Ареальная скорость

Поверхностная скорость - это площадь, уносимая в единицу времени частицей, движущейся по кривой da / dt = const (показана синим цветом).

В классической механике , площадная скорость (также называемая скоростью сектора или секторная скоростью ) является скоростью , при которой площадь замечутся частицами при ее движении вдоль кривой . На следующем рисунке предположим, что частица движется по синей кривой. В определенное время т , частица находится в точке B , и через некоторое время, в момент времени т + А т , частица переместилась в точку С . Область, выметаемая частицей, - это зеленая область на рисунке, ограниченная отрезками AB и AC.и кривая, по которой движется частица. Площадная скорость равна этой площади, деленной на интервал времени Δ t в пределе, когда Δ t становится исчезающе малым. Это пример псевдовектора (также называемого аксиальным вектором ), направленного перпендикулярно плоскости, содержащей векторы положения и скорости частицы.

Иллюстрация второго закона Кеплера. Планета движется быстрее около Солнца, поэтому за заданное время сметается та же область, что и на больших расстояниях, где планета движется медленнее.

Понятие площадной скорости исторически тесно связано с понятием углового момента . Второй закон Кеплера гласит, что пространственная скорость планеты с Солнцем, взятым за начало координат, постоянна. Исаак Ньютон был первым ученым, осознавшим динамическое значение второго закона Кеплера. С помощью своих законов движения он доказал в 1684 году, что любая планета, притягиваемая к фиксированному центру, сметает равные площади за равные промежутки времени. К середине 18 - го века, принцип углового момента был обнаружен постепенно Даниилом Бернулли и Леонарда Эйлера и Патрик д'Арси; Версия принципа д'Арси была сформулирована в терминах охваченной площади. По этой причине принцип углового момента часто упоминался в более ранней литературе по механике как «принцип равных площадей». Поскольку понятие углового момента включает больше, чем просто геометрию, обозначение «принцип равных площадей» было опущено в современных работах.

Связь с угловым моментом [ править ]

В ситуации на первом рисунке площадь, заметаемая частицей за период времени Δ t , примерно равна площади треугольника ABC . Когда Δt приближается к нулю, это почти равенство становится точным как предел .

Пусть точка D будет четвертым углом параллелограмма ABDC, показанного на рисунке, так что векторы AB и AC складываются по правилу параллелограмма в вектор AD . Тогда площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC , а площадь ABDC равна величине векторного произведения векторов AB и AC . Эту область также можно рассматривать как вектор с этой величиной, указывающий в направлении, перпендикулярном параллелограмму; этот вектор и есть кросс-произведение:

{\text{vector area of parallelogram }}ABCD={\vec {r}}(t)\times {\vec {r}}(t+\Delta t).

Следовательно

{\text{vector area of triangle }}ABC={\frac {{\vec {r}}(t)\times {\vec {r}}(t+\Delta t)}{2}}.

Площадная скорость - это эта векторная площадь, деленная на Δ t в пределе, когда Δ t становится исчезающе малым:

{\begin{aligned}{\text{areal velocity}}&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {{\vec {r}}(t)\times {\vec {r}}(t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {{\vec {r}}(t)\times {\bigl (}{\vec {r}}(t)+{\vec {r}}\,'(t)\Delta t{\bigr )}}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {{\vec {r}}(t)\times {\vec {r}}\,'(t)}{2}}\left({\Delta t \over \Delta t}\right)\\&={\frac {{\vec {r}}(t)\times {\vec {r}}\,'(t)}{2}}.\end{aligned}}

Но это вектор скорости движущейся частицы, так что ${\vec {r}}\,'(t)$ ${\vec {v}}(t)$

{\frac {d{\vec {A}}}{dt}}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{2}}.

С другой стороны, угловой момент частицы равен

{\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}},

и, следовательно, угловой момент равен 2 м, умноженной на площадную скорость.

Сохранение поверхностной скорости является общим свойством центральной силы движения , ^[1] , и, в контексте классической механики, эквивалентно сохранение углового момента.

Ссылки [ править ]

^ "Глава 6. Движение центральной силы" (PDF) .

Моултон, FR (1970) [1914]. Введение в небесную механику . Дувр. ISBN 978-0-486-64687-9.
Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-486-68063-7.
Кейси, Дж. (2007). «Площадная скорость и угловой момент для неплоских задач в механике элементарных частиц». Американский журнал физики . 75 (8): 677–685. Bibcode : 2007AmJPh..75..677C . DOI : 10.1119 / 1.2735630 .
Брэкенридж, Дж. Б. (1995). Ключ к динамике Ньютона: проблема Кеплера и принципы . Беркли: Калифорнийский университет Press. ISBN 978-0-520-20217-7. JSTOR 10.1525 / j.ctt1ppn2m .

См. Также [ править ]

[1] "Глава 6. Движение центральной силы" (PDF) .

[1]