число, может образоваться роза, но с перекрывающимися лепестками. Обратите внимание, что эти уравнения никогда не определяют розу с 2, 6, 10, 14 и т. Д. Лепестками. Переменная непосредственно представляет длину или амплитуду лепестков розы, в то время как к относится к их пространственной частоте. Постоянную γ ₀ можно рассматривать как фазовый угол.

Архимедова спираль [ править ]

Архимедова спираль представляет собой спираль , которая была обнаружена Архимеда , который также может быть выражено в виде простого полярного уравнения. Он представлен уравнением

${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$

Изменение параметра a повернет спираль, в то время как b контролирует расстояние между рукавами, которое для данной спирали всегда постоянно. Спираль Архимеда имеет два рукава: одно для φ > 0 и одно для φ <0 . Два плеча плавно соединены на полюсе. Если a = 0 , зеркальное отображение одного плеча по линии 90 ° / 270 ° даст другое плечо. Эта кривая примечательна как одна из первых кривых после конических участков , которые будут описаны в математическом трактате, и как яркий пример кривой, которая лучше всего определяется полярным уравнением.

Конические сечения [ править ]

Коническое сечение с фокусом на полюсе , а другой где - то на 0 ° луче (так что коника по главной оси лежит вдоль полярной оси) определяется по формуле:

${\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}$

где e - эксцентриситет, а - прямая полу-латусная мышца (перпендикулярное расстояние в фокусе от большой оси до кривой). Если e > 1 , это уравнение определяет гиперболу ; если e = 1 , он определяет параболу ; и если e <1 , он определяет эллипс . В частном случае e = 0 последнего получается окружность радиуса .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

Пересечение двух полярных кривых [ править ]

Графики двух полярных функций и имеют возможные пересечения трех типов:${\displaystyle r=f(\theta )}$${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. В начале, если уравнения и имеют хотя бы по одному решению каждое.${\displaystyle f(\theta )=0}$${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. Все точки где являются решениями уравнения, где - целое число.${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$${\displaystyle k}$
3. Все точки где являются решениями уравнения, где - целое число.${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$${\displaystyle k}$

Комплексные числа [ править ]

Каждое комплексное число может быть представлено как точка на комплексной плоскости и, следовательно, может быть выражено путем указания либо декартовых координат точки (называемых прямоугольной или декартовой формой), либо полярных координат точки (называемых полярной формой). Комплексное число z можно представить в прямоугольной форме как

${\displaystyle z=x+iy}$

где i - мнимая единица , или, альтернативно, может быть записано в полярной форме (с помощью приведенных выше формул преобразования ) как

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

и оттуда как

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$

где e - число Эйлера , которые эквивалентны, как показано формулой Эйлера . ^[15] (Обратите внимание, что эта формула, как и все формулы, включающие экспоненты углов, предполагает, что угол φ выражается в радианах .) Для преобразования между прямоугольной и полярной формами комплексного числа можно использовать приведенные выше формулы преобразования .

Для операций умножения , деления и возведения в степень комплексных чисел, как правило, гораздо проще работать с комплексными числами, выраженными в полярной форме, а не в прямоугольной. Из законов возведения в степень:

Умножение

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$

Разделение

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$

Возведение в степень ( формула Де Муавра )

${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$

Исчисление [ править ]

Исчисление может применяться к уравнениям, выраженным в полярных координатах. ^{[16] [17]}

В этом разделе угловая координата φ выражается в радианах, что является обычным выбором при расчетах.

Дифференциальное исчисление [ править ]

Используя x = r cos φ и y = r sin φ , можно вывести связь между производными в декартовых и полярных координатах. Для данной функции u ( x , y ) следует, что (вычисляя ее полные производные )

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi }},\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial }{\partial r}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial \varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$

Используя обратное преобразование координат, можно получить аналогичную обратную связь между производными. Для функции u ( r , φ ) следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial y}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$

Чтобы найти декартовы наклон касательной к полярной кривой r ( φ ) в любой заданной точке, кривая сначала выражается в виде системы параметрических уравнений .

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$

Дифференцируя оба уравнения по φ, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$

Разделив второе уравнение на первое, получим декартов наклон касательной к кривой в точке ( r ( φ ),  φ ) :

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Для других полезных формул, включая расходимость, градиент и лапласиан в полярных координатах, см. Криволинейные координаты .

