Орбита

В Международной космической станции орбитах Земли один раз примерно каждые 92 минут, пролетев около 250 миль (400 км) над уровнем моря.

Два тела различных масс , вращающихся вокруг общего барицентр . Относительные размеры и тип орбиты аналогичны системе Плутон - Харон .

В физике , орбита является гравитационно изогнутой траекторией из объекта , ^[1] , такие как траектория планеты вокруг звезды или естественный спутника вокруг планеты. Обычно орбита относится к регулярно повторяющейся траектории, хотя она также может относиться к неповторяющейся траектории. В точном приближении, планеты и спутники движутся по эллиптическим орбитам с центром масс , вращающимся в фокусе эллипса ^[2], как описано в законах движения планет Кеплера .

В большинстве случаев орбитальное движение адекватно аппроксимируется механикой Ньютона , которая объясняет гравитацию как силу, подчиняющуюся закону обратных квадратов . ^[3] Тем не менее, Альберт Эйнштейн «s общая теория относительности , которая объясняет гравитацию как из - за кривизну пространства - времени , с орбитами следующих геодезическими , обеспечивает более точный расчет и понимание точной механики орбитального движения.

История [ править ]

Исторически очевидные движения планет описывались европейскими и арабскими философами с использованием идеи небесных сфер . Эта модель постулировала существование совершенных движущихся сфер или колец, к которым прикреплены звезды и планеты. Предполагалось, что небеса зафиксированы отдельно от движения сфер, и было создано без какого-либо понимания гравитации. После более точного измерения движения планет были добавлены теоретические механизмы, такие как деферент и эпициклы . Хотя модель была способна достаточно точно предсказывать положение планет на небе, по мере того, как измерения становились более точными, требовалось все больше и больше эпициклов, поэтому модель становилась все более громоздкой. Первоначально геоцентрический, он был изменен Коперником, чтобы поместить Солнце в центр, чтобы упростить модель. Модель подверглась дальнейшему оспариванию в 16 веке, когда наблюдались кометы, пересекающие сферы. ^{[4] [5]}

Основы современного понимания орбит были впервые сформулированы Иоганном Кеплером , результаты которого обобщены в его трех законах движения планет. Во-первых, он обнаружил, что орбиты планет в нашей Солнечной системе эллиптические, а не круговые (или эпициклические ), как считалось ранее, и что Солнце находится не в центре орбит, а, скорее, в одном фокусе . ^[6]Во-вторых, он обнаружил, что орбитальная скорость каждой планеты не постоянна, как считалось ранее, а скорее зависит от расстояния планеты от Солнца. В-третьих, Кеплер обнаружил универсальную взаимосвязь между орбитальными свойствами всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Для планет кубы их расстояний от Солнца пропорциональны квадратам их орбитальных периодов. Юпитер и Венера, например, удалены от Солнца примерно на 5,2 и 0,723 а.е. соответственно, их орбитальные периоды соответственно примерно 11,86 и 0,615 года. Пропорциональность видна из того факта, что отношение для Юпитера, 5,2 ^{3 /} 11,86 ² , практически равно таковому для Венеры 0,723 ^{3 /} 0,615 ^2., в соответствии с отношениями. Идеализированные орбиты, отвечающие этим правилам, известны как орбиты Кеплера .

Исаак Ньютон продемонстрировал, что законы Кеплера были выведены из его теории гравитации и что в целом орбиты тел, подверженных гравитации, были коническими сечениями (это предполагает, что сила тяжести распространяется мгновенно). Ньютон показал, что для пары тел размеры орбит обратно пропорциональны их массам , и что эти тела вращаются вокруг своего общего центра масс . Если одно тело намного массивнее другого (как в случае искусственного спутника, вращающегося вокруг планеты), удобно принимать центр масс как совпадающий с центром более массивного тела.

Затем достижения в механике Ньютона были использованы для изучения отклонений от простых предположений, лежащих в основе орбит Кеплера, таких как возмущения, вызываемые другими телами, или влияние сфероидальных, а не сферических тел. Лагранж (1736–1813) разработал новый подход к механике Ньютона, в котором особое внимание уделялось энергии, а не силе, и добился прогресса в решении проблемы трех тел , открыв точки Лагранжа . В подтверждение классической механики в 1846 году Урбен Леверье смог предсказать положение Нептуна на основе необъяснимых возмущений на орбите Урана .

Альберт Эйнштейн (1879-1955) в своей статье 1916 года «Основы общей теории относительности» объяснил, что гравитация возникла из-за искривления пространства-времени, и снял предположение Ньютона о том, что изменения распространяются мгновенно. Это заставило астрономов признать, что ньютоновская механика не обеспечивает высочайшей точности понимания орбит. В теории относительности, орбиты следуют геодезическим траекториям, которые обычно очень хорошо аппроксимируются предсказаниями Ньютона (за исключением случаев, когда есть очень сильные гравитационные поля и очень высокие скорости), но различия измеримы. По сути, все экспериментальные свидетельства, которые могут различать теории, согласуются с теорией относительности с точностью до экспериментальных измерений. Первоначальное подтверждение общей теории относительности состоит в том, что она способна объяснить оставшуюся необъяснимую величину прецессии перигелия Меркурия, впервые отмеченную Леверье. Однако решение Ньютона по-прежнему используется для большинства краткосрочных целей, поскольку оно значительно проще в использовании и достаточно точное.

