Логическая дизъюнкция

Логическая дизъюнкция

ИЛИ ЖЕ
Определение	${\ displaystyle x + y}$
Таблица истинности	${\ displaystyle (0111)}$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный	${\ displaystyle x + y}$
Конъюнктивный	${\ displaystyle x + y}$
Полином Жегалкина	${\ displaystyle x \ oplus y \ oplus xy}$
Решетки столба
0-сохраняющий	да
1-консервирующий	да
Монотонный	да
Аффинный	нет
v т е

Диаграмма Венна ${\ displaystyle \ scriptstyle A \ lor B \ lor C}$

В логике , дизъюнкция является логической связкой , как правило , нотирован значение которых либо перерабатывает или соответствует тому из естественных выражений языка , такие как «или». В классической логике ему дается функциональная семантика истинности, на которой истинно, если оба и не ложны. Поскольку эта семантика позволяет дизъюнктивной формуле быть истинной, когда истинны оба ее дизъюнкта, это инклюзивная интерпретация дизъюнкции, в отличие от исключительной дизъюнкции . Классические теоретические методы доказательства часто даются в терминах таких правил, как ${\ displaystyle \ lor}$ ${\ displaystyle \ phi \ lor \ psi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$Введение дизъюнкции и устранение дизъюнкции . Дизъюнкция также даны многочисленных неклассические методы лечения, мотивированные проблемы , включая морской бой аргумент Аристотеля , Гейзенберг «s принцип неопределенности , а также многочисленные несоответствия между классической дизъюнкцией и его ближайшими эквивалентами на естественном языке. ^{[1] [2] [3]}

Обозначение [ править ]

В логике и связанных областях дизъюнкция обычно обозначается инфиксным оператором . ^{[1] [2]} Альтернативные обозначения включают , в основном используется в электронике , а также и во многих языках программирования . Иногда также используется английское слово «или», часто заглавными буквами. В январе Лукасевичем «s префикс обозначения для логики , оператор , короткий для польского alternatywa (английский язык: альтернатива). ^[4]${\ displaystyle \ lor}$${\ displaystyle +}$${\ displaystyle \ vert}$${\ Displaystyle \ верт \! \ верт}$

Классическая дизъюнкция [ править ]

Семантика [ править ]

Классическая дизъюнкция - это функциональная операция истинности, которая возвращает значение истинности «истина», если оба ее аргумента не являются «ложными». Его семантическая запись стандартно дается следующим образом: ^[5]

${\ displaystyle \ models \ phi \ lor \ psi}$если или${\ displaystyle \ models \ phi}$${\ displaystyle \ models \ psi}$

Эта семантика соответствует следующей таблице истинности : ^[2]

${\ displaystyle A}$	${\ displaystyle B}$	${\ Displaystyle A \ lor B}$
Т	Т	Т
Т	F	Т
F	Т	Т
F	F	F

Определено другими операторами [ править ]

В системах, где логическая дизъюнкция не является примитивной, ее можно определить как ^[6]

${\ displaystyle A \ lor B = \ neg A \ to B}$.

Это можно проверить по следующей таблице истинности:

${\ displaystyle A}$	${\ displaystyle B}$	${\ displaystyle \ neg A}$	${\ displaystyle \ neg A \ to B}$	${\ Displaystyle A \ lor B}$
Т	Т	F	Т	Т
Т	F	F	Т	Т
F	Т	Т	Т	Т
F	F	Т	F	F

Свойства [ править ]

Следующие свойства применяются к дизъюнкции:

• Ассоциативность :${\ Displaystyle а \ лор (б \ лор с) \ экв (а \ лор б) \ лор с}$
• Коммутативность :${\ Displaystyle а \ лор б \ эквив б \ лор а}$
• Распределительность :${\ Displaystyle (а \ лор (Ь \ земля с)) \ экв ((а \ лор б) \ земля (а \ лор с))}$

${\ Displaystyle (а \ лор (Ь \ лор с)) \ экв ((а \ лор б) \ лор (а \ лор с))}$

${\displaystyle (a\lor (b\equiv c))\equiv ((a\lor b)\equiv (a\lor c))}$

• Идемпотентность :${\displaystyle a\lor a\equiv a}$
• Монотонность :${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))}$

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))}$

• Сохранение истины : интерпретация, при которой всем переменным присваивается значение истинности «истина», дает значение истинности «истина» в результате дизъюнкции.
• Сохранение ложности : интерпретация, при которой всем переменным присваивается значение истинности «ложь», дает значение истинности «ложь» в результате дизъюнкции.

Приложения в информатике [ править ]

Операторы, соответствующие логической дизъюнкции, существуют в большинстве языков программирования .

Побитовая операция [ править ]

Дизъюнкция часто используется для побитовых операций . Примеры:

• 0 или 0 = 0
• 0 или 1 = 1
• 1 или 0 = 1
• 1 или 1 = 1
• 1010 или 1100 = 1110

orОператор может быть использован для установки бит в битовом поле 1, с помощью or-ный поля с постоянным полем с соответствующими битами , установленных в 1. Например, x = x | 0b00000001заставит конечный бит в 1, оставляя другие биты неизменными. ^{[ необходима цитата ]}

Логическая операция [ править ]

Многие языки различают поразрядное и логическое разделение, предоставляя два разных оператора; в языках, следующих за C , побитовое разъединение выполняется с помощью оператора single pipe ( |), а логическое разъединение - с помощью ||оператора double pipe ( ).