Интегральное исчисление (длина дуги) [ править ]

Длина дуги (длина отрезка прямой), определяемая полярной функцией, находится интегрированием по кривой r ( φ ). Обозначим через L эту длину вдоль кривой от точек A до точки B , где эти точки соответствуют φ = a и φ = b таким, что 0 < b - a <2 π . Длина L определяется следующим интегралом

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$

Интегральное исчисление (область) [ править ]

Обозначим через R область, ограниченную кривой r ( φ ) и лучами φ = a и φ = b , где 0 < b - a ≤ 2 π . Тогда площадь R равна

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$

Этот результат можно найти следующим образом. Сначала интервал [ a , b ] делится на n подинтервалов, где n - произвольное положительное целое число. Таким образом, Δ φ , угловая мера каждого подынтервала, равна b - a (общая угловая мера интервала), деленная на n , количество подынтервалов. Для каждого подынтервала i = 1, 2, ..., n пусть φ _i - середина подынтервала, и построим сектор с центром на полюсе, радиус r ( φ _i), центральный угол Δ φ и длина дуги r ( φ _i ) Δ φ . Таким образом, площадь каждого построенного сектора равна

${\displaystyle \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$

Следовательно, общая площадь всех секторов равна

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$

По мере увеличения числа подынтервалов n аппроксимация площади продолжает улучшаться. В пределе n → ∞ сумма становится суммой Римана для указанного выше интеграла.

Механическое устройство, которое вычисляет интегралы площади, - планиметр , который измеряет площадь плоских фигур, отслеживая их: это воспроизводит интегрирование в полярных координатах, добавляя соединение, так что двухэлементная связь влияет на теорему Грина , преобразовывая квадратичный полярный интеграл в линейный интеграл.

Обобщение [ править ]

Используя декартовы координаты , элемент бесконечно малой площади можно вычислить как dA = dx dy . Правило подстановки для кратных интегралов утверждает , что при использовании других координат, то якобиан определитель формулы преобразования координат следует учитывать следующее :

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$

Следовательно, элемент площади в полярных координатах можно записать как

${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$

Теперь функцию, заданную в полярных координатах, можно проинтегрировать следующим образом:

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Здесь R - та же область, что и выше, а именно область, ограниченная кривой r ( ϕ ) и лучами φ = a и φ = b . Формула для площади R, упомянутая выше, получается, если взять f тождественно равным 1.

Более удивительное применение этого результата дает гауссов интеграл , обозначенный здесь K :

${\displaystyle K=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

Векторное исчисление [ править ]

Векторное исчисление также может применяться к полярным координатам. Для плоского движения пусть будет вектором положения ( r  cos ( φ ), r  sin ( φ )) , где r и φ зависят от времени t .${\displaystyle \mathbf {r} }$

Определим единичные векторы

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$

в направлении и${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$

в плоскости движения, перпендикулярной радиальному направлению, где - единичный вектор, нормальный к плоскости движения.${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$

Центробежные и кориолисовые термины [ править ]

Этот термин иногда называют центростремительным ускорением , а термин - ускорением Кориолиса . Например, см. Шанкар. ^[18]${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

Примечание: эти термины, которые появляются, когда ускорение выражается в полярных координатах, являются математическим следствием дифференцирования; они появляются всякий раз, когда используются полярные координаты. В динамике плоских частиц эти ускорения появляются при установке второго закона Ньютона во вращающейся системе отсчета. Здесь эти дополнительные термины часто называют фиктивными силами ; фиктивные, потому что они просто результат изменения системы координат. Это не значит, что их не существует, скорее они существуют только во вращающейся рамке.

Вращающаяся рамка [ править ]

Для частицы в плоском движении один из подходов к приданию физического значения этим терминам основан на концепции мгновенной совместно вращающейся системы отсчета . ^[19] Чтобы определить совместно вращающуюся рамку, сначала выбирается исходная точка, от которой определяется расстояние r ( t ) до частицы. Устанавливается ось вращения, которая перпендикулярна плоскости движения частицы и проходит через это начало. Затем в выбранный момент t скорость вращения совместно вращающейся системы Ω доводится до совпадения со скоростью вращения частицы вокруг этой оси dφ / dt. Далее, члены ускорения в инерциальной системе отсчета связаны с членами в системе одновременного вращения. Пусть положение частицы в инерциальной системе отсчета будет ( r ( t ), φ ( t )), а в совместно вращающейся системе координат будет ( r (t), φ ′ (t) ). Поскольку вращающаяся в одном направлении рама вращается с той же скоростью, что и частица, dφ ′ / dt = 0. Фиктивная центробежная сила в совместно вращающейся раме равна mrΩ ² радиально наружу. Скорость частицы в совместно вращающейся системе отсчета также направлена ​​радиально наружу, потому что dφ ′ / dt = 0. Фиктивная сила Кориолисаследовательно, имеет значение −2 м ( dr / dt ) Ω, направленное только в сторону увеличения φ . Таким образом, используя эти силы во втором законе Ньютона, мы находим:

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{cf}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{Cor}}=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}\ ,}$

где точки над точками представляют собой временную дифференциацию, а F - чистая реальная сила (в отличие от фиктивных сил). С точки зрения компонентов это векторное уравнение принимает следующий вид:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$

которые можно сравнить с уравнениями для инерциальной системы отсчета:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$

Это сравнение, плюс признание того, что по определению совместно вращающейся системы отсчета в момент времени t она имеет скорость вращения Ω = dφ / dt , показывает, что мы можем интерпретировать члены в ускорении (умноженном на массу частицы) как обнаруживается в инерциальной системе отсчета как отрицательная центробежная сила и сила Кориолиса, которая будет видна в мгновенной, неинерциальной системе одновременного вращения.