Планетарные орбиты [ править ]

В пределах планетарной системы , планеты, карликовые планеты , астероиды и другие малые планеты , кометы и космического мусора орбиты системы барицентр в орбитах . Комета, движущаяся по параболической или гиперболической орбите вокруг барицентра, гравитационно не связана со звездой и поэтому не считается частью планетной системы звезды. Тела, которые гравитационно связаны с одной из планет планетной системы, будь то естественные или искусственные спутники , следуют по орбитам вокруг барицентра вблизи или внутри этой планеты.

Из - за взаимные гравитационные возмущения , то эксцентриситеты планетных орбит изменяться с течением времени. Меркурий , самая маленькая планета в Солнечной системе, имеет самую эксцентричную орбиту. В настоящую эпохе , Марс имеет следующий по величине эксцентриситета , а самые маленькие орбитальные эксцентриситеты видели с Венерой и Нептуном .

Поскольку два объекта вращаются вокруг друг друга, перицентр - это точка, в которой два объекта находятся ближе всего друг к другу, а апоапсис - это точка, в которой они находятся дальше всего. (Для обозначения конкретных тел используются более конкретные термины. Например, перигей и апогей - это самая низкая и самая высокая части орбиты вокруг Земли, а перигелий и афелий - самые близкие и самые дальние точки орбиты вокруг Солнца.)

В случае планет, вращающихся вокруг звезды, масса звезды и всех ее спутников рассчитывается так, чтобы они находились в одной точке, называемой барицентром. Пути всех спутников звезды представляют собой эллиптические орбиты вокруг этого барицентра. Каждый спутник в этой системе будет иметь свою собственную эллиптическую орбиту с барицентром в одной фокусной точке этого эллипса. В любой точке своей орбиты любой спутник будет иметь определенное значение кинетической и потенциальной энергии по отношению к барицентру, и эта энергия является постоянной величиной в каждой точке его орбиты. В результате, когда планета приближается к перицентру , скорость планеты будет увеличиваться, поскольку ее потенциальная энергия уменьшается; когда планета приближается к апоапсису , ее скорость будет уменьшаться по мере увеличения ее потенциальной энергии.

Понимание орбит [ править ]

Есть несколько распространенных способов понимания орбит:

• Сила, такая как гравитация, тянет объект по кривой траектории, когда он пытается улететь по прямой.
• Когда объект тянется к массивному телу, он падает на него. Однако, если у него достаточно тангенциальной скорости, он не упадет в тело, а вместо этого будет продолжать бесконечно следовать по искривленной траектории, вызванной этим телом. Затем говорится, что объект вращается вокруг тела.

В качестве иллюстрации орбиты вокруг планеты может оказаться полезной модель пушечного ядра Ньютона (см. Изображение ниже). Это « мысленный эксперимент », в котором пушка на вершине высокой горы может стрелять пушечным ядром по горизонтали с любой выбранной начальной скоростью. Влияние воздушного трения на пушечное ядро ​​игнорируется (или, возможно, гора достаточно высока, чтобы пушка находилась над атмосферой Земли, что одно и то же). ^[7]

Если пушка стреляет шаром с низкой начальной скоростью, траектория шара изгибается вниз и ударяется о землю (A). По мере увеличения скорости стрельбы пушечное ядро ​​ударяется о землю дальше (B) от пушки, потому что, пока мяч все еще падает на землю, земля все больше изгибается от него (см. Первый пункт выше). Все эти движения на самом деле являются "орбитами" в техническом смысле - они описывают часть эллиптической траектории вокруг центра тяжести, - но орбиты прерываются при столкновении с Землей.

Если пушечное ядро ​​выстреливается с достаточной скоростью, земля изгибается в сторону от мяча, по крайней мере, на столько же, насколько мяч падает, поэтому мяч никогда не ударяется о землю. Сейчас он находится на том, что можно назвать непрерывной или кругосветной орбитой. Для любой конкретной комбинации высоты над центром тяжести и массы планеты существует одна определенная скорость стрельбы (не зависящая от массы шара, которая, как предполагается, очень мала по сравнению с массой Земли), которая создает круговую орбиту. , как показано на (C).

По мере увеличения скорости стрельбы сверх этого создаются непрерывные эллиптические орбиты; один показан в (D). Если первоначальная стрельба происходит над поверхностью Земли, как показано, также будут непрерывные эллиптические орбиты с меньшей скоростью стрельбы; они приблизятся к Земле в точке, находящейся на половине орбиты дальше, и прямо напротив точки взрыва, ниже круговой орбиты.

При определенной горизонтальной скорости выстрела, называемой космической скоростью , зависящей от массы планеты, достигается открытая орбита (E), имеющая параболический путь . На еще большей скорости объект будет следовать по ряду гиперболических траекторий . В практическом смысле оба этих типа траектории означают, что объект «вырывается» из-под гравитации планеты и «улетает в космос», чтобы никогда не вернуться.

Таким образом, соотношение скоростей двух движущихся объектов с массой можно рассматривать в четырех практических классах с подтипами:

1. Нет орбиты
2. Суборбитальные траектории
   • Диапазон прерванных эллиптических траекторий
3. Орбитальные траектории (или просто "орбиты")
   • Диапазон эллиптических траекторий с ближайшей точкой напротив огневой точки
   • Круговой путь
   • Дальность эллиптических траекторий с ближайшей точкой при стрельбе
4. Открытые (или уходящие) траектории
   • Параболические пути
   • Гиперболические пути

Стоит отметить, что орбитальные ракеты сначала запускаются вертикально, чтобы поднять ракету над атмосферой (что вызывает сопротивление трения), а затем медленно наклоняются и завершают запуск ракетного двигателя параллельно атмосфере для достижения орбитальной скорости.