Логическая дизъюнкция обычно замыкается накоротко ; то есть, если первый (левый) операнд оценивается как true, то второй (правый) операнд не оценивается. Таким образом, оператор логической дизъюнкции обычно составляет точку последовательности .

В параллельном (параллельном) языке можно замкнуть обе стороны: они вычисляются параллельно, и если одна из них завершается со значением true, другая прерывается. Таким образом, этот оператор называется параллельным или .

Хотя тип логического выражения дизъюнкции является логическим в большинстве языков (и, следовательно, может иметь только значение trueили false), на некоторых языках (таких как Python и JavaScript ) оператор логической дизъюнкции возвращает один из своих операндов: первый операнд, если он оценивается как истинное значение, а второй операнд в противном случае. ^{[ необходима цитата ]}

Конструктивная дизъюнкция [ править ]

Соответствие Карри – Ховарда связывает конструктивистскую форму дизъюнкции с помеченными типами объединения . ^{[ необходима цитата ]}

Теория множеств [ править ]

Членство в качестве элемента набора союза в теории множеств определяется в терминах логической дизъюнкции: х ∈ ∪ B тогда и только тогда , когда ( х ∈ ) ∨ ( х ∈ B ). Из-за этого логическая дизъюнкция удовлетворяет многим из тех же тождеств, что и теоретико-множественное объединение, таким как ассоциативность , коммутативность , дистрибутивность и законы де Моргана , идентифицирующие логическое соединение с пересечением множеств , логическое отрицание снабор дополнений . ^{[ необходима цитата ]}

Естественный язык [ править ]

Классическое обозначение для не совсем соответствует обозначению дизъюнктивных высказываний в естественных языках, таких как английский . Примечательно, что классическая дизъюнкция инклюзивна, в то время как дизъюнкция естественного языка часто понимается исключительно . ^[2]${\displaystyle \lor }$

1. Мария патриотка или донкихотка.

${\displaystyle \rightsquigarrow }$ Мария не одновременно патриотка и донкихотка.

Этот вывод иногда понимался как следствие , например, Альфредом Тарским , который предположил, что дизъюнкция естественного языка неоднозначна между классической и неклассической интерпретацией. Более поздняя работа в области прагматики показала, что этот вывод может быть выведен как разговорная импликатура на основе семантического обозначения, которое ведет себя классически. Тем не менее, дизъюнктивные конструкции, включая венгерский vagy ... vagy и французский soit ... soit , были заявлены как исключающие по своей сути, что делает неграмматичнымв контекстах, где инклюзивное чтение было бы вынуждено. ^[2]

Подобные отклонения от классической логики были отмечены в таких случаях, как дизъюнкция свободного выбора и упрощение дизъюнктивных антецедентов , когда определенные модальные операторы запускают интерпретацию дизъюнкции, подобную конъюнкции . Как и в случае с исключительностью, эти умозаключения анализировались и как импликатуры, и как следствия, вытекающие из неклассической интерпретации дизъюнкции. ^[2]

2. Можно яблоко или грушу.

${\displaystyle \rightsquigarrow }$ Вы можете съесть яблоко и можете съесть грушу (но не можете и то и другое)

Во многих языках дизъюнктивные выражения играют роль в формировании вопроса. Например, хотя следующий пример на английском языке можно интерпретировать как полярный вопрос, спрашивающий, правда ли, что Мэри - философ или лингвист, его также можно интерпретировать как альтернативный вопрос, спрашивающий, какая из двух профессий принадлежит ей. Роль дизъюнкции в этих случаях была проанализирована с использованием неклассической логики, такой как альтернативная семантика и любознательная семантика , которые также были приняты для объяснения выводов свободного выбора и упрощения. ^[2]

3. Мэри философ или лингвист?

В английском, как и во многих других языках, дизъюнкция выражается координирующим союзом . Другие языки выражают дизъюнктивные значения по-разному, хотя неизвестно, является ли сам дизъюнкция лингвистической универсалией . Во многих языках, таких как Dyirbal и Maricopa , дизъюнкция обозначается суффиксом глагола . Например, в приведенном ниже примере Maricopa дизъюнкция отмечена суффиксом šaa . ^[2]

4.

Йонш

Джон-ном

Билльш

Bill-nom

v? aawuumšaa

3-приходи-пл-фут-инфер

Johnš Billš v?aawuumšaa

John-nom Bill-nom 3-come-pl-fut-infer

"Джон или Билл придут"

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

• Джордж Буль , следуя аналогии с обычной математикой, предположил, как необходимое условие для определения «x + y», что x и y являются взаимоисключающими. Джевонс и практически все математические логики после него на различных основаниях отстаивали определение «логического сложения» в форме, которая не требует взаимной исключительности.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме логической дизъюнкции .

• "Disjunction" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Алони, Мария. «Дизъюнкция» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Эрик В. Вайсштейн. «Дизъюнкция». Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram