ISO 31-11

ISO 31-11: 1992 был частью международного стандарта ISO 31, который определяет математические знаки и символы для использования в физических науках и технологиях . В 2009 году он был заменен ISO 80000-2 . ^[1]

Его определения включают следующее: ^[2]

Математическая логика [ править ]

Наборы [ править ]

Знак	Пример	Значение и словесный эквивалент	Замечания
∈	x ∈ A	x принадлежит A ; x - элемент множества A
∉	х ∉ А	x не принадлежит A ; x не является элементом множества A	Штрих отрицания также может быть вертикальным.
∋	A ∋ x	множество A содержит x (как элемент)	тот же смысл, что и x ∈ A
∌	A ∌ x	множество A не содержит x (как элемент)	то же значение, что и x ∉ A
{}	{x 1 , x 2 , ..., x n }	набор с элементами x 1 , x 2 , ..., x n	также {x i ∣ i ∈ I }, где I обозначает набор индексов
{∣}	{ x ∈ A ∣ p ( x )}	множество тех элементов A, для которых верно предложение p ( x )	Пример: { x ∈ ℝ ∣ x > 5} Элемент ∈ A можно отбросить там, где это множество ясно из контекста.
карта	карта ( А )	количество элементов в A ; кардинал А
∖	А ∖ Б	разница между A и B ; А минус В	Множество элементов, принадлежащих A , но не B . A ∖ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∉ B } A - B использовать не следует.
∅		пустой набор
ℕ		набор натуральных чисел ; набор натуральных чисел и ноль	ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} Исключение нуля обозначается звездочкой : ℕ * = {1, 2, 3, ...} ℕ k = {0, 1, 2, 3, ..., k - 1}
ℤ		набор целых чисел	ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} ℤ * = ℤ ∖ {0} = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
ℚ		набор рациональных чисел	ℚ * = ℚ ∖ {0}
ℝ		набор действительных чисел	ℝ * = ℝ ∖ {0}
ℂ		набор комплексных чисел	ℂ * = ℂ ∖ {0}
[,]	[ а , б ]	отрезок в ℝ от а (включительно) до б (включительно)	[ a , b ] = { x ∈ ℝ ∣ a ≤ x ≤ b }
],] (,]	] a , b ] ( a , b ]	левый полуоткрытый интервал в ℝ от a (исключено) до b (включено)	] a , b ] = { x ∈ ℝ ∣ a < x ≤ b }
[, [ [,)	[ а , б [ [ а , б )	правый полуоткрытый интервал в от а (включительно) до б (исключено)	[ a , b [= { x ∈ ℝ ∣ a ≤ x < b }
], [ (,)	] a , b [ ( a , b )	открытый интервал в ℝ от a (исключено) до b (исключено)	] a , b [= { x ∈ ℝ ∣ a < x < b }
⊆	B ⊆ A	B включен в A ; B является подмножеством A	Каждый элемент B принадлежит A . ⊂ также используется.
⊂	B ⊂ A	B правильно включен в A ; B - собственное подмножество A	Каждый элемент B принадлежит A , а B не равен A . Если ⊂ используется для «включенного», тогда ⊊ следует использовать для «правильно включенного».
⊈	C ⊈ A	C не входит в A ; C не является подмножеством A	⊄ также используется.
⊇	А ⊇ Б	A включает B (как подмножество)	Содержит каждый элемент B . ⊃ также используется. В ⊆ означает то же самое , как A ⊇ B .
⊃	⊃ B .	A правильно включает B.	Содержит каждый элемент B , но не равно B . Если ⊃ используется для «включает», тогда ⊋ следует использовать для «правильно включает».
⊉	A ⊉ C	A не включает C (как подмножество)	⊅ также используется. ⊉ С означает то же самое , как C ⊈ A .
∪	А ∪ Б	объединение A и B	Множество элементов, принадлежащих A или B или как A и B . A ∪ B = { x ∣ x ∈ A ∨ x ∈ B }
⋃	${\ Displaystyle \ bigcup _ {я = 1} ^ {п} А_ {я}}$	объединение набора множеств	${\ displaystyle \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = A_ {1} \ cup A_ {2} \ cup \ ldots \ cup A_ {n}}$, множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A 1 , ..., A n . и , также используются, где I обозначает набор индексов.${\ Displaystyle \ bigcup {} _ {я = 1} ^ {п}}$${\ displaystyle \ bigcup _ {я \ в I}}$${\ displaystyle \ bigcup {} _ {я \ in I}}$
∩	А ∩ Б	пересечение A и B	Множество элементов , которые принадлежат как A и B . A ∩ B = { x ∣ x ∈ A ∧ x ∈ B }
⋂	${\ Displaystyle \ bigcap _ {я = 1} ^ {п} А_ {я}}$	пересечение набора множеств	${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap \ ldots \ cap A_ {n}}$, множество элементов, принадлежащих всем множествам A 1 , ..., A n . и , также используются, где I обозначает набор индексов.${\displaystyle \bigcap {}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle \bigcap _{i\in I}}$${\displaystyle \bigcap {}_{i\in I}}$
∁	∁ А Б	дополнение подмножества B в A	Множество тех элементов A , которые не принадлежат к подмножеству B . Символ A часто опускается, если множество A ясно из контекста. Также ∁ B = ∖ Б .
(,)	( а , б )	упорядоченная пара a , b ; пара а , б	( a , b ) = ( c , d ) тогда и только тогда, когда a = c и b = d . ⟨ , Б ⟩ также используется.
(, ...,)	( a 1 ,  a 2 , ...,  a n )	заказанный n - кортеж	⟨ 1 , 2 , ..., п ⟩ тоже используется.
×	A × B	декартово произведение A и B	Множество упорядоченных пар ( , б ) такое , что в ∈ A и б ∈ B . A × B = {( a , b ) ∣ a ∈ A ∧ b ∈ B } A × A × ⋯ × A обозначается A n , где n - количество множителей в произведении.
Δ	Δ A	множество пар ( a , a ) ∈ A × A, где a ∈ A ; диагональ множества A × A	Δ A = {( a , a ) ∣ a ∈ A } id A также используется.

