Бонавентура Кавальери

Бонавентура Кавальери
Родившийся	Бонавентура Франческо Кавальери 1598 Милан , Миланское герцогство , Габсбург, Испания
Умер	30 ноября 1647 г. (1647-11-30)(48–49 лет) Болонья , Папская область
Национальность	Итальянский
Другие имена	Bonaventura Cavalerius
Альма-матер	Пизанский университет
Известен	Принцип Кавальери Квадратурная формула Кавальери Метод неделимых
Научная карьера
Поля	Математика

Бонавентура Франческо Кавальери ( латинское : Bonaventura Cavalerius ; 1598 - 30 ноября 1647) был итальянским математиком и иезуатом . ^[1] Он известен своей работой над проблемами оптики и движения , работой над неделимыми , предшественниками исчисления бесконечно малых , а также введением логарифмов в Италию. Принцип Кавальери в геометрии частично опередил интегральное исчисление .

Жизнь [ править ]

Рожденный в Милане , Кавальери присоединился к ордену иезуатов (не путать с иезуитами ) в возрасте пятнадцати лет, взяв имя Бонавентура, став послушником ордена, и оставался членом ордена до самой смерти. ^[2] Он дал обет полноправного члена ордена в 1615 году, в возрасте семнадцати лет, и вскоре после этого присоединился к дому Иезуатов в Пизе. К 1616 году он был студентом геометрии в Пизанском университете . Там он попал под опеку Бенедетто Кастелли , который, вероятно, познакомил его с Галилео Галилеем . В 1617 году он ненадолго присоединился к двору Медичи во Флоренции.под патронатом кардинала Федерико Борромео , но в следующем году он вернулся в Пизу и начал преподавать математику вместо Кастелли. Он подал заявку на кафедру математики в Болонском университете , но получил отказ. ^[1]

В 1620 году он вернулся в дом иезуатов в Милане, где жил послушником, и стал диаконом при кардинале Борромео. Он изучал богословие в монастыре Сан-Джероламо в Милане и был назначен настоятелем монастыря Святого Петра в Лоди . В 1623 году он был назначен настоятелем монастыря св. Бенедикта в Парме, но все еще претендовал на должности по математике. Он снова подал заявление в Болонью, а затем, в 1626 году, в университет Ла Сапиенца , но каждый раз ему отказывали, несмотря на то, что он взял отпуск на шесть месяцев для поддержки своего дела в Сапиенцу в Риме. ^[1] В 1626 году он начал страдать от подагры, которая ограничивала его движения до конца его жизни. ^[3]Ему также отказали в должности в Пармском университете , что, как полагают, было связано с его членством в ордене иезуатов, поскольку в то время Парма находилась под управлением ордена иезуитов. В 1629 году он был назначен заведующим кафедрой математики Болонского университета, что объясняется поддержкой Галилеем его в Болонском сенате. ^{[1] [4]}

Он опубликовал большую часть своих работ в Болонье, хотя некоторые из них были написаны ранее; его Geometria Indivisibilius , где он изложил то , что позже станет методом неделимых , был написан в 1627 году , а в Парме и представлен как часть его применения в Болонью, но не был опубликован до 1635. Современного критического приема был смешан, и Exercitationes geometricae секс (Шесть упражнений по геометрии) было опубликовано в 1647 году, отчасти как ответ на критику. Также в Болонье он опубликовал таблицы логарифмов и информацию об их использовании, продвигая их использование в Италии.

Галилей оказал сильное влияние на Кавальери, и Кавальери написал по крайней мере 112 писем Галилею. Галилей сказал о нем: «Немногие, если таковые вообще были, со времен Архимеда проникли так далеко и так глубоко в науку геометрии». ^[5] Он широко переписывался; среди его известных корреспондентов - Марин Мерсенн , Евангелиста Торричелли и Винченцо Вивиани . ^[3] Торричелли, в частности, сыграл важную роль в усовершенствовании и продвижении метода неделимых. ^[1] Он также извлек выгоду из покровительства Чезаре Марсили . ^[5]

К концу жизни его здоровье значительно ухудшилось. Артрит мешал ему писать, и большая часть его корреспонденции была продиктована и написана Стефано дельи Анджели , товарищем-иезуатом и учеником Кавальери. Анджели продолжал развивать метод Кавальери.

В 1647 году он умер, вероятно, от подагры. ^[3]

Работа [ править ]

С 1632 по 1646 год Кавальери опубликовал одиннадцать книг, посвященных проблемам астрономии, оптики, движения и геометрии.

