В астрономии , Законов Кеплера , опубликованного Иоганн Кеплер между 1609 и 1619, описывают орбиты планет вокруг Солнца . Законы изменили гелиоцентрическую теорию о Копернике , заменив его круговые орбиты и эпициклы с эллиптическими траекториями, и объяснить , как планетарные скорости изменяются. Три закона гласят, что:
- Орбита планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном из двух фокусов.
- Отрезок, соединяющий планету и Солнце, сметает равные области за равные промежутки времени.
- Квадрат планеты орбитального периода пропорциональна кубу длины большой полуоси его орбиты.
Эллиптические орбиты планет указывались расчетами орбиты Марса . Из этого Кеплер сделал вывод, что другие тела в Солнечной системе , в том числе и те, что находятся дальше от Солнца, также имеют эллиптические орбиты. Второй закон помогает установить, что, когда планета находится ближе к Солнцу, она движется быстрее. Третий закон гласит, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее ее орбитальная скорость, и наоборот.
Исаак Ньютон показал в 1687 году, что отношения, подобные отношениям Кеплера, могут применяться в Солнечной системе с хорошим приближением как следствие его собственных законов движения и закона всемирного тяготения .
Сравнение с коперником
Законы Иоганна Кеплера улучшили модель Коперника. Если принять эксцентриситет планетных орбит равным нулю, то Кеплер в основном согласился с Коперником:
- Планетарная орбита представляет собой круг с эпициклами.
- Солнце находится примерно в центре орбиты.
- Скорость планеты на главной орбите постоянна.
Эксцентриситеты орбит планет, известных Копернику и Кеплеру, невелики, поэтому приведенные выше правила дают хорошие приближения движения планет, но законы Кеплера лучше подходят для наблюдений, чем модель, предложенная Коперником. Поправки Кеплера:
- Планетарная орбита представляет собой не круг с эпициклами, а эллипс .
- Солнце находится не около центра, а в фокусе эллиптической орбиты.
- Ни линейная скорость, ни угловая скорость планеты на орбите не являются постоянными, но скорость по площади (исторически тесно связанная с понятием углового момента ) постоянна.
Эксцентриситет орбиты Земли делает время от мартовского равноденствия до сентябрьского равноденствия , примерно 186 дней, не равным времени от сентябрьского равноденствия до мартовского равноденствия, примерно 179 дней. Диаметр разделил бы орбиту на равные части, но плоскость, проходящая через Солнце, параллельная экватору Земли, разделяет орбиту на две части с областями в соотношении 186 к 179, так что эксцентриситет орбиты Земли приблизительно равен
что близко к правильному значению (0,016710218). Точность этого расчета требует, чтобы две выбранные даты располагались вдоль малой оси эллиптической орбиты, а средние точки каждой половины - вдоль большой оси. Поскольку две выбранные здесь даты являются равноденствиями, это будет правильно, когда перигелий , дата, когда Земля находится ближе всего к Солнцу, выпадает на солнцестояние . Текущий перигелий около 4 января довольно близок к солнцестоянию 21 или 22 декабря.
Номенклатура
Потребовалось почти два столетия, чтобы нынешняя формулировка работы Кеплера приняла устойчивую форму. Вольтер «s ЭЛЕМЕНТОВ - де - ла - де - Философии Ньютон ( Элементы философии Ньютона ) 1738 был первой публикации использовать терминологию„законов“. [1] [2] Биографическая энциклопедия Астрономы в своей статье на Kepler (стр. 620) утверждает , что терминология научных законов для этих открытий было ток по крайней мере , со времен Джозефа де Лаланд . [3] Это было изложение Роберта Смолла в книге «Отчет об астрономических открытиях Кеплера» (1814 г.), которая составила свод из трех законов, добавив третий. [4] Смолл также утверждал, вопреки истории, что это были эмпирические законы , основанные на индуктивных рассуждениях . [2] [5]
Кроме того, нынешнее использование «Второго закона Кеплера» в некоторой степени неверно. У Кеплера было две версии, связанные в качественном смысле: «закон расстояния» и «закон площади». «Закон области» - это то, что стало Вторым Законом из набора из трех; но сам Кеплер не придавал этому особого значения. [6]
История
Кеплер опубликовал свои первые два закона о движении планет в 1609 году [7] , найдя их путем анализа астрономических наблюдений Тихо Браге . [8] [9] [10] Третий закон Кеплера был опубликован в 1619 году. [11] [9] Кеплер верил в модель Солнечной системы Коперника , которая предусматривала круговые орбиты, но он не мог согласовать высокоточные наблюдения Браге. с круговой подгонкой к орбите Марса - Марс по совпадению имеет самый высокий эксцентриситет из всех планет, кроме Меркурия. [12] Его первый закон отразил это открытие.