Разные знаки и символы [ править ]

Знак		Пример	Значение и словесный эквивалент	Замечания
HTML	TeX
≝	${\displaystyle {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}}$	а ≝ б	a по определению равно b  [2]	: = также используется
знак равно	${\displaystyle =}$	а = б	а равно б	≡ может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретное равенство является идентичностью.
≠	${\displaystyle \neq }$	а ≠ б	а не равно б	${\displaystyle a\not \equiv b}$может использоваться, чтобы подчеркнуть, что a не идентично b .
≙	${\displaystyle {\stackrel {\wedge }{=}}}$	а ≙ б	а соответствует б	На карте 1:10 6 : 1 см ≙ 10 км.
≈	${\displaystyle \approx }$	а ≈ б	a примерно равно b	Символ ≃ зарезервирован для «асимптотически равно».
∼ ∝	${\displaystyle {\begin{matrix}\sim \\\propto \end{matrix}}}$	а ∼ б а ∝ б	а пропорционален b
<	${\displaystyle <}$	а < б	а меньше, чем b
>	${\displaystyle >}$	а > б	а больше, чем b
≤	${\displaystyle \leq }$	а ≤ б	a меньше или равно b	Также используется символ ≦.
≥	${\displaystyle \geq }$	а ≥ б	a больше или равно b	Также используется символ ≧.
≪	${\displaystyle \ll }$	а ≪ б	а намного меньше, чем b
≫	${\displaystyle \gg }$	а ≫ б	а намного больше, чем b
∞	${\displaystyle \infty }$		бесконечность
() [] {} ⟨⟩	${\displaystyle {\begin{matrix}()\\{[]}\\\{\}\\\langle \rangle \end{matrix}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}{(a+b)c}\\{[a+b]c}\\{\{a+b\}c}\\{\langle a+b\rangle c}\end{matrix}}}$	${\displaystyle ac+bc}$, круглые скобки , квадратные скобки , фигурные скобки , угловые скобки ${\displaystyle ac+bc}$ ${\displaystyle ac+bc}$ ${\displaystyle ac+bc}$	В обычной алгебре последовательность вложенности не стандартизирована. Особое применение находят в определенных областях.${\displaystyle (),[],\{\},\langle \rangle }$${\displaystyle (),[],\{\},\langle \rangle }$
∥	${\displaystyle \|}$	AB ∥ CD	прямая AB параллельна прямой CD
⊥	${\displaystyle \perp }$	${\displaystyle \mathrm {AB\perp CD} }$	прямая AB перпендикулярна прямой CD [3]

Операции [ править ]

Функции [ править ]

Пример	Значение и словесный эквивалент	Замечания
${\displaystyle f:D\rightarrow C}$	функция f имеет область определения D и область определения C	Используется для явного определения домена и кодомена функции.
${\displaystyle f\left(S\right)}$	${\displaystyle \left\{f\left(x\right)\mid x\in S\right\}}$	Набор всех возможных выходов в codomain, когда заданы входы от S , подмножества домена f .

Экспоненциальные и логарифмические функции [ править ]

Круговые и гиперболические функции [ править ]

Комплексные числа [ править ]

Матрицы [ править ]

Системы координат [ править ]

Координаты	Вектор положения и его дифференциал	Название системы координат	Замечания
х , у , г	${\displaystyle [xyz]=[xyz];}$ ${\displaystyle [dxdydz];}$	декартов	Также используются x 1 , x 2 , x 3 для координат и e 1 , e 2 , e 3 для базовых векторов. Эти обозначения легко обобщаются на n -мерное пространство. e x , e y , e z образуют ортонормированную правую систему. В качестве базовых векторов также используются i , j , k .
р , ф , г	${\displaystyle [x,y,z]=[\rho \cos(\phi ),\rho \sin(\phi ),z]}$	цилиндрический	e ρ ( φ ), e φ ( φ ), e z образуют ортонормированную правую систему. Если z = 0, то ρ и φ - полярные координаты.
г , θ , φ	${\displaystyle [x,y,z]=r[\sin(\theta )\cos(\phi ),\sin(\theta )\sin(\phi ),\cos(\theta )]}$	сферический	e r ( θ , φ ), e θ ( θ , φ ), e φ ( φ ) образуют ортонормированную правую систему.

Векторы и тензоры [ править ]

Пример	Значение и словесный эквивалент	Замечания
а ${\displaystyle {\vec {a}}}$	вектор а	Вместо курсива и полужирного начертания векторы можно также обозначать стрелкой над буквенным символом. Любой вектор a можно умножить на скаляр k , т.е. k a .

Специальные функции [ править ]

См. Также [ править ]

• Математические символы
• Математические обозначения

Ссылки и примечания [ править ]