Классическая проблема центральной силы

В классической механике проблема центральной силы состоит в том, чтобы определить движение частицы в едином центральном потенциальном поле . Центральная сила - это сила (возможно, отрицательная), которая направлена ​​от частицы прямо к фиксированной точке в пространстве, центру, и величина которой зависит только от расстояния объекта до центра. Во многих важных случаях проблема может быть решена аналитически, т. Е. В терминах хорошо изученных функций, таких как тригонометрические функции .

Решение этой проблемы важно для классической механики , поскольку многие естественные силы являются центральными. Примеры включают в себя гравитацию и электромагнетизм , как описано законом Ньютона всемирного тяготения и закон Кулона , соответственно. Проблема важна еще и потому, что некоторые более сложные задачи классической физики (например, задача двух тел с силами, проходящими вдоль линии, соединяющей два тела) могут быть сведены к проблеме центральной силы. Наконец, решение проблемы центральной силы часто дает хорошее начальное приближение к истинному движению, как при вычислении движения планет в Солнечной системе .

Суть проблемы центральной силы состоит в том, чтобы решить для положения r ^{[примечание 1]} частицы, движущейся под действием центральной силы F , либо как функцию времени t, либо как функцию угла φ относительно центр силы и произвольная ось.

Определение центральной силы

Центральная сила притяжения, действующая на тело в позиции P (показано красным). По определению, центральная сила должна указывать либо на фиксированную точку O (если она притягивает), либо от нее (если она отталкивающая).

Консервативная центральная сила F имеет два определяющих свойства. ^[1] Во- первых, он должен управлять частицы либо непосредственно , либо непосредственно в сторону от неподвижной точки в пространстве, центр силы, который часто называют O . Другими словами, центральная сила должна действовать вдоль линии, соединяющей точку O с текущим положением частицы. Во-вторых, консервативная центральная сила зависит только от расстояния r между O и движущейся частицей; он не зависит явно от времени или других дескрипторов положения.

Математически это двойное определение можно выразить следующим образом. Центр силы O может быть выбран в качестве начала системы координат. Вектор r, соединяющий O с текущим положением частицы, известен как вектор положения . Следовательно, центральная сила должна иметь математическую форму ^[2]

${\ Displaystyle \ mathbf {F} = F (г) {\ шляпа {\ mathbf {r}}}}$

где r - величина вектора | г | (расстояние до центра силы), а r̂ = r / r - соответствующий единичный вектор . Согласно второму закону движения Ньютона , центральная сила F вызывает параллельное ускорение a, масштабируемое массой m частицы ^{[примечание 2]}

${\ displaystyle \ mathbf {F} = F (r) {\ hat {\ mathbf {r}}} = m \ mathbf {a} = m {\ ddot {\ mathbf {r}}}}$

Для сил притяжения F (r) отрицательно, потому что оно сокращает расстояние r до центра. И наоборот, для сил отталкивания F (r) положительно.

Потенциальная энергия

Если центральная сила является консервативной силой , то величина F ( r ) центральной силы всегда может быть выражена как производная от не зависящей от времени функции потенциальной энергии U ( r ) ^[3]

${\ displaystyle F (r) = - {\ frac {dU} {dr}}}$

Таким образом, полная энергия частицы - сумма ее кинетической энергии и ее потенциальной энергии U - является постоянной величиной; говорят, что энергия сохраняется . Чтобы показать это, достаточно, что работа W, совершаемая силой, зависит только от начального и конечного положений, а не от пути, пройденного между ними.

${\ Displaystyle W = \ int _ {\ mathbf {r} _ {1}} ^ {\ mathbf {r} _ {2}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} = \ int _ {\ mathbf {r} _ {1}} ^ {\ mathbf {r} _ {2}} F (r) {\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot d \ mathbf {r} = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} Fdr = U (r_ {1}) - U (r_ {2})}$

Эквивалентно достаточно, чтобы ротор силового поля F был равен нулю; используя формулу ротора в сферических координатах ,

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial \ varphi}} \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} - {\ frac {1} {r}} \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial \ theta}} \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} = 0}$

потому что частные производные для центральной силы равны нулю; величина F не зависит от угловых сферических координат θ и φ.

Поскольку скалярный потенциал V ( r ) зависит только от расстояния r до начала координат, он обладает сферической симметрией . В этом отношении проблема центральной силы аналогична геодезическим Шварцшильда в общей теории относительности и квантово-механическим трактовкам частиц в потенциалах сферической симметрии .

Одномерная проблема

Если начальная скорость v частицы выровнена с вектором положения r , то движение навсегда останется на линии, определяемой r . Это следует потому, что сила - а по второму закону Ньютона также ускорение a - также совпадает с r . Чтобы определить это движение, достаточно решить уравнение

${\ Displaystyle м {\ ddot {r}} = F (r)}$

Один из методов решения - использовать сохранение полной энергии

${\ displaystyle | {\ dot {r}} | = {\ Big |} {\ frac {dr} {dt}} {\ Big |} = {\ sqrt {\ frac {2} {m}}} {\ sqrt {E _ {\ mathrm {tot}} -U (r)}}}$

Взяв взаимность и интегрируя, мы получим:

${\ displaystyle | t-t_ {0} | = {\ sqrt {\ frac {m} {2}}} \ int {\ frac {| dr |} {\ sqrt {E _ {\ mathrm {tot}} -U (р)}}}}$

В оставшейся части статьи предполагается, что начальная скорость v частицы не выровнена с вектором положения r , то есть что вектор углового момента L = r × m v не равен нулю.

Равномерное круговое движение

Каждая центральная сила может производить равномерное круговое движение при условии, что начальный радиус r и скорость v удовлетворяют уравнению для центростремительной силы

${\ displaystyle {\ frac {mv ^ {2}} {r}} = F (r)}$

Если это уравнение выполняется в начальные моменты, оно будет выполняться во все более поздние моменты; частица будет продолжать двигаться по кругу радиуса r со скоростью v бесконечно.

Связь с классической проблемой двух тел

Положения x ₁ и x ₂ двух тел можно выразить через их относительное расстояние r и положение их центра масс R _cm .

Проблема центральной силы касается идеальной ситуации («проблема одного тела»), в которой отдельная частица притягивается или отталкивается от неподвижной точки O , центра силы. ^[4] Однако физические силы обычно действуют между двумя телами; и по третьему закону Ньютона, если первое тело прикладывает силу ко второму, второе тело прикладывает равную и противоположную силу к первому. Следовательно, оба тела ускоряются, если между ними присутствует сила; нет совершенно неподвижного центра силы. Однако, если одно тело в подавляющем большинстве массивнее другого, его ускорением относительно другого можно пренебречь; центр более массивного тела можно рассматривать как приблизительно неподвижный. ^[5] Например, Солнце намного массивнее, чем планета Меркурий; следовательно, Солнце можно представить как неподвижный центр силы, сводя проблему к движению Меркурия в ответ на силу, приложенную Солнцем. В действительности, однако, Солнце также движется (хотя и незначительно) в ответ на силу, приложенную планетой Меркурий.

Любая классическая задача двух тел должна быть преобразована в эквивалентную задачу одного тела. Масса μ одного эквивалентного тела равна приведенной массе двух исходных тел, а его положение r равно разнице их положений.

Однако в таких приближениях нет необходимости. Законы движения Ньютона позволяют преобразовать любую классическую задачу двух тел в соответствующую точную задачу одного тела. ^[6] Чтобы продемонстрировать это, пусть x ₁ и x ₂ будут положениями двух частиц, и пусть r = x ₁ - x ₂ будет их относительным положением. Тогда по второму закону Ньютона

${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {r}}} = {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {1} - {\ ddot {\ mathbf {x}}} _ {2} = \ left ( {\ frac {\ mathbf {F} _ {21}} {m_ {1}}} - {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {m_ {2}}} \ right) = \ left ( {\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {F} _ {21}}$

Окончательное уравнение выводится из третьего закона Ньютона ; сила второго тела на первое тело ( F ₂₁ ) равна силе первого тела на второе ( F ₁₂ ) и противоположна ей . Таким образом, уравнение движения для r можно записать в виде

${\ displaystyle \ mu {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ mathbf {F}}$

где ${\ displaystyle \ mu}$это приведенная масса

${\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {{\ frac {1} {m_ {1}}} + {\ frac {1} {m_ {2}}}}} = {\ frac {m_ {1) } м_ {2}} {м_ {1} + м_ {2}}}}$

Как частный случай, проблема двух тел, взаимодействующих посредством центральной силы, может быть сведена к проблеме центральной силы одного тела.

Плоское движение

Иллюстрация плоского движения. Вектор углового момента L постоянен; Таким образом, радиус - вектор г и вектор скорости v должен лежать в желтой плоскости , перпендикулярной к L .

Движение частицы под действием центральной силы F всегда остается в плоскости, определяемой ее начальным положением и скоростью. ^[7] Это можно увидеть по симметрии. Поскольку положение r , скорость v и сила F лежат в одной плоскости, никогда не бывает ускорения, перпендикулярного этой плоскости, потому что это нарушило бы симметрию между плоскостью «выше» и «ниже» плоскости.

Чтобы продемонстрировать это математически, достаточно показать, что угловой момент частицы постоянен. Этот угловой момент L определяется уравнением

${\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v}}$

где m - масса частицы, а p - ее импульс . ^{[примечание 3]} Следовательно, вектор углового момента L всегда перпендикулярен плоскости, определяемой вектором положения частицы r и вектором скорости v . ^{[примечание 4]}

В общем, скорость изменения углового момента L равна чистому крутящему моменту r × F ^[8]

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = {\ dot {\ mathbf {r}}} \ times m \ mathbf {v} + \ mathbf {r} \ times m {\ dot {\ mathbf {v}}} = \ mathbf {v} \ times m \ mathbf {v} + \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} \, }$

Первый член m v × v всегда равен нулю, потому что векторное векторное произведение всегда равно нулю для любых двух векторов, указывающих в одном или противоположных направлениях. Однако, когда F является центральной силой, оставшийся член r × F также равен нулю, потому что векторы r и F указывают в одном или противоположных направлениях. Следовательно, вектор углового момента L постоянен. потом

${\ Displaystyle \ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ cdot (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}) = \ mathbf {p} \ cdot (\ mathbf {r } \ times \ mathbf {r}) = 0}$

Следовательно, положение частицы г (и , следовательно , скорость v ) всегда лежит в плоскости , перпендикулярной к L . ^[9]

Полярные координаты

- Вектор г из точки Р в плоскости может быть задана его расстояние г от центра (происхождение O ) и его азимутального угла ф. В х и у декартовы компоненты вектора г  соз ф и г  зт ф, соответственно.

Поскольку движение плоское, а сила радиальная, принято переключаться на полярные координаты . ^[9] В этих координатах вектор положения r представлен в виде радиального расстояния r и азимутального угла φ.

${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (х, \ y) = г (\ соз \ varphi, \ \ sin \ varphi)}$

Взяв первую производную по времени, получаем вектор скорости частицы v

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = {\ dot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) + r {\ dot { \ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ cos \ varphi)}$

Точно так же вторая производная от положения частицы r равна ее ускорению a

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ ddot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) + r {\ ddot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ cos \ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} (\ cos \ varphi, \ sin \ varphi)}$

Скорость v и ускорение a могут быть выражены через единичные радиальные и азимутальные векторы. Радиальный единичный вектор получается делением вектора положения r на его величину r , как описано выше.

${\ Displaystyle \ mathbf {\ шляпа {г}} = (\ соз \ varphi, \ \ sin \ varphi)}$

Азимутальный единичный вектор задается ^{[примечание 5]}

${\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} = (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi)}$

Таким образом, скорость можно записать как

${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {r} \ mathbf {\ hat {r}} + v _ {\ varphi} {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} = {\ dot {r}} \ mathbf {\ hat {r}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}}$

тогда как ускорение равно

${\ displaystyle \ mathbf {a} = a_ {r} \ mathbf {\ hat {r}} + a _ {\ varphi} {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} = ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2}) \ mathbf {\ hat {r}} + (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} + r {\ ddot {\ varphi} }) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}}$

Удельный угловой момент

Удельный момент количества движения h равен скорости v, умноженной на r _⊥ , составляющей вектора положения r, перпендикулярной вектору скорости v . h также равно радиальному расстоянию r, умноженному на азимутальную составляющую v _φ скорости. Обе эти формулы равны rv cos β.

Поскольку F = m a по второму закону движения Ньютона и поскольку F является центральной силой, то только радиальная составляющая ускорения a может быть ненулевой; угловая составляющая a _φ должна быть равна нулю

${\ displaystyle a _ {\ varphi} = 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} + r {\ ddot {\ varphi}} = 0}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left (r ^ {2} {\ dot {\ varphi}} \ right) = r (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}) } + r {\ ddot {\ varphi}}) = ra _ {\ varphi} = 0}$

Это выражение в скобках обычно обозначают h

${\ displaystyle h = r ^ {2} {\ dot {\ varphi}} = rv _ {\ varphi} = \ left | \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v} \ right | = vr _ {\ perp} = {\ frac {L} {m}}}$

который равен скорости v, умноженной на r _⊥ , компонент радиус-вектора, перпендикулярный скорости. h - величина удельного углового момента, потому что она равна величине L углового момента, деленной на массу m частицы.