В 1621 году Кеплер отметил , что его третий закон относится к четырем ярких лун от Юпитера . [Nb 1] Годфрой Венделин также сделал это наблюдение в 1643 году. [Nb 2] Второй закон, в форме «территориального закона», был оспорен Николаем Меркатором в книге 1664 года, но к 1670 году его « Философские труды» были в его пользу. . По прошествии века это стало более общепринятым. [13] Прием в Германии заметно изменился между 1688 годом, когда были опубликованы « Начала» Ньютона и считались в основном коперниканскими, и 1690 годом, когда была опубликована работа Готфрида Лейбница о Кеплере. [14]
Ньютону приписывали понимание того, что второй закон не является частным по отношению к закону обратных квадратов гравитации, поскольку является следствием радиальной природы этого закона; в то время как другие законы зависят от формы обратных квадратов притяжения. Карл Рунге и Вильгельм Ленц намного позже определили принцип симметрии в фазовом пространстве движения планет (действующая ортогональная группа O (4)), который учитывает первый и третий законы в случае ньютоновской гравитации, как и сохранение углового момента через вращательная симметрия для второго закона. [15]
Формуляр
Математическая модель кинематики планеты, подчиняющейся законам, допускает большой диапазон дальнейших вычислений.
Первый закон
Орбита каждой планеты представляет собой эллипс с Солнцем в одном из двух фокусов .
Математически эллипс можно представить формулой:
где является полу-Латус прямой кишки , ε представляет собой эксцентриситет эллипса, т является расстоянием от Солнца до планеты, и θ представляет собой угол , чтобы текущее положение планеты от его ближайшего подхода, как видно из Солнца Итак, ( r , θ ) - полярные координаты .
Для эллипса 0 < ε <1; в предельном случае ε = 0 орбита представляет собой круг с Солнцем в центре (т.е. там, где эксцентриситет равен нулю).
При θ = 0 °, перигелий , расстояние минимально.
При θ = 90 ° и θ = 270 ° расстояние равно.
При θ = 180 °, афелий , расстояние максимально (по определению афелий - это неизменно перигелий плюс 180 °).
Большая полуось это среднее арифметическое между г мин и г макс :
Ось полу-минор б представляет собой геометрическое среднее между т мин и г макс :
Половина прямой кишки p - это среднее гармоническое значение между r min и r max :
Эксцентриситет ε - это коэффициент вариации между r min и r max :
Площадь эллипса
Частным случаем круга является ε = 0, в результате чего r = p = r min = r max = a = b и A = πr 2 .
Второй закон
Линии присоединения планеты и Солнце заметает равные площади в равные промежутки времени. [16]
Радиус орбиты и угловая скорость планеты на эллиптической орбите будут изменяться. Это показано на анимации: планета движется быстрее, когда приближается к Солнцу, и медленнее, когда дальше от Солнца. Второй закон Кеплера гласит, что синий сектор имеет постоянную площадь.
За короткое время планета выметает маленький треугольник, имеющий базовую линию и высота и площадь , поэтому постоянная площадная скорость равна
Площадь, ограниченная эллиптической орбитой, равна Итак, период удовлетворяет
и среднее движение планеты вокруг Солнца
удовлетворяет
Третий закон
Отношение площади объекта орбитального периода с кубу большой полуоси его орбиты является одинаковым для всех объектов , находящихся на орбите один и тот же первичный.
Это отражает взаимосвязь между расстоянием планет от Солнца и их орбитальными периодами.