Оказавшись на орбите, их скорость удерживает их на орбите над атмосферой. Если, например, эллиптическая орбита погружается в плотный воздух, объект потеряет скорость и снова войдет в нее (то есть упадет). Иногда космический корабль намеренно перехватывает атмосферу, что обычно называется маневром торможения.

Законы движения Ньютона [ править ]

Закон тяготения Ньютона и законы движения для задач двух тел [ править ]

В большинстве ситуаций релятивистскими эффектами можно пренебречь, и законы Ньютона дают достаточно точное описание движения. Ускорение тела равно сумме действующих на него сил, деленной на его массу, а гравитационная сила, действующая на тело, пропорциональна произведению масс двух притягивающих тел и убывает обратно пропорционально квадрату расстояние между ними. В этом ньютоновском приближении для системы двухточечных масс или сферических тел, на которые влияет только их взаимное тяготение (так называемая проблема двух тел.) их траектории можно точно рассчитать. Если более тяжелое тело намного массивнее меньшего, как в случае спутника или маленькой луны, вращающейся вокруг планеты, или для Земли, вращающейся вокруг Солнца, достаточно точно и удобно описать движение в терминах системы координат, которая центрируется на более тяжелом теле, и мы говорим, что более легкое тело вращается вокруг более тяжелого. В случае, когда массы двух тел сравнимы, точного ньютоновского решения все еще достаточно, и его можно получить, поместив систему координат в центр масс системы.

Определение гравитационной потенциальной энергии [ править ]

Энергия связана с гравитационными полями . Неподвижное тело, находящееся далеко от другого, может совершать внешнюю работу, если оно притягивается к нему, и поэтому обладает гравитационной потенциальной энергией . Поскольку для разделения двух тел против силы тяжести требуется работа, их гравитационная потенциальная энергия увеличивается по мере их разделения и уменьшается по мере приближения друг к другу. Для точечных масс гравитационная энергия уменьшается до нуля по мере приближения к нулевому разделению. Удобно и обычно приписывать потенциальной энергии нулевое значение, когда они находятся на бесконечном расстоянии друг от друга, и, следовательно, она имеет отрицательное значение (поскольку оно уменьшается от нуля) для меньших конечных расстояний.

Орбитальные энергии и формы орбит [ править ]

Когда взаимодействуют только два гравитационных тела, их орбиты следуют коническому сечению . Орбита может быть открытой (подразумевая, что объект никогда не возвращается) или закрытой (возвращение). Это зависит от полной энергии ( кинетическая + потенциальная энергия ) системы. В случае открытой орбиты скорость в любом положении орбиты равна, по крайней мере, космической скорости.для этого положения в случае замкнутой орбиты скорость всегда меньше скорости убегания. Поскольку кинетическая энергия никогда не бывает отрицательной, если принято общее соглашение о принятии потенциальной энергии за ноль при бесконечном разделении, связанные орбиты будут иметь отрицательную полную энергию, параболические траектории будут иметь нулевую полную энергию, а гиперболические орбиты будут иметь положительную полную энергию.

Открытая орбита будет иметь параболическую форму, если она имеет скорость, равную скорости убегания в этой точке траектории, и будет иметь форму гиперболы, когда ее скорость будет больше, чем скорость убегания. Когда тела с убегающей скоростью или большей приближаются друг к другу, они на короткое время изгибаются вокруг друг друга во время максимального сближения, а затем разделяются навсегда.

Все замкнутые орбиты имеют форму эллипса . Круговая орбита - частный случай, когда фокусы эллипса совпадают. Точка, в которой вращающееся тело находится ближе всего к Земле, называется перигеем и называется перицентром (менее правильно, «перифокусом» или «перицентроном»), когда орбита проходит вокруг тела, отличного от Земли. Точка, в которой спутник находится дальше всего от Земли, называется апогеем , апоапсисом или иногда апифокусом или апоцентроном. Линия, проведенная от периапсиса к апоапсису, является линией апсид . Это большая ось эллипса, линия, проходящая через его самую длинную часть.

Законы Кеплера [ править ]

Тела, следующие по замкнутым орбитам, повторяют свой путь с определенным временем, называемым периодом. Это движение описывается эмпирическими законами Кеплера, которые математически можно вывести из законов Ньютона. Их можно сформулировать следующим образом:

1. Орбита планеты вокруг Солнца представляет собой эллипс, причем Солнце находится в одной из центральных точек этого эллипса. [Этот фокус на самом деле является барицентром системы Солнце-планета; для простоты это объяснение предполагает, что масса Солнца бесконечно больше, чем масса этой планеты.] Орбита планеты лежит в плоскости, называемой орбитальной плоскостью . Ближайшая к притягивающему телу точка на орбите - перицентр. Точка, наиболее удаленная от притягивающего тела, называется апоапсисом. Существуют также определенные термины для орбит вокруг определенных тел; вещи, вращающиеся вокруг Солнца, имеют перигелий и афелий , вещи, вращающиеся вокруг Земли, имеют перигей и апогей, а вещи, вращающиеся вокруг Луны, имеют опасность и аполуну (или периселен и апоселен соответственно). На орбите любой звезды , а не только Солнца, есть периастр и апастрон .
2. По мере того как планета движется по своей орбите, линия от Солнца к планете проходит через постоянную область орбитальной плоскости в течение заданного периода времени, независимо от того, какую часть своей орбиты она движется в течение этого периода времени. Это означает, что планета движется ближе к перигелию быстрее, чем к афелию , потому что на меньшем расстоянии ей необходимо проследить большую дугу, чтобы покрыть ту же область. Этот закон обычно формулируется как «равные площади в равное время».
3. Для данной орбиты отношение куба его большой полуоси к квадрату его периода постоянно.