Работа в оптике [ править ]

Первой книгой Кавальери, впервые опубликованной в 1632 году и переизданной один раз в 1650 году, была Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche , или « Пылающее зеркало» , или «Трактат о конических сечениях» . ^[6] Целью Lo Specchio Ustorio было ответить на вопрос о том, как Архимед мог использовать зеркала, чтобы сжечь римский флот, когда они приближались к Сиракузам. Этот вопрос все еще обсуждается. ^{[4] [7]} Книга вышла за рамки этой цели и также исследовала конические сечения, отражения света и свойства парабол. В этой книге он разработал теорию зеркал формы в параболы ,гиперболы , эллипсы и различные комбинации этих зеркал. Он продемонстрировал, что если, как было показано позже, свет имеет конечную и определенную скорость, в изображении в фокусе параболического, гиперболического или эллиптического зеркала будет минимальная интерференция, хотя это было теоретически, поскольку требуемые зеркала не могли быть построены. с использованием современных технологий. Это позволило бы получить более качественные изображения, чем существовавшие в то время телескопы. ^{[4] [8]}

Он также продемонстрировал некоторые свойства кривых. Во-первых, для светового луча, параллельного оси параболы и отраженного так, чтобы пройти через фокус, сумма угла падения и его отражения равна сумме угла падения и отражения любого другого подобного луча. Затем он продемонстрировал аналогичные результаты для гипербол и эллипсов. Второй результат, полезный при проектировании отражающих телескопов, заключается в том, что если линия продолжается от точки вне параболы до фокуса, то отражение этой линии на внешней поверхности параболы параллельно оси. Другие результаты включают свойство, что если линия проходит через гиперболу и ее внешний фокус, то ее отражение во внутренней части гиперболы будет проходить через внутренний фокус; обратное предыдущему,что луч, направленный через параболу во внутренний фокус, отражается от внешней поверхности во внешний фокус; и свойство, что если линия проходит через один внутренний фокус эллипса, ее отражение на внутренней поверхности эллипса будет проходить через другой внутренний фокус. Хотя некоторые из этих свойств были отмечены ранее, Кавальери дал первое доказательство многих.^[4]

Lo Specchio Ustorio также включил таблицу отражающих поверхностей и способов отражения для практического использования. ^[4]

Работа Кавальери также содержала теоретические разработки нового типа телескопа с зеркалами, отражающего телескопа , первоначально разработанного для ответа на вопрос о зеркале Архимеда, а затем примененного в гораздо меньших масштабах в качестве телескопов. ^{[4] [9]} Он проиллюстрировал три различных концепции включения отражающих зеркал в свою модель телескопа. Первый план состоял из большого вогнутого зеркала, направленного на солнце, чтобы отражать свет во второе выпуклое зеркало меньшего размера. Вторая концепция Кавальери состояла из основного усеченного параболоидного зеркала и второго выпуклого зеркала. Его третий вариант продемонстрировал сильное сходство с его предыдущей концепцией, заменив выпуклую вторичную линзу на вогнутую. ^[4]

Работа по геометрии и методу неделимых [ править ]

Вдохновленный более ранней работой Галилея, Кавальери разработал новый геометрический подход, названный методом неделимых к исчислению, и опубликовал трактат по этой теме, Geometria indivisibilibus continorum nova quadam ratione promota , или геометрия, разработанный новым методом через неделимые континуумы.. Это было написано в 1627 году, но не было опубликовано до 1635 года. В этой работе Кавальери рассматривает объект, который упоминается в тексте как «все линии» или «все плоскости» фигуры, неопределенное количество параллельных линий или плоскостей. в пределах фигуры, которые сопоставимы с площадью и объемом соответственно фигуры. Позже математики, усовершенствовавшие его метод, стали рассматривать «все линии» и «все плоскости» как эквивалентные или равные площади и объему, но Кавальери, пытаясь избежать вопроса о составе континуума, настаивал, что эти двое были сопоставимы, но не равны. ^[1]

Эти параллельные элементы называются неделимыми соответственно по площади и объему и составляют строительные блоки метода Кавальери, а также являются фундаментальными особенностями интегрального исчисления . Он также использовал метод неделимых для вычисления результата, который теперь записан , в процессе вычисления площади, заключенной в спирали Архимеда , которую он позже обобщил на другие фигуры, показывая, например, что объем конуса равен единице. треть объема его описанного цилиндра. ^[10]${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {2} dx = 1/3}$

Непосредственным применением метода неделимых является принцип Кавальери , который гласит, что объемы двух объектов равны, если площади их соответствующих поперечных сечений во всех случаях равны. Два сечения соответствуют, если они являются пересечениями тела с плоскостями, равноудаленными от выбранной базовой плоскости. (Тот же принцип ранее использовал Цзу Гэнчжи (480–525) из Китая в конкретном случае вычисления объема сферы. ^[11] )