Кеплер провозгласил в 1619 г. [11] этот третий закон в кропотливой попытке определить то, что он считал « музыкой сфер » в соответствии с точными законами, и выразить это в терминах нотной записи. [17] Поэтому он был известен как гармонический закон . [18]
Используя закон всемирного тяготения Ньютона (опубликованный в 1687 г.), это соотношение можно найти в случае круговой орбиты, установив центростремительную силу равной силе тяжести:
Затем, выражая угловую скорость через период обращения и затем перестраивая, мы находим Третий закон Кеплера:
Более подробный вывод может быть выполнен с помощью общих эллиптических орбит вместо кругов, а также с вращением вокруг центра масс, а не только с большой массой. Это приводит к замене круглого радиуса,, с большой полуосью, , эллиптического относительного движения одной массы относительно другой, а также заменяя большую массу с участием . Однако, поскольку массы планет намного меньше Солнца, эту поправку часто игнорируют. Полная соответствующая формула:
где это масса Солнца , масса планеты, - гравитационная постоянная , это орбитальный период и - большая полуось эллипса, а является астрономическая единица , среднее расстояние от Земли до Солнца.
В следующей таблице показаны данные, которые использовал Кеплер для эмпирического вывода своего закона:
Планета | Среднее расстояние до солнца (AU) | Период (дни) | ( 10-6 ЕД 3 / день 2 ) |
---|---|---|---|
Меркурий | 0,389 | 87,77 | 7,64 |
Венера | 0,724 | 224,70 | 7,52 |
земля | 1 | 365,25 | 7,50 |
Марс | 1,524 | 686,95 | 7,50 |
Юпитер | 5.20 | 4332,62 | 7,49 |
Сатурн | 9,510 | 10759,2 | 7,43 |
Обнаружив этот образец, Кеплер написал: [19]
Сначала я полагал, что мне приснился сон ... Но совершенно очевидно и точно, что соотношение, которое существует между периодами периодов любых двух планет, является в точности соотношением 3/2 степени среднего расстояния.
- перевод из " Гармоний мира" Кеплера (1619)
Для сравнения - современные оценки:
Планета | Большая полуось (AU) | Период (дни) | ( 10-6 ЕД 3 / день 2 ) |
---|---|---|---|
Меркурий | 0,38710 | 87,9693 | 7,496 |
Венера | 0,72333 | 224,7008 | 7,496 |
земля | 1 | 365,2564 | 7,496 |
Марс | 1,52366 | 686,9796 | 7,495 |
Юпитер | 5.20336 | 4332,8201 | 7,504 |
Сатурн | 9,53707 | 10775,599 | 7,498 |
Уран | 19.1913 | 30687.153 | 7,506 |
Нептун | 30.0690 | 60190,03 | 7,504 |
Планетарное ускорение
Исаак Ньютон вычислен в его Математических начал натуральной философии на ускорение планеты , движущейся по первому и второму закону Кеплера.
- Направление ускорения является к Солнцу
- Величина ускорения обратно пропорциональна квадрату расстояния планеты от Солнца ( закон обратных квадратов ).
Это означает, что Солнце может быть физической причиной ускорения планет. Однако Ньютон заявляет в своих « Началах», что он рассматривает силы с математической, а не физической точки зрения, тем самым принимая инструменталистскую точку зрения. [20] Более того, он не приписывает причину гравитации. [21]
Ньютон определил силу, действующую на планету, как произведение ее массы и ускорения (см . Законы движения Ньютона ). Так:
- Каждая планета тянется к Солнцу.
- Сила, действующая на планету, прямо пропорциональна массе планеты и обратно пропорциональна квадрату ее расстояния от Солнца.
Солнце играет несимметричную роль, что неоправданно. Так он предположил в законе всемирного тяготения Ньютона :
- Все тела в Солнечной системе притягиваются друг к другу.
- Сила между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Поскольку массы планет малы по сравнению с массой Солнца, орбиты приблизительно соответствуют законам Кеплера. Модель Ньютона улучшает модель Кеплера и более точно соответствует реальным наблюдениям. (См. Задачу двух тел .)
Ниже приводится подробный расчет ускорения планеты, движущейся согласно первому и второму законам Кеплера.
Вектор ускорения
С гелиоцентрической точки зрения рассмотрим вектор к планете где это расстояние до планеты и - единичный вектор, указывающий на планету.
где - единичный вектор, направление которого составляет 90 градусов против часовой стрелки от , а также - полярный угол, а точка над переменной означает дифференцирование по времени.
Дважды дифференцируйте вектор положения, чтобы получить вектор скорости и вектор ускорения:
Так
где радиальное ускорение является
а поперечное ускорение равно
Закон обратных квадратов
Второй закон Кеплера гласит, что
постоянно.
Поперечное ускорение равно нулю:
Итак, ускорение планеты, подчиняющейся второму закону Кеплера, направлено к Солнцу.
Радиальное ускорение является
Первый закон Кеплера гласит, что орбита описывается уравнением:
Дифференциация по времени
или же
Еще раз дифференцируя
Радиальное ускорение удовлетворяет
Подстановка уравнения эллипса дает
Соотношение дает простой конечный результат
Это означает, что вектор ускорения любой планеты, подчиняющейся первому и второму закону Кеплера, удовлетворяет закону обратных квадратов
где
является константой, а - единичный вектор, направленный от Солнца к планете, и это расстояние между планетой и Солнцем.
Поскольку среднее движение где - период, согласно третьему закону Кеплера, имеет одинаковое значение для всех планет. Таким образом, закон обратных квадратов для планетных ускорений применим ко всей Солнечной системе.
Закон обратных квадратов - это дифференциальное уравнение . Решения этого дифференциального уравнения включают кеплеровы движения, как показано, но они также включают в себя движения , где орбита является гиперболой или параболой или прямая линия . (См. Орбиту Кеплера .)
Закон всемирного тяготения Ньютона
Согласно второму закону Ньютона, сила гравитации, действующая на планету, равна:
где масса планеты и имеет одинаковое значение для всех планет Солнечной системы. Согласно третьему закону Ньютона , Солнце притягивается к планете силой той же величины. Поскольку сила пропорциональна массе планеты, при симметричном рассмотрении она также должна быть пропорциональна массе Солнца,. Так
где - гравитационная постоянная .
Ускорение тела i солнечной системы согласно законам Ньютона составляет:
где масса тела j ,расстояние между телом i и телом j ,- единичный вектор от тела i к телу j , а суммирование векторов производится по всем телам в Солнечной системе, кроме самого i .
В частном случае, когда в Солнечной системе всего два тела, Земля и Солнце, ускорение становится равным
что является ускорением движения Кеплера. Итак, эта Земля движется вокруг Солнца по законам Кеплера.
Если два тела в Солнечной системе - Луна и Земля, ускорение Луны становится равным
Итак, в этом приближении Луна движется вокруг Земли по законам Кеплера.
В трехчастном случае ускорения равны
Эти ускорения не являются ускорениями кеплеровских орбит, и проблема трех тел сложна. Но кеплеровское приближение является основой для расчета возмущений . (См. Лунную теорию .)
Положение как функция времени
Кеплер использовал свои два первых закона для вычисления положения планеты как функции времени. Его метод включает решение трансцендентного уравнения, называемого уравнением Кеплера .
Процедура вычисления гелиоцентрических полярных координат ( r , θ ) планеты как функции времени t, прошедшего с перигелия , состоит из следующих пяти шагов:
- Вычислите среднее движение n = (2 π радиан) / P , где P - период.
- Вычислите среднюю аномалию M = nt , где t - время, прошедшее после перилгелия.
- Вычислите эксцентрическую аномалию E , решив уравнение Кеплера:
- , где это эксцентриситет.
- Вычислите истинную аномалию θ , решив уравнение:
- Вычислите гелиоцентрическое расстояние r :
- , где - большая полуось.
Тогда вектор декартовой скорости можно рассчитать как , где - стандартный гравитационный параметр . [22]
Важный частный случай круговой орбиты, ε = 0, дает θ = E = M . Поскольку равномерное круговое движение считалось нормальным , отклонение от этого движения считалось аномалией .
Доказательство этой процедуры показано ниже.
Средняя аномалия, М
Задача Кеплера предполагает эллиптическую орбиту и четыре точки:
- s Солнце (в одном фокусе эллипса);
- г Перигелий
- c центр эллипса
- п планета
а также
- расстояние между центром и перигелием, большой полуосью ,
- эксцентриситет ,
- малая ось ,
- расстояние между Солнцем и планетой.
- направление на планету, если смотреть с Солнца, истинная аномалия .