Ограничения закона всемирного тяготения Ньютона [ править ]

Обратите внимание, что в то время как связанные орбиты точечной массы или сферического тела с ньютоновским гравитационным полем представляют собой замкнутые эллипсы , которые точно и бесконечно повторяют один и тот же путь, любые несферические или неньютоновские эффекты (например, вызванные небольшим сжатием Земля , или из-за релятивистских эффектов , тем самым изменяя поведение гравитационного поля с расстоянием) приведет к отклонению формы орбиты от замкнутых эллипсов, характерных для ньютоновского движения двух тел . Двухчастичные решения были опубликованы Ньютоном в « Началах» в 1687 году. В 1912 году Карл Фритиоф Сундман разработал сходящийся бесконечный ряд, который решаетпроблема трех тел ; однако он сходится слишком медленно, чтобы от него было много пользы. За исключением особых случаев, таких как точки Лагранжа , не известен ни один метод решения уравнений движения для системы с четырьмя или более телами.

Подходы к многотельным проблемам [ править ]

Вместо точного решения в замкнутой форме орбиты с множеством тел можно аппроксимировать с произвольно высокой точностью. Эти приближения принимают две формы:

Одна форма берет за основу чисто эллиптическое движение и добавляет члены возмущения, чтобы учесть гравитационное влияние нескольких тел. Это удобно для расчета положения астрономических тел. Уравнения движения лун, планет и других тел известны с большой точностью и используются для создания таблиц для астрономической навигации . Тем не менее, есть светские явления, с которыми нужно бороться постньютоновскими методами.

Форма дифференциального уравнения используется в научных целях или в целях планирования миссии. Согласно законам Ньютона, сумма всех сил, действующих на тело, будет равна массе тела, умноженной на его ускорение ( F = ma ). Следовательно, ускорение можно выразить в позициях. Члены возмущения намного проще описать в такой форме. Прогнозирование последующих положений и скоростей на основе начальных значений положения и скорости соответствует решению задачи начального значения . Численные методы вычисляют положения и скорости объектов на короткое время в будущем, а затем повторяют вычисление до тошноты. Однако крошечные арифметические ошибки из-за ограниченной точности математических вычислений компьютера являются кумулятивными, что ограничивает точность этого подхода.

При дифференциальном моделировании с большим количеством объектов вычисления выполняются попарно иерархически между центрами масс. По этой схеме были смоделированы галактики, звездные скопления и другие большие скопления объектов. ^{[ необходима цитата ]}

Ньютоновский анализ орбитального движения [ править ]

(См. Также орбиту Кеплера , уравнение орбиты и первый закон Кеплера . )

Следующий вывод применим к такой эллиптической орбите. Мы начнем только с закона всемирного тяготения Ньютона, утверждающего, что ускорение свободного падения по направлению к центральному телу связано с обратной величиной квадрата расстояния между ними, а именно:

${\ displaystyle F_ {2} = - {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}}$

где F ₂ - сила, действующая на массу m _2, вызванная гравитационным притяжением, которое масса m ₁ имеет для m ₂ , G - универсальная гравитационная постоянная, а r - расстояние между двумя центрами масс.

Согласно Второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на m _2, связанных с ускорением этого тела:

${\ displaystyle F_ {2} = m_ {2} A_ {2}}$

где ₂ является ускорение м ₂ , вызванное действием силы гравитационного притяжения F ₂ из м ₁ , действующей на м ₂ .

Комбинируя уравнения 1 и 2:

${\displaystyle -{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=m_{2}A_{2}}$

Решение для ускорения, A ₂ :

${\displaystyle A_{2}={\frac {F_{2}}{m_{2}}}=-{\frac {1}{m_{2}}}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

где в данном случае - стандартный гравитационный параметр . Понятно, что описываемая система имеет размер m ₂ , поэтому индексы можно опустить.${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle Gm_{1}}$

Мы предполагаем, что центральное тело достаточно массивно, чтобы его можно было считать стационарным, и игнорируем более тонкие эффекты общей теории относительности .

Когда маятник или объект, прикрепленный к пружине, качается по эллипсу, внутреннее ускорение / сила пропорциональны расстоянию. Из-за того, как складываются векторы, составляющая силы в направлениях или в направлениях также пропорциональна соответствующим компонентам. расстояний, . Следовательно, весь анализ может быть выполнен отдельно в этих измерениях. Это приводит к гармоническим параболическим уравнениям и эллипсу. Напротив, при уменьшении отношения размеры не могут быть разделены. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle A=F/m=-kr.}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle r''_{x}=A_{x}=-kr_{x}}$${\displaystyle x=A\cos(t)}$${\displaystyle y=B\sin(t)}$${\displaystyle A=\mu /r^{2}}$