Метод неделимых, изложенный Кавальери, был мощным, но был ограничен в своей полезности в трех отношениях. Во-первых, хотя доказательства Кавальери были интуитивно понятными и позже продемонстрировали свою правильность, они не были строгими; во-вторых, его письмо было плотным и непрозрачным; в-третьих, трактовка континуума, состоящего из бесконечно малых величин, была в то время осуждена в Италии орденом иезуитов как особенность атомизма , запрещенной доктрины. В то время как многие современные математики продвигали метод неделимых, часто не обращая внимания на ограничения, которые Кавальери налагал на использование бесконечно малых, чтобы избежать споров, критический прием Geometria indivisibilius был суровым. Андре Таке иПол Гулдин опубликовал ответы на Geometria indivisibilus. Критика Гулдина, которая была особенно глубокой, предполагала, что метод Кавальери был заимствована из работ Иоганна Кеплера и Варфоломея Совера , критиковала его метод за отсутствие строгости, а затем утверждает, что не может быть значимого соотношения между двумя бесконечностями и поэтому сравнивать одно с другим бессмысленно. ^{[3] [1]}

« Exercitationes Geometricae sex» Кавальери или « Шесть геометрических упражнений» (1647) был написан как прямой ответ на критику Гульдина. Первоначально он был составлен как диалог в манере Галилея, но корреспонденты советовали не использовать этот формат как излишне подстрекательский. Обвинения в плагиате были необоснованными, но большая часть Exercitationes касалась математической сущности аргументов Гулдина. Он неискренне утверждал, что его работа рассматривает «все линии» как отдельную сущность от площади фигуры, а затем утверждал, что «все линии» и «все плоскости» имеют дело не с абсолютной, а с относительной бесконечностью, и поэтому можно было сравнить.Эти доводы не были убедительны для современников.^[1] Exercitationes тем не менеепредставляет собой значительное усовершенствование метода неделимых. Применяя преобразования к своим переменным, он обобщил свой предыдущий интегральный результат, показав, чтодля n = 3 до n = 9, который теперь известен как квадратурная формула Кавальери . ^{[3] [10]}${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}dx=1/(n+1)}$

Работа в астрономии [ править ]

Ближе к концу своей жизни Кавальери опубликовал две книги по астрономии . Хотя они используют язык астрологии , он заявляет в тексте, что не верил в астрологию и не практиковал ее . Это были книги Nuova pratica astromlogica (1639) и Trattato della ruota planetaria perpetua (1646).

Другая работа [ править ]

Он опубликовал таблицы логарифмов , подчеркнув их практическое использование в области астрономии и географии . ^{[3] [1] [5]}

Кавальери также построил гидравлический насос для монастыря, которым он руководил. Герцог Мантуи получил такую ​​же. ^[5]

Наследие [ править ]

По словам Жиля-Гастона Грейнджера , Кавальери принадлежит к Ньютону , Лейбницу , Паскалю , Уоллису и Макларину как к одним из тех, кто в 17-18 веках «переопределяет [d] математический объект». ^[12]

Лунный кратер Cavalerius назван в честь Кавальери.

См. Также [ править ]

• Евангелиста Торричелли
• Стефано дельи Анджели
• Квадратурная формула Кавальери

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Проект Галилео: Кавальери

Дальнейшее чтение [ править ]

• Elogj di Galileo Galilei e di Bonaventura Cavalieri - Джузеппе Галеацци, Милан, 1778 г.
• Бонавентура Кавальери Антонио Фаваро, т. 31 из Amici e corrispondenti di Galileo Galilei , C. Ferrari, 1915.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с Бонавентурой Кавальери на Викискладе?

Итальянский Wikisource имеет оригинальный текст, связанный с этой статьей: Бонавентура Кавальери

• Онлайн-тексты Cavalieri:
  • (на итальянском языке) Lo specchio ustorio: overo, Trattato delle settioni coniche ... (1632)
  • (на латыни) Directorium generale uranometricum (1632)
  • (на латыни) Geometria indivisibilibus (1653)
  • (на итальянском языке) Sfera astronomica (1690)
• Биографии:
  • О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Bonaventura Cavalieri" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  • Краткая биография на bookrags.com
  • Фаброни, Анджело (1778). "Bonaventura Cavalerius" . Vitae Italorum Doctrina Excellentium Qui Saeculis XVII. Et XVIII. Флоруэрунт (на латыни). Пиза. I : 262–301.
• Современные математические или исторические исследования:
  • Исчисление бесконечно малых О его историческом развитии, в Энциклопедии математики , изд. Michiel Hazewinkel .
  • (на немецком языке) Подробнее о методе Кавальери
  • Cavalieri интеграции