Задача состоит в том, чтобы вычислить полярные координаты ( r , θ ) планеты по времени, прошедшему с перигелия , t .
Решается поэтапно. Кеплер считал круг с большой осью диаметром, а
- проекция планеты на вспомогательный круг
- точка на окружности такая, что площади сектора | zcy | и | zsx | равны,
- средняя аномалия .
Секторные области связаны между собой
Круговой сектор область
Площадь заметна с перигелия,
согласно второму закону Кеплера пропорциональна времени, прошедшему с перигелия. Таким образом, средняя аномалия M пропорциональна времени, прошедшему с перигелия t .
где n - среднее движение .
Эксцентрическая аномалия, E
Когда вычисляется средняя аномалия M , цель состоит в том, чтобы вычислить истинную аномалию θ . Однако функция θ = f ( M ) не является элементарной. [23] Решение Кеплера заключается в использовании
- , x если смотреть из центра, эксцентрическая аномалия
в качестве промежуточной переменной, и сначала вычислить Е как функцию M , решая уравнение Кеплера ниже, а затем вычислить истинную аномалию & thetas от эксцентрической аномалии Е . Вот подробности.
Деление на 2 /2 дает уравнение Кеплера
Это уравнение дает М как функции Е . Определение E для данного M - обратная задача. Обычно используются итерационные численные алгоритмы.
После вычисления эксцентрической аномалии E следующим шагом является вычисление истинной аномалии θ .
Но обратите внимание: декартовы координаты положения относительно центра эллипса ( a cos E , b sin E )
Применительно к Солнцу (с координатами ( c , 0) = ( ae , 0)) r = ( a cos E - ae , b sin E )
Истинной аномалией будет arctan ( r y / r x ), величина r будет √ r · r .
Истинная аномалия, θ
Обратите внимание на рисунок, что
чтобы
Деление на и вставляя из первого закона Кеплера
получить
Результатом является полезная связь между эксцентрической аномалией E и истинной аномалией θ .
Вычислительно более удобная форма получается путем подстановки в тригонометрическое тождество :
Получать
Умножение на 1 + ε дает результат
Это третий шаг в связи между временем и положением на орбите.
Расстояние, r
Четвертый шаг - вычислить гелиоцентрическое расстояние r от истинной аномалии θ по первому закону Кеплера:
Используя указанное выше соотношение между θ и E, окончательное уравнение для расстояния r выглядит следующим образом:
Смотрите также
- Круговое движение
- Время свободного падения
- Сила тяжести
- Орбита Кеплера
- Проблема Кеплера
- Уравнение Кеплера
- Вектор Лапласа – Рунге – Ленца.
- Удельный относительный угловой момент , относительно простой вывод законов Кеплера, начиная с сохранения углового момента
Заметки
- ↑ В 1621 году Иоганн Кеплер отметил, что эти луны подчиняются (приблизительно) его третьему закону в его Epitome Astronomiae Copernicanae [Эпитоме коперниканской астрономии] (Линц ("Lentiis ad Danubium"), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 4 , часть 2, стр. 554 .
- ^ Годфруа Венделин написал письмо Риччоли об отношениях между расстояниями Юпитера лун от Юпитера и периодами их орбит, показываячто периоды и расстояния соответствовали третьему закону Кеплера. См .: Joanne Baptista Riccioli, Almagestum novum ... (Болонья (Бонония), (Италия): Victor Benati, 1651), том 1, стр. 492 Scholia III. На полях рядом с соответствующим абзацем напечатано: Vendelini ingeniosa speculatio circa motus & intervalla satellitum Jovis . (Умное предположение Венделина о движении и расстояниях до спутников Юпитера.)
Рекомендации
- ^ Вольтер,Элементы философии Ньютона [Элементы философии Ньютона] (Лондон, Англия: 1738). См. Например:
- С п. 162: "Par une des grandes loix de Kepler, toute Planete décrit des aires égales en temp égaux: par une autre loi non-moins sûre, chaque Planete fait sa révolution autour du Soleil en telle sort, que si, sa moyenne distance au Soleil est 10. prenez le cube de ce nombre, ce qui sera 1000., & le tems de la révolution de cette Planete autour du Soleil, пропорционален à la racine qurée de ce nombre 1000 ». (Согласно одному из великих законов Кеплера каждая планета описывает равные площади в равное время; согласно другому, не менее определенному закону, каждая планета совершает свой оборот вокруг Солнца таким образом, что если ее среднее расстояние от Солнца равно 10, то принять куб этого числа, которое будет равно 1000, и время обращения этой планеты вокруг Солнца будет пропорционально квадратному корню из этого числа 1000.)
