Цилиндрическая система координат

Цилиндрической системе координат с началом

O

, полярной оси

А

, и продольной осью

L

. Точка - это точка с радиальным расстоянием

ρ = 4

, угловой координатой

φ = 130 °

и высотой

z = 4

.

Система цилиндрических координат представляет собой трехмерную систему координат , которая определяет точку позиции на расстояние от выбранной опорной оси, направление от оси относительно выбранного опорного направления, и расстояние от выбранной базовой плоскости , перпендикулярной оси. Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число в зависимости от того, с какой стороны базовой плоскости обращена точка.

Происхождение системы является точка , в которой все три координаты могут быть заданы как ноль. Это точка пересечения базовой плоскости и оси. Ось по-разному называется цилиндрической или продольной осью, чтобы отличать ее от полярной оси , которая представляет собой луч , лежащий в плоскости отсчета, начиная с начала координат и указывая в направлении отсчета. Остальные направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями .

Расстояние от оси можно назвать радиальным расстоянием или радиусом , а угловую координату иногда называют угловым положением или азимутом . Радиус и азимут вместе называются полярными координатами , поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельную плоскости отсчета. Третьей координаты можно назвать высоту или высоту (если базовая плоскость рассматривается по горизонтали), продольное положение , ^[1] или осевое положение . ^[2]

Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, которые обладают некоторой симметрией вращения относительно продольной оси, такими как поток воды в прямой трубе с круглым поперечным сечением, распределение тепла в металлическом цилиндре , электромагнитные поля, создаваемые электрическим током в длинный прямой провод, аккреционные диски в астрономии и т. д.

Их иногда называют «цилиндрическими полярными координатами» ^[3] и «полярными цилиндрическими координатами» ^[4], и иногда они используются для определения положения звезд в галактике («галактоцентрические цилиндрические полярные координаты»). ^[5]

Определение [ править ]

Три координаты ( $ρ$ , $φ$ , $z$ ) точки $P$ определяются как:

Осевое расстояние или радиальное расстояние $ρ$ является евклидово расстояние от $г$ оси х в точку $Р$ .
Азимута $φ$ представляет собой угол между опорным направлением на выбранной плоскости и линией от начала координат до проекции $Р$ на плоскости.
Осевая координата или высота $г$ является расстоянием от точки выбранной плоскости в точке $P$ .

Уникальные цилиндрические координаты [ править ]

Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами $(ρ, φ, z)$ имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно $(ρ, φ \pm n \times 360 °, z)$ и $(- ρ, φ \pm (2 n + 1) \times 180 °, z),$ где $n$ - любое целое число. Более того, если радиус $ρ$ равен нулю, азимут произвольный.

В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательным значением ( $ρ \geq 0$ ), а азимут $φ$ лежать в определенном интервале, охватывающем 360 °, например $[-180 °, + 180 °]$ или $[0,360 °]$ .

Соглашения [ править ]

Обозначения для цилиндрических координат неоднородны. ISO стандарт 31-11 рекомендует $(р, ф, г)$ , где $ρ$ радиальная координата, $φ$ азимута, и $г$ , высота. Однако радиус также часто обозначается как $r$ или $s$ , азимут - как $θ$ или $t$ , а третья координата - как $h$ или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) $x$ , или любая буква, зависящая от контекста.

Координатные поверхности цилиндрических координат

(ρ, φ, г)

. Красный цилиндр показывает точки с

ρ = 2

, синяя плоскость показывает точки с

z = 1

, а желтая полуплоскость показывает точки с

φ = -60 °

.

Г

ось является вертикальной и

х

-Axis выделена зеленым цветом. Три поверхности пересекаются в точке

P

с этими координатами (показана черной сферой); в декартовы координаты на

Р

примерно равны (1.0, −1.732, 1.0).

Цилиндрические координатные поверхности. Три ортогональных компонента,

ρ

(зеленый),

φ

(красный) и

z

(синий), увеличиваются с постоянной скоростью. Точка находится на пересечении трех цветных поверхностей.

В конкретных ситуациях и на многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки, если смотреть из любой точки с положительной высотой.

Преобразование системы координат [ править ]

Цилиндрическая система координат - одна из многих трехмерных систем координат. Следующие формулы могут использоваться для преобразования между ними.

Декартовы координаты [ править ]

Для преобразования между цилиндрическими и декартовыми координатами удобно предположить, что базовая плоскость первой является декартовой плоскостью $xy$ (с уравнением $z = 0$ ), а цилиндрическая ось - декартовой осью $z$ . Тогда $z$ -координата одинакова в обеих системах, и соответствие между цилиндрической $(ρ, φ, z)$ и декартовой $(x, y, z)$ такой же, как для полярных координат, а именно

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} x & = \ rho \ cos \ varphi \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \\ z & = z \ end {align}}}

в одном направлении, и

{\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\mbox{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}

в другом. Функция arcsin является обратной по отношению к синусоидальной функции, и предполагается, что она возвращает угол в диапазоне $[- π / 2, + π / 2]$ = $[-90 °, + 90 °]$ . Эти формулы дают азимут $φ$ в диапазоне $[-90 °, + 270 °]$ . Чтобы узнать о других формулах, см. Статью о полярных координатах .