Для краткости угловую скорость иногда записывают ω

${\ displaystyle \ omega = {\ dot {\ varphi}} = {\ frac {d \ varphi} {dt}}}$

Однако не следует предполагать, что ω постоянна. Поскольку h постоянна, ω изменяется с радиусом r по формуле ^[10]

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {h} {r ^ {2}}}}$

Поскольку h постоянно, а r ² положительно, угол φ изменяется монотонно в любой задаче с центральной силой, либо непрерывно увеличиваясь ( h положительный), либо непрерывно уменьшаясь ( h отрицательный). ^[11]

Постоянная площадная скорость

Поскольку площадь A равна 1 ⁄ 2  r _⊥ vt , поверхностная скорость dA / dt (скорость, с которой A уносится частицей) равна 1 ⁄ 2  r _⊥ v  =  1 ⁄ 2 ч .

Величина h также равна удвоенной поверхностной скорости , то есть скорости, с которой область выметается частицей относительно центра. ^[12] Таким образом, поверхностная скорость постоянна для частицы, на которую действует центральная сила любого типа; это второй закон Кеплера . ^[13] И наоборот, если движение под действием консервативной силы F является плоским и имеет постоянную площадную скорость для всех начальных условий радиуса r и скорости v , то азимутальное ускорение a _φ всегда равно нулю. Следовательно, согласно второму закону Ньютона, F = m a , сила является центральной силой.

Постоянство площадной скорости можно проиллюстрировать равномерным круговым и линейным движением. При равномерном круговом движении частица движется с постоянной скоростью v по окружности радиуса r . Поскольку угловая скорость ω = v / r постоянна, площадь заметания за время Δ t равна ω r ² Δ t ; следовательно, равные площади выметаются за равное время Δ t . При равномерном линейном движении (т. Е. Движении в отсутствие силы согласно первому закону движения Ньютона) частица движется с постоянной скоростью, то есть с постоянной скоростью v вдоль линии. За время Δ t частица заметает область 1 ⁄ 2 v Δ tr _⊥ ( прицельный параметр ). ^{[примечание 6]} Расстояние r _⊥ не меняется при движении частицы вдоль линии; он представляет собой расстояние наибольшего приближения линии к центру O ( прицельный параметр ). Так как скорость v также не меняется, то площадная скорость 1 ⁄ 2 vr _⊥ - постоянная движения; частица сметает равные площади за равное время.

Площадь A кругового сектора равна 1 ⁄ 2  r ² φ =  1 ⁄ 2  r ² ω t  =  1 ⁄ 2  r   v _φ t . Следовательно, площадная скорость dA / dt равна 1 ⁄ 2  r   v _φ  =  1 ⁄ 2  ч . Для равномерного кругового движения r и v _φ постоянны; таким образом, dA / dt также является постоянным.

Эквивалентное параллельное силовое поле

Путем преобразования переменных ^[14] любая проблема центральной силы может быть преобразована в эквивалентную задачу параллельной силы. ^{[примечание 7]} Вместо обычных декартовых координат x и y определены две новые переменные положения ξ = x / y и η = 1 / y , а также новая временная координата τ

${\ displaystyle \ tau = \ int {\ frac {dt} {y ^ {2}}}}$

Соответствующие уравнения движения для ξ и η имеют вид

${\ displaystyle {\ frac {d \ xi} {d \ tau}} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {x} {y}} \ right) {\ frac {dt} {d \ tau}} = \ left ({\ frac {{\ dot {x}} y - {\ dot {y}} x} {y ^ {2}}} \ right) y ^ {2} = - час}$

${\ displaystyle {\ frac {d \ eta} {d \ tau}} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {1} {y}} \ right) {\ frac {dt} {d \ tau}} = - {\ frac {\ dot {y}} {y ^ {2}}} y ^ {2} = - {\ dot {y}}}$

Поскольку скорость изменения ξ постоянна, его вторая производная равна нулю.