- С п. 205: «Il est donc prouvé par la loi de Kepler & par celle de Neuton, que chaque Planete gravite vers le Soleil, ...» (Таким образом, закон Кеплера и закон Ньютона доказывают, что каждая планета вращается вокруг солнышко…)
- ^ a b Уилсон, Кертис (май 1994 г.). "Законы Кеплера, так называемые" (PDF) . HAD News (31): 1-2 . Проверено 27 декабря 2016 года .
- ↑ De la Lande, Astronomie , vol. 1 (Париж, Франция: Desaint & Saillant, 1764). См. Например:
- Со страницы 390: «… mais suivant la fameuse loi de Kepler, qui sera Expiquée dans le Livre suivant (892), le rapport des temps périodiques est toujours plus grand que celui des distance, une planete cinq fois plus éloignée du soleil, emploie à faire sa révolution douze fois plus de temps ou environmental;… » (… но согласно знаменитому закону Кеплера, который будет объяснен в следующей книге [т.е. главе] (параграф 892), соотношение периодов всегда больше чем расстояние [так, например] планете в пять раз дальше от Солнца, требуется примерно в двенадцать раз больше времени, чтобы совершить свой оборот [вокруг Солнца];…)
- Со страницы 429: "Les Quarrés des Temps périodiques sont Com les Cubes des Distances. 892. La plus fameuse loi du mouvement des plantes découverte par Kepler, est celle du repport qu'il ya entre les grandeurs de leurs orbites, & le temps qu 'elles emploient à les parcourir;… " (Квадраты периодов подобны кубам расстояний. 892. Самый известный закон движения планет, открытый Кеплером, - это закон отношения между размерами их орбит и время, которое требуется [планетам], чтобы пересечь их;…)
- Со страницы 430: «Les Aires sont correnelles au Temps. 895. Cette loi générale du mouvement des planetes devenue si importante dans l'Astronomie, sçavior, que les aires sont пропорционально в темпе, есть на бис де де couvertes de Kepler;…» ( Площадь пропорциональна времени. 895. Этот общий закон движения планет, [который] стал настолько важным в астрономии, а именно, что площади пропорциональны времени, является одним из открытий Кеплера; ...)
- Со страницы 435: «В апелле cette loi des aires пропорциональные aux temps, Loi de Kepler, aussi bien que celle de l'article 892, du nome de ce célebre Inventeur;…» (Один из них назвал этот закон площадей, пропорциональных временам ( закон Кеплера), а также закон параграфа 892, на имя этого знаменитого изобретателя;…)
- ^ Роберт Смолл, Отчет об астрономических открытиях Кеплера (Лондон, Англия: J Mawman, 1804), стр. 298–299.
- ^ Роберт Смолл, Отчет об астрономических открытиях Кеплера (Лондон, Англия: Дж. Моуман, 1804).
- ^ Брюс Стивенсон (1994). Физическая астрономия Кеплера . Издательство Принстонского университета. п. 170. ISBN 978-0-691-03652-6.
- ^ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex monitoringibus GV Tychnonis, Прага 1609; Англ. тр. WH Донахью, Кембридж, 1992.
- ^ В своей Astronomia nova Кеплер представил только доказательство того, что орбита Марса является эллиптической. Доказательства эллиптической формы орбит других известных планет были представлены только в 1621 году.
См .: Иоганн Кеплер, Astronomia nova … (1609), с. 285. Отказавшись от круговой и овальной орбит, Кеплер пришел к выводу, что орбита Марса должна быть эллиптической. Сверху страницы 285: «Ergo ellipsis est Planetæ iter;…» (Таким образом, эллипс - это путь планеты [т. Е. Марса];…) Далее на той же странице: «… ut sequenceti capite patescet: ubi simul etiam manifestrabitur, nullam Planetæ relinqui figuram Orbitæ, præterquam perfecte ellipticam; ... " (... как будет показано в следующей главе: где также будет доказано, что от любой фигуры на орбите планеты следует отказаться, за исключением идеального эллипса; ...) А затем: «Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis,…, fiat perfecta ellipsis:…» (Глава 59. Доказательство того, что орбита Марса,… является идеальным эллипсом:…). Геометрическое доказательство того, что орбита Марса является эллипсом. появляется как Protheorema XI на страницах 289–290.