Многие современные языки программирования предоставляют функцию, которая будет вычислять правильный азимут $φ$ в диапазоне $(-π, π)$ , заданных x и y , без необходимости выполнять анализ случая, как указано выше. Например, эта функция вызывается atan2 ( y , x ) в языке программирования C и atan ( y , x ) в Common Lisp .

Сферические координаты [ править ]

Сферические координаты (радиус $r$ , высота или наклон $θ$ , азимут $φ$ ) могут быть преобразованы в цилиндрические координаты с помощью:

$θ$ - высота:	$θ$ - наклон:
${\begin{aligned}\rho &=r\cos \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$

Цилиндрические координаты могут быть преобразованы в сферические координаты:

$θ$ - высота:	$θ$ - наклон:
${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {z}{\rho }}\right)\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}$	${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {\rho }{z}}\right)\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}$

Элементы линии и объема [ править ]

См. Множественный интеграл для получения подробной информации об интегрировании объема в цилиндрических координатах и Del в цилиндрических и сферических координатах для формул векторного исчисления .

Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интеграции для решения проблем, связанных с путями и объемами.

Нитевидный элемент находится

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} .

Элемент объема является

\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.

Элемент поверхности на поверхности постоянного радиуса $ρ$ (вертикальный цилиндр) равен

\mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.

Элемент поверхности на поверхности постоянного азимута $φ$ (вертикальная полуплоскость) равен

\mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.

Элемент поверхности на поверхности постоянной высоты $z$ (горизонтальная плоскость) равен

\mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента , дивергенции , ротора и лапласиана :

{\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}

Цилиндрические гармоники [ править ]

Решения уравнения Лапласа в системе с цилиндрической симметрией называются цилиндрическими гармониками .

См. Также [ править ]

Список преобразований канонических координат
Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах
Del в цилиндрических и сферических координатах

Ссылки [ править ]

^ Krafft, C .; Волокитин А.С. (1 января 2002 г.). «Резонансное взаимодействие электронного пучка с несколькими нижнегибридными волнами» . Физика плазмы . 9 (6): 2786–2797. Bibcode : 2002PhPl .... 9.2786K . DOI : 10.1063 / 1.1465420 . ISSN 1089-7674 . Архивировано из оригинального 14 апреля 2013 года . Проверено 9 февраля 2013 года . ... в цилиндрических координатах $(r, θ, z)$ ... и $Z = v bz t$ продольное положение ...
^ Гройсман, Александр; Стейнберг, Виктор (1997). «Уединенные вихревые пары в вязкоупругом течении Куэтта». Письма с физическим обзором . 78 (8): 1460–1463. arXiv : patt-sol / 9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721 . ... где $r$ , $θ$ и $z$ - цилиндрические координаты ... как функция осевого положения ...
^ Шиманский, JE (1989). Основы математики для инженеров-электронщиков: модели и приложения . Учебные пособия по электронной инженерии (№ 16). Тейлор и Фрэнсис. п. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
^ Нанн, Роберт Х. (1989). Механика промежуточных жидкостей . Тейлор и Фрэнсис. п. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
^ Спарк, Линда Шивон ; Галлахер, Джон Силл (2007). Галактики во Вселенной: Введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 37. ISBN 978-0-521-85593-8.

Дальнейшее чтение [ править ]

Морс, Филип М .; Фешбах, Герман (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк : Макгроу-Хилл . С. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 .
Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п. 178 . ISBN 9780882754239. LCCN 55010911 . OCLC 3017486 .
Корн, Гранино А .; Корн, Тереза М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 174–175 . LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
Зауэр, Роберт; Сабо, Иштван (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer-Verlag . п. 95. LCCN 67025285 .
Цвиллинджер, Даниэль (1992). Справочник по интеграции . Бостон : Джонс и Бартлетт Паблишерс . п. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023 .
Moon, P .; Спенсер, DE (1988). «Координаты кругового цилиндра (r, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 12–17, Таблица 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки [ править ]

"Координаты цилиндра" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
MathWorld описание цилиндрических координат
Цилиндрические координаты Анимация, иллюстрирующая цилиндрические координаты Фрэнка Ваттенберга

[1] Krafft, C .; Волокитин А.С. (1 января 2002 г.). «Резонансное взаимодействие электронного пучка с несколькими нижнегибридными волнами» . Физика плазмы . 9 (6): 2786–2797. Bibcode : 2002PhPl .... 9.2786K . DOI : 10.1063 / 1.1465420 . ISSN 1089-7674 . Архивировано из оригинального 14 апреля 2013 года . Проверено 9 февраля 2013 года . ... в цилиндрических координатах $(r, θ, z)$ ... и $Z = v bz t$ продольное положение ...

[2] Гройсман, Александр; Стейнберг, Виктор (1997). «Уединенные вихревые пары в вязкоупругом течении Куэтта». Письма с физическим обзором . 78 (8): 1460–1463. arXiv : patt-sol / 9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721 . ... где $r$ , $θ$ и $z$ - цилиндрические координаты ... как функция осевого положения ...

[3] Шиманский, JE (1989). Основы математики для инженеров-электронщиков: модели и приложения . Учебные пособия по электронной инженерии (№ 16). Тейлор и Фрэнсис. п. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.

[4] Нанн, Роберт Х. (1989). Механика промежуточных жидкостей . Тейлор и Фрэнсис. п. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.

[5] Спарк, Линда Шивон ; Галлахер, Джон Силл (2007). Галактики во Вселенной: Введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 37. ISBN 978-0-521-85593-8.

[1]