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ xi} {d \ tau ^ {2}}} = 0}$

Поскольку это ускорение в направлении ξ и поскольку F = ma по второму закону Ньютона, отсюда следует, что сила в направлении ξ равна нулю. Следовательно, сила действует только в направлении η, что является критерием для задачи параллельных сил. Явно ускорение в направлении η равно

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ eta} {d \ tau ^ {2}}} = {\ frac {dt} {d \ tau}} {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {d \ eta} {d \ tau}} \ right) = - y ^ {2} {\ ddot {y}} = - {\ frac {y ^ {3}} {mr}} F ( р)}$

потому что ускорение в направлении y равно

${\ displaystyle {\ ddot {y}} = {\ frac {1} {m}} F_ {y} = {\ frac {1} {m}} F (r) \, {\ frac {y} {r }}}$

Здесь F _y обозначает y- компонент центральной силы, а y / r равно косинусу угла между осью y и радиальным вектором r .

Уравнение Бине

Поскольку центральная сила F действует только по радиусу, отлична от нуля только радиальная составляющая ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, величина F равна массе частицы m, умноженной на величину ее радиального ускорения ^[15]

${\ displaystyle F (r) = m {\ ddot {r}} - mr \ omega ^ {2} = m {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - {\ frac { мч ^ {2}} {г ^ {3}}}}$

Это уравнение имеет коэффициент интегрирования ${\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} F (r) \, dr & = F (r) {\ frac {dr} {dt}} \, dt \\ & = m \ left ({\ frac {dr} {dt }} {\ frac {d ^ {2} r} {dt ^ {2}}} - {\ frac {h ^ {2}} {r ^ {3}}} {\ frac {dr} {dt}} \ right) \, dt \\ & = {\ frac {m} {2}} \, d \ left [\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ( {\ frac {h} {r}} \ right) ^ {2} \ right] \ end {align}}}$

Интегрирование урожайности

${\ displaystyle \ int ^ {r} F (r) \, dr = {\ frac {m} {2}} \ left [\ left ({\ frac {dr} {dt}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {h} {r}} \ right) ^ {2} \ right]}$

Если h не равно нулю, независимую переменную можно изменить с t на ϕ ^[16]

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} = \ omega {\ frac {d} {d \ varphi}} = {\ frac {h} {r ^ {2}}} {\ frac {d} { d \ varphi}}}$

давая новое уравнение движения ^[17]

${\ displaystyle \ int ^ {r} F (r) \, dr = {\ frac {mh ^ {2}} {2}} \ left [\ left (- {\ frac {1} {r ^ {2}) }} {\ frac {dr} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) ^ {2} \ right]}$

Делая замену переменных на обратный радиус u = 1 / r ^[17], получаем

${\ displaystyle \ left ({\ frac {du} {d \ varphi}} \ right) ^ {2} = Cu ^ {2} -G \ left (u \ right)}$

( 1 )

где C - постоянная интегрирования, а функция G ( u ) определяется формулой

${\ displaystyle G (u) = - {\ frac {2} {mh ^ {2}}} \ int ^ {\ frac {1} {u}} F (r) \, dr}$

Это уравнение становится квазилинейным при дифференцировании по ϕ

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ varphi ^ {2}}} + u = - {\ frac {1} {mh ^ {2} u ^ {2}}} F (1 / u)}$

Это известно как уравнение Бине . Интегрирование ( 1 ) дает решение для ϕ ^[18]

${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {0} + \ int ^ {\ frac {1} {r}} {\ frac {du} {\ sqrt {Cu ^ {2} -G (u)}}}}$

где ϕ ₀ - другая постоянная интегрирования. Проблема центральной силы называется «интегрируемой», если это окончательное интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Орбита частицы

Полная энергия системы E _tot равна сумме потенциальной энергии и кинетической энергии ^[19]

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {tot}} = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} мистер ^ {2} {\ dot {\ varphi}} ^ {2} + U (r) = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} + {\ frac {mh ^ {2} } {2r ^ {2}}} + U (r)}$

Поскольку полная энергия постоянна, скорость изменения r может быть вычислена ^[20]

${\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {dr} {dt}} = {\ sqrt {\ frac {2} {m}}} {\ sqrt {E _ {\ mathrm {tot}} -U (г) - {\ frac {mh ^ {2}} {2r ^ {2}}}}}}$

который может быть преобразован (как и раньше) в производную r по азимутальному углу φ ^[17