Кеплер заявил, что каждая планета движется по эллиптическим орбитам, имея Солнце в одном фокусе в: Иоганн Кеплер, Epitome Astronomiae Copernicanae [Краткое изложение астрономии Коперника] (Линц ("Lentiis ad Danubium"), (Австрия): Иоганн Планк, 1622), книга 5, часть 1, III. De Figura Orbitæ (III. О фигуре [т.е. форме] орбит), страницы 658–665. С п. 658: «Ellipsin fieri orbitam planetæ…» (Из эллипса образована орбита планеты…). С п. 659: «… Sole (Foco altero huius ellipsis)…» (… Солнце (другой фокус этого эллипса)…). - ^ а б Холтон, Джеральд Джеймс; Кисть, Стивен Г. (2001). Физика, человеческое приключение: от Коперника до Эйнштейна и не только (3-е изд. В мягкой обложке). Пискатауэй, Нью-Джерси: Издательство Университета Рутгерса. С. 40–41. ISBN 978-0-8135-2908-0. Проверено 27 декабря 2009 года .
- ^ В своей Astronomia nova ... (1609) Кеплер не представил свой второй закон в его современной форме. Он сделал это только в своем « Эпитоме» 1621 года. Более того, в 1609 году он представил свой второй закон в двух различных формах, которые ученые называют «законом расстояния» и «законом площади».
- Его «закон расстояния» представлен в: «Caput XXXII. Virtutem quam Planetam movet in circum attuari cum discessu a fonte». (Глава 32. Сила, которая перемещает планету по кругу, ослабевает по мере удаления от источника.) См .: Иоганн Кеплер, Astronomia nova … (1609), стр. 165–167. На странице 167 Кеплер утверждает: «… quanto longior est αδ quam αε, tanto diutius moratur Planeta in certo aliquo arcui excentrici apud δ, quam in æquali arcu excentrici apud ε». (…, Поскольку αδ длиннее αε, планета будет оставаться на определенной дуге эксцентрика вблизи δ, чем на такой же дуге эксцентрика около ε.) То есть, чем дальше планета находится от Солнца ( в точке α), тем медленнее он движется по своей орбите, поэтому радиус от Солнца до планеты проходит через равные области за равное время. Однако, как представил Кеплер, его аргумент верен только для кругов, а не для эллипсов.
- Его «закон площади» представлен в: «Caput LIX. Demonstratio, quod orbita Martis,…, fiat perfecta ellipsis:…» (Глава 59. Доказательство того, что орбита Марса,… является идеальным эллипсом:…), Protheorema XIV и XV, стр. 291–295. На верхней стр. 294, он гласит: «Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN, debere terminari in LK, ut sit AM». (Дуга эллипса, продолжительность которой ограничена [т. Е. Измеряется] площадью AKM, должна оканчиваться в LK, чтобы она [т. Е. Дуга] была AM.) Другими словами, время, которое Марс требуется, чтобы двигаться по дуге AM его эллиптической орбиты, измеряется площадью сегмента AMN эллипса (где N - положение Солнца), которая, в свою очередь, пропорциональна сечению AKN круга, окружающего эллипс. и это касается его. Следовательно, область, которая сметается по радиусу от Солнца к Марсу, когда Марс движется по дуге своей эллиптической орбиты, пропорциональна времени, которое Марсу требуется для движения по этой дуге. Таким образом, радиус от Солнца до Марса выметает равные площади в равное время.