Местоположение орбитального объекта в текущий момент времени находится в плоскости с использованием векторного исчисления в полярных координатах как со стандартным евклидовым базисом, так и с полярным базисом с началом координат, совпадающим с центром силы. Позвольте быть расстоянием между объектом и центром и углом, на который он повернулся. Позвольте и быть стандартными евклидовыми основаниями и пусть и быть радиальной и поперечной полярной${\displaystyle t}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$Первый - это единичный вектор, указывающий от центрального тела к текущему местоположению вращающегося объекта, а второй - ортогональный единичный вектор, указывающий в направлении, в котором движущийся объект будет двигаться, если будет вращаться по кругу против часовой стрелки. Тогда вектор к вращающемуся объекту равен

${\displaystyle {\hat {\mathbf {O} }}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

Мы используем и для обозначения стандартных производных того, как это расстояние и угол меняются с течением времени. Мы берем производную вектора, чтобы увидеть, как он изменяется с течением времени, вычитая его местоположение во времени из этого во времени и разделив на . Результат - тоже вектор. Поскольку наш базисный вектор движется по орбите объекта, мы начинаем с его дифференцирования. Время от времени до вектор сохраняет свое начало в начале координат и вращается с угла, на который его голова перемещается на расстояние в перпендикулярном направлении, давая производную от .${\displaystyle {\dot {r}}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle \delta t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t+\delta t}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta +{\dot {\theta }}\ \delta t}$${\displaystyle {\dot {\theta }}\ \delta t}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle {\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {\mathbf {r} }}=-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-\sin(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{\delta t}}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}=-\cos(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {x} }}-\sin(\theta ){\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {y} }}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }}}$

Теперь мы можем найти скорость и ускорение нашего орбитального объекта.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {O} }}=r{\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle {\dot {\mathbf {O} }}={\frac {\delta r}{\delta t}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\frac {\delta {\hat {\mathbf {r} }}}{\delta t}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r[{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}]}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {O} }}=[{\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}]+[{\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}-r{\dot {\theta }}^{2}{\hat {\mathbf {r} }}]}$

${\displaystyle =[{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}]{\hat {\mathbf {r} }}+[r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Коэффициенты и дают ускорения в радиальном и поперечном направлениях. Как сказано, Ньютон дает это первое из-за силы тяжести, а второе - ноль.${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$${\displaystyle -\mu /r^{2}}$

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

(1)

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0}$

(2)

Уравнение (2) можно преобразовать, используя интегрирование по частям.

${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)=0}$

Мы можем умножить на, потому что оно не равно нулю, если только орбитальный объект не упадет. Тогда, если производная равна нулю, функция будет константой.${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=h}$

(3)

что на самом деле является теоретическим доказательством второго закона Кеплера (линия, соединяющая планету и Солнце, выметает равные области за равные промежутки времени). Константа интегрирования h - это момент количества движения на единицу массы .

Чтобы получить уравнение для орбиты из уравнения (1), нам нужно исключить время. ^[8] (См. Также уравнение Бине .) В полярных координатах это могло бы выразить расстояние орбитального объекта от центра как функцию его угла . Однако проще ввести вспомогательную переменную и выразить ее как функцию от . Производные от по времени могут быть переписаны как производные от по углу.${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle u=1/r}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle r}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle u={1 \over r}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {h}{r^{2}}}=hu^{2}}$ (переделка (3))

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta u}{\delta \theta }}={\frac {\delta }{\delta t}}\left({\frac {1}{r}}\right){\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\dot {r}}{h}}\\&{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}=-{\frac {1}{h}}{\frac {\delta {\dot {r}}}{\delta t}}{\frac {\delta t}{\delta \theta }}=-{\frac {\ddot {r}}{h{\dot {\theta }}}}=-{\frac {\ddot {r}}{h^{2}u^{2}}}\ \ \ {\text{ or }}\ \ \ {\ddot {r}}=-h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}\end{aligned}}}$

Вставка их в (1) дает

${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}}$

${\displaystyle -h^{2}u^{2}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {1}{u}}(hu^{2})^{2}=-\mu u^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}+u={\frac {\mu }{h^{2}}}}$

(4)

Таким образом, для гравитационной силы - или, в более общем смысле, для любого закона обратных квадратов - правая часть уравнения становится константой, и уравнение рассматривается как гармоническое уравнение (с точностью до сдвига начала координат зависимой переменной) . Решение:

${\displaystyle u(\theta )={\frac {\mu }{h^{2}}}-A\cos(\theta -\theta _{0})}$

где A и θ ₀ - произвольные постоянные. Это результирующее уравнение орбиты объекта является уравнением эллипса в полярной форме относительно одной из фокальных точек. Это делается в более стандартной форме, позволяя быть эксцентриситетом , позволяя быть большой полуосью. Наконец, пусть длинная ось эллипса проходит вдоль положительной координаты x .${\displaystyle e\equiv h^{2}A/\mu }$${\displaystyle a\equiv h^{2}/(\mu (1-e^{2}))}$${\displaystyle \theta _{0}\equiv 0}$

${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta }}}$

Когда система двух тел находится под действием крутящего момента, угловой момент h не является постоянным. После следующего расчета:

${\displaystyle {\frac {\delta r}{\delta \theta }}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}=-{\frac {h}{m}}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}}$

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}r}{\delta \theta ^{2}}}=-{\frac {h^{2}u^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta \theta ^{2}}}-{\frac {hu^{2}}{m^{2}}}{\frac {\delta h}{\delta \theta }}{\frac {\delta u}{\delta \theta }}}$

${\displaystyle \left({\frac {\delta \theta }{\delta t}}\right)^{2}r={\frac {h^{2}u^{3}}{m^{2}}}}$