Для общего движения частицы (в отличие от простого кругового движения) центробежные силы и силы Кориолиса в системе отсчета частицы обычно относятся к мгновенному соприкасающемуся кругу ее движения, а не к фиксированному центру полярных координат. Подробнее см. Центростремительная сила .

Дифференциальная геометрия [ править ]

В современной терминологии дифференциальной геометрии полярные координаты представляют собой карты координат для дифференцируемого многообразия ℝ ² \ {(0,0)}, плоскость минус начало координат. В этих координатах евклидов метрический тензор имеет вид

$${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

$${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$

$${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$

$${\displaystyle \omega _{j}^{i}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

Расширения в 3D [ править ]

Полярная система координат расширена до трех измерений с двумя различными системами координат, цилиндрической и сферической системой координат .

Приложения [ править ]

Полярные координаты двумерны, поэтому их можно использовать только там, где точки лежат на одной двумерной плоскости. Они наиболее подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей природе привязано к направлению и длине от центральной точки. Например, приведенные выше примеры показывают, насколько элементарных полярных уравнений достаточно для определения кривых, таких как спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой системе координат было бы гораздо более сложным. Более того, многие физические системы - например, те, которые связаны с телами, движущимися вокруг центральной точки, или с явлениями, происходящими из центральной точки - проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных координат. Первоначальной мотивацией для введения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения..

Положение и навигация [ править ]

Полярные координаты часто используются в навигации, поскольку пункт назначения или направление движения могут быть заданы как угол и расстояние от рассматриваемого объекта. Например, самолет использует для навигации слегка измененную версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для любого вида навигации, луч 0 ° обычно называется курсом 360, а углы продолжаются по часовой стрелке , а не против часовой стрелки, как в математической системе. Заголовок 360 соответствует магнитному северу , а заголовки 90, 180 и 270 соответствуют магнитному востоку, югу и западу соответственно. ^[20]Таким образом, самолет путешествия 5 морских миль на восток будет путешествовать по 5 единиц товарной позиции 90 (чтение нулевой Найнер нуля путем управления воздушным движением ). ^[21]

Моделирование [ править ]

Системы, демонстрирующие радиальную симметрию, обеспечивают естественные настройки для полярной системы координат, при этом центральная точка действует как полюс. Ярким примером такого использования является уравнение потока грунтовых вод применительно к радиально-симметричным скважинам. Системы с радиальной силой также являются хорошими кандидатами для использования полярной системы координат. Эти системы включают гравитационные поля , которые подчиняются закону обратных квадратов , а также системы с точечными источниками , например радиоантенны .

Радиально-асимметричные системы также можно моделировать с помощью полярных координат. Например, микрофон «S пикап модель иллюстрирует свой пропорциональный ответ на входящий звук от заданного направления, и эти рисунки могут быть представлены в виде полярных кривых. Кривая для стандартного кардиоидного микрофона, наиболее распространенного однонаправленного микрофона, может быть представлена ​​как r = 0,5 + 0,5sin ( ϕ ) на его целевой проектной частоте. ^[22] На более низких частотах картина смещается в сторону всенаправленности.

См. Также [ править ]

• Криволинейные координаты
• Список преобразований канонических координат
• Лог-полярные координаты
• Полярное разложение
• Единичный круг

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

• Адамс, Роберт; Кристофер Эссекс (2013). Исчисление: полный курс (Восьмое изд.). ISBN Pearson Canada Inc. 978-0-321-78107-9.
• Антон, Ховард; Ирл Бивенс; Стивен Дэвис (2002). Исчисление (Седьмое изд.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
• Финни, Росс; Джордж Томас; Франклин Демана; Берт Уэйтс (июнь 1994 г.). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое (версия с одной переменной). ISBN издательства Addison-Wesley Publishing Co. 0-201-55478-X.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikibook Calculus есть страница по теме: Полярная интеграция

• "Полярные координаты" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Программное обеспечение для построения графиков в Curlie
• Конвертер координат - конвертирует полярные, декартовы и сферические координаты.
• Демонстрация динамической системы полярных координат