- ^ a b Иоганн Кеплер, Harmonices Mundi [Гармония мира] (Линц, (Австрия): Иоганн Планк, 1619), книга 5, глава 3, с. 189. Снизу п. 189: «Sed res est certissima precisionissimaque quod proportio qua est inter binorum quorumcunque Planetarum tempora periodica, sit præcise sesquialtera ratiois mediarum distantiarum,…» (Но совершенно очевидно и точно, что пропорция между периодическими временами любых двух планет точно равна полуторные пропорции [то есть отношение 3: 2] их средних расстояний… »)
. Английский перевод« Harmonices Mundi » Кеплера доступен как: Johannes Kepler with EJ Aiton, AM Duncan, and JV Field , trans., The Harmony of the World (Филадельфия, Пенсильвания: Американское философское общество, 1997); особенно см. стр. 411 . - ^ Национальная ассоциация учителей наук о Земле (9 октября 2008 г.). «Таблица данных для планет и карликовых планет» . Окна во Вселенную . Проверено 2 августа 2018 .
- ^ Уилбур Эпплбаум (2000). Энциклопедия научной революции: от Коперника до Ньютона . Рутледж. п. 603. Bibcode : 2000esrc.book ..... . ISBN 978-1-135-58255-5.
- ^ Рой Портер (1992). Научная революция в национальном контексте . Издательство Кембриджского университета. п. 102 . ISBN 978-0-521-39699-8.
- ^ Виктор Гийемен; Шломо Штернберг (2006). Вариации на тему Кеплера . American Mathematical Soc. п. 5. ISBN 978-0-8218-4184-6.
- ^ Брайант, Джефф; Павлик Александр. « Второй закон Кеплера », Демонстрационный проект Вольфрама . Проверено 27 декабря 2009 года.
- ^ Бертт, Эдвин . Метафизические основы современной физической науки . п. 52.
- ^ Джеральд Джеймс Холтон, Стивен Дж. Браш (2001). Физика, человеческое приключение . Издательство Университета Рутгерса. п. 45. ISBN 978-0-8135-2908-0.
- ^ Каспар, Макс (1993). Кеплер . Нью-Йорк: Дувр.
- ^ I. Ньютон, Начала , стр. 408 в переводе И.Б. Коэна и А. Уитмена
- ^ I. Ньютон, Начала , стр. 943 в переводе И. Б. Коэна и А. Уитмена
- ^ Шварц, Рене. «Меморандум № 1: элементы кеплеровской орбиты → декартовы векторы состояния» (PDF) . Дата обращения 4 мая 2018 .
- ^ Мюллер, М. (1995). «Уравнение времени - проблема астрономии» . Acta Physica Polonica . Проверено 23 февраля 2013 года .
Библиография
- Жизнь Кеплера обобщается на страницах 523-627 и Книга Пяти его опус , Harmonice Mundi ( гармонии мира ), перепечатана на страницах 635-732 из На плечах гигантов : Великие произведения физики и астрономии (работы Коперник, Кеплер , Галилей , Ньютон и Эйнштейн ). Стивен Хокинг , изд. 2002 г. ISBN 0-7624-1348-4
- Вывод третьего закона движения планет Кеплера - стандартная тема на уроках инженерной механики. См., Например, страницы 161–164 Meriam, JL (1971) [1966]. Динамика, 2-е изд . Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 978-0-471-59601-1..
- Мюррей и Дермотт, Динамика солнечной системы, издательство Кембриджского университета, 1999 г., ISBN 0-521-57597-4
- В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, Глава 2. Springer 1989, ISBN 0-387-96890-3
Внешние ссылки
- Б. Сурендранат Редди; анимация законов Кеплера: апплет
- « Вывод законов Кеплера » (из законов Ньютона) на Physics Stack Exchange .
- Кроуэлл, Бенджамин, Свет и Материя , онлайн-книга, которая дает доказательство первого закона без использования исчисления (см. Раздел 15.7)
- Дэвид Макнамара и Джанфранко Видали, Второй закон Кеплера - интерактивное руководство по Java , https://web.archive.org/web/20060910225253/http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html , интерактивный Java-апплет, который помогает понять Второй закон Кеплера.
- Аудио - Каин / Гей (2010) Астрономия в ролях Иоганна Кеплера и его законы движения планет
- Университет Теннесси, кафедра физики и астрономии: астрономия, 161 страница, посвященная Иоганну Кеплеру: законы движения планет [1]
- Equant по сравнению с Kepler: интерактивная модель [2]
- Третий закон Кеплера: интерактивная модель [3]
- Симулятор солнечной системы ( интерактивный апплет )
- Кеплер и его законы , образовательные веб-страницы Дэвида П. Стерна