получим уравнение Штурма-Лиувилля системы двух тел. ^[9]

${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \theta }}\left(h{\frac {\delta u}{\delta \theta }}\right)+hu={\frac {\mu }{h}}}$

(5)

Релятивистское орбитальное движение [ править ]

Вышеупомянутый классический ( ньютоновский ) анализ орбитальной механики предполагает, что более тонкие эффекты общей теории относительности , такие как перетаскивание системы отсчета и гравитационное замедление времени , незначительны. Релятивистские эффекты перестают быть незначительными при приближении к очень массивным телам (например, при прецессии орбиты Меркурия вокруг Солнца) или когда требуется чрезвычайная точность (как при расчетах элементов орбиты и привязках сигналов времени для спутников GPS ^[10] ). .

Орбитальные самолеты [ править ]

До сих пор анализ был двумерным; оказывается, что невозмущенная орбита является двумерной в плоскости, фиксированной в пространстве, и, таким образом, расширение до трех измерений требует простого поворота двумерной плоскости на требуемый угол относительно полюсов рассматриваемого планетарного тела.

Вращение, чтобы сделать это в трех измерениях, требует однозначного определения трех чисел; традиционно они выражаются в трех углах.

Орбитальный период [ править ]

Орбитальный период - это просто время, которое требуется телу на орбите, чтобы завершить один оборот.

Определение орбит [ править ]

Для определения кеплеровской орбиты вокруг тела требуются шесть параметров . Например, три числа, определяющие начальное положение тела, и три значения, определяющие его скорость, будут определять уникальную орбиту, которая может быть рассчитана вперед (или назад) во времени. Однако традиционно используемые параметры немного отличаются.

Традиционно используемый набор орбитальных элементов называется набором кеплеровских элементов в честь Иоганна Кеплера и его законов. Кеплеровских элементов шесть:

• Наклон ( i )
• Долгота восходящего узла (Ом)
• Аргумент перицентра (ω)
• Эксцентриситет ( e )
• Большая полуось ( а )
• Средняя аномалия в эпоху ( M ₀ ).

В принципе, если известны элементы орбиты тела, его положение может быть вычислено вперед и назад неограниченно во времени. Однако на практике на орбиты влияют или возмущаются другие силы, кроме простой гравитации от предполагаемого точечного источника (см. Следующий раздел), и, таким образом, элементы орбиты меняются с течением времени.

Орбитальные возмущения [ править ]

Орбитальное возмущение - это когда сила или импульс, который намного меньше общей силы или среднего импульса основного гравитирующего тела и который является внешним по отношению к двум вращающимся телам, вызывает ускорение, которое со временем изменяет параметры орбиты.

Радиальные, прямые и поперечные возмущения [ править ]

Небольшой радиальный импульс, поданный телу на орбите, изменяет эксцентриситет , но не период обращения (до первого порядка). Prograde или ретроградный импульс (т.е. импульс , приложенный вдоль орбитальное движение) изменяет как эксцентриситет и орбитальный период . Примечательно, что прямой импульс в периапсисе увеличивает высоту в апоапсисе , и наоборот, а ретроградный импульс делает наоборот. Поперечный импульс (вне плоскости орбиты) вызывает вращение плоскости орбиты без изменения периода или эксцентриситета. Во всех случаях замкнутая орбита все равно будет пересекать точку возмущения.

Орбитальный распад [ править ]

Если орбита проходит вокруг планетарного тела со значительной атмосферой, его орбита может затухать из-за сопротивления . Особенно в каждом перицентрическом отделе, объект испытывает атмосферное сопротивление, теряя энергию. Каждый раз орбита становится менее эксцентричной (более круговой), потому что объект теряет кинетическую энергию именно тогда, когда эта энергия максимальна. Это похоже на эффект замедления маятника в его самой низкой точке; высшая точка качания маятника становится ниже. С каждым последующим замедлением все больше и больше орбиты попадает под влияние атмосферы, и эффект становится более выраженным. В конце концов, эффект становится настолько большим, что максимальной кинетической энергии недостаточно, чтобы вернуться на орбиту за пределы эффекта атмосферного сопротивления. Когда это произойдет, тело будет быстро спускаться по спирали и пересекать центральное тело.

Границы атмосферы сильно различаются. Во время солнечного максимума атмосфера Земли вызывает сопротивление на сотню километров больше, чем во время солнечного минимума.

Некоторые спутники с длинными проводящими тросами также могут испытывать орбитальный распад из-за электромагнитного сопротивления магнитного поля Земли . Когда провод разрезает магнитное поле, он действует как генератор, перемещая электроны от одного конца к другому. Орбитальная энергия преобразуется в проводе в тепло.

На орбиты можно искусственно влиять с помощью ракетных двигателей, которые изменяют кинетическую энергию тела в какой-то момент на его пути. Это преобразование химической или электрической энергии в кинетическую. Таким образом можно облегчить изменение формы или ориентации орбиты.

Другой метод искусственного воздействия на орбиту - использование солнечных или магнитных парусов . Эти формы движения не требуют никакого топлива или энергии, кроме энергии Солнца, и поэтому могут использоваться бесконечно. См. Статит для одного такого предлагаемого использования.

Орбитальный распад может происходить из-за приливных сил для объектов, находящихся ниже синхронной орбиты тела, вокруг которого они вращаются. Гравитация вращающегося объекта вызывает приливные выпуклости в первичной обмотке, и поскольку ниже синхронной орбиты орбитальный объект движется быстрее, чем поверхность тела, выпуклости отстают от него на небольшой угол. Гравитация выпуклостей немного отклоняется от оси основного спутника и, таким образом, имеет компонент вдоль движения спутника. Ближняя выпуклость замедляет объект больше, чем дальняя выпуклость ускоряет его, и в результате орбита затухает. И наоборот, сила тяжести спутника на выступах создает крутящий момент.на главном и ускоряет его вращение. Искусственные спутники слишком малы, чтобы оказывать заметное приливное воздействие на планеты, по которым они вращаются, но несколько лун в Солнечной системе подвергаются орбитальному распаду по этому механизму. Самый внутренний спутник Марса Фобос является ярким примером, и ожидается, что он либо столкнется с поверхностью Марса, либо разорвется на кольцо в течение 50 миллионов лет.

Орбиты могут распадаться из-за излучения гравитационных волн . Этот механизм чрезвычайно слаб для большинства звездных объектов и становится значимым только в тех случаях, когда существует комбинация экстремальной массы и экстремального ускорения, например, с черными дырами или нейтронными звездами , которые вращаются близко друг к другу.

Сплющенность [ править ]

Стандартный анализ движущихся по орбите тел предполагает, что все тела состоят из однородных сфер или, в более общем смысле, из концентрических оболочек, каждая из которых имеет одинаковую плотность. Можно показать, что такие тела гравитационно эквивалентны точечным источникам.

Однако в реальном мире многие тела вращаются, и это вносит сжатие и искажает гравитационное поле, а также дает квадрупольный момент гравитационному полю, который имеет значение на расстояниях, сопоставимых с радиусом тела. В общем случае гравитационный потенциал вращающегося тела, такого как, например, планета, обычно расширяется по мультиполям, учитывая отклонения его от сферической симметрии. С точки зрения динамики спутников особое значение имеют так называемые коэффициенты четной зональной гармоники или даже зональные характеристики, поскольку они вызывают вековые орбитальные возмущения, которые накапливаются во времени, превышающем орбитальный период. ^{[11] [12] [13]} Они действительно зависят от ориентации оси симметрии тела в пространстве, влияя, в целом, на всю орбиту, за исключением большой полуоси.

Множественные гравитирующие тела [ править ]

Воздействие других гравитирующих тел может быть значительным. Например, орбиту Луны невозможно точно описать без учета действия силы тяжести Солнца, а также силы тяжести Земли. Один приблизительный результат состоит в том, что тела обычно будут иметь достаточно стабильные орбиты вокруг более тяжелой планеты или луны, несмотря на эти возмущения, при условии, что они вращаются в пределах сферы Хилла более тяжелого тела .

Когда имеется более двух гравитирующих тел, это называется проблемой n тел . Большинство задач с n телами не имеют решения в закрытой форме , хотя были сформулированы некоторые частные случаи.

Световое излучение и звездный ветер [ править ]

В частности, для меньших тел легкий и звездный ветер могут вызывать значительные возмущения в отношении положения и направления движения тела, а со временем могут быть значительными. Что касается планетных тел, движение астероидов особенно подвержено влиянию в течение длительных периодов, когда астероиды вращаются относительно Солнца.

Странные орбиты [ править ]

Математики обнаружили, что в принципе возможно иметь несколько тел на неэллиптических орбитах, которые периодически повторяются, хотя большинство таких орбит нестабильно относительно небольших возмущений массы, положения или скорости. Однако были выявлены некоторые особые устойчивые случаи, в том числе плоская орбита в форме восьмерки, на которой движутся три движущихся тела . Дальнейшие исследования показали, что неплоские орбиты также возможны, в том числе орбиты с участием 12 масс, движущихся по 4 примерно круглым, взаимосвязанным орбитам, топологически эквивалентным ребрам кубооктаэдра . ^[14]

Обнаружение таких орбит, естественным образом встречающихся во Вселенной, считается крайне маловероятным из-за маловероятности того, что требуемые условия возникают случайно. ^[14]

Астродинамика [ править ]

Орбитальная механика или астродинамика - это приложение баллистики и небесной механики к практическим задачам, касающимся движения ракет и других космических аппаратов . Движение этих объектов, как правило , рассчитывается из законов движения Ньютона и закон Ньютона всемирного тяготения . Это основная дисциплина при разработке и управлении космическими полетами. В небесной механике более широко рассматривается орбитальная динамика систем, находящихся под действием силы тяжести , включая космические корабли и естественные астрономические тела, такие как звездные системы, планеты , луны и т. Д.кометы . Орбитальная механика фокусируется на траекториях космических аппаратов , включая орбитальные маневры , изменения плоскости орбиты и межпланетные переходы, и используется планировщиками миссий для прогнозирования результатов движущих маневров . Общая теория относительности является более точной теорией, чем законы Ньютона для вычисления орбит, и иногда необходима для большей точности или в ситуациях с высокой гравитацией (например, орбиты, близкие к Солнцу).

Земные орбиты [ править ]

• Низкая околоземная орбита (НОО): геоцентрические орбиты с высотой до 2000 км (0–1 240 миль ). ^[15]
• Средняя околоземная орбита (MEO): геоцентрические орбиты с высотой от 2000 км (1240 миль ) до чуть ниже геостационарной орбиты на высоте 35 786 км (22 236 миль). Также известна как промежуточная круговая орбита . Это «чаще всего на 20 200 километров (12 600 миль) или 20 650 километров (12 830 миль) с периодом обращения 12 часов». ^[16]
• И геостационарная орбита (ГСО), и геостационарная орбита (ГСО) - это орбиты вокруг Земли, соответствующие звездному периоду вращения Земли . Все геостационарные и геостационарные орбиты имеют большую полуось 42 164 км (26 199 миль). ^[17] Все геостационарные орбиты также геостационарные, но не все геостационарные орбиты являются геостационарными. Геостационарная орбита находится точно над экватором, тогда как геостационарная орбита может качаться на север и юг, покрывая большую часть поверхности Земли. Оба совершают один полный оборот вокруг Земли за звездные сутки (относительно звезд, а не Солнца).
• Высокая околоземная орбита : геоцентрические орбиты над высотой геостационарной орбиты 35 786 км (22 240 миль ). ^[16]

Масштабирование под действием силы тяжести [ править ]

Гравитационная постоянная G была вычислена как:

• (6,6742 ± 0,001) × 10 ⁻¹¹ (кг / м ³ ) ⁻¹ с ⁻² .

Таким образом, постоянная имеет размерную плотность ^-1 время ^-2 . Это соответствует следующим свойствам.

Масштабирование расстояний (включая размеры тел при сохранении одинаковой плотности) дает аналогичные орбиты без масштабирования времени: если, например, расстояния уменьшаются вдвое, массы делятся на 8, гравитационные силы на 16 и гравитационные ускорения на 2. Следовательно, скорости равны уменьшенные вдвое и орбитальные периоды и другое время путешествия, связанное с гравитацией, остаются прежними. Например, когда объект падает с башни, время, необходимое для падения на землю, остается таким же, как и для масштабной модели башни на масштабной модели Земли.

Масштабирование расстояний при сохранении одинаковых масс (в случае точечных масс или путем регулировки плотности) дает схожие орбиты; если расстояния умножаются на 4, силы тяжести и ускорения делятся на 16, скорости уменьшаются вдвое, а периоды обращения умножаются на 8.

Когда все плотности умножаются на 4, орбиты остаются одинаковыми; гравитационные силы умножаются на 16, а ускорения - на 4, скорости удваиваются, а периоды обращения уменьшаются вдвое.

Когда все плотности умножаются на 4, а все размеры уменьшаются вдвое, орбиты становятся похожими; массы делятся на 2, гравитационные силы одинаковы, гравитационные ускорения удваиваются. Следовательно, скорости одинаковы, а периоды обращения уменьшены вдвое.

Во всех этих случаях масштабирование. если плотности умножить на 4, времена уменьшатся вдвое; если скорости удваиваются, силы умножаются на 16.

Эти свойства проиллюстрированы формулой (полученной из формулы для орбитального периода )

${\displaystyle GT^{2}\rho =3\pi \left({\frac {a}{r}}\right)^{3},}$

для эллиптической орбиты с большой полуосью a малого тела вокруг сферического тела с радиусом r и средней плотностью ρ , где T - период обращения. См. Также Третий закон Кеплера .

Патенты [ править ]

Применение определенных орбит или орбитальных маневров для конкретных полезных целей было предметом патентов. ^[18]

Приливная блокировка [ править ]

Некоторые тела приливно связаны с другими телами, что означает, что одна сторона небесного тела постоянно обращена к своему объекту-хозяину. Так обстоит дело с системами Земля- Луна и Плутон-Харон.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Колокольчик; Моррисон и Вольф (1987). Исследование Вселенной (пятое изд.). Издательство колледжа Сондерс.
• Линтон, Кристофер (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-45379-0.
• Фрэнк Свец; Джон Фовел; Бенгт Йоханссон; Виктор Кац; Отто Беккен (1995). Учитесь у Мастеров . MAA. ISBN 978-0-88385-703-8.
• Андреа Милани и Джованни Ф. Гронки. Теория определения орбиты (издательство Кембриджского университета; 378 страниц; 2010). Обсуждает новые алгоритмы определения орбит как естественных, так и искусственных небесных тел.

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите орбиту в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме орбиты .

• CalcTool: Калькулятор орбитального периода планеты . Имеет широкий выбор агрегатов. Требуется JavaScript.
• Java-моделирование орбитального движения . Требуется Java.
• Страница NOAA, посвященная данным о воздействии на климат, включает (расчетные) данные об изменениях орбиты Земли за последние 50 миллионов лет и за ближайшие 20 миллионов лет.
• Он-лайн орбитальный плоттер . Требуется JavaScript.
• Орбитальная механика (ракетно-космическая техника)
• Моделирование орбиты, выполненное Варади, Гилом и Руннегаром (2003), дает другой, несколько иной ряд для эксцентриситета земной орбиты, а также ряд для наклонения орбиты. Орбиты других планет также были рассчитаны Ф. Варади; Б. Руннегар; М. Гил (2003). «Последовательные уточнения в долгосрочной интеграции планетных орбит» . Астрофизический журнал . 592 (1): 620–630. Bibcode : 2003ApJ ... 592..620V . DOI : 10.1086 / 375560 ., но в Интернете доступны только данные об эксцентриситете Земли и Меркурия .
• Изучите орбиты с помощью прямых манипуляций . Требуется JavaScript и Macromedia
• Меррифилд, Майкл. «Орбиты (включая первую пилотируемую орбиту)» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
• Симулятор планетарной орбиты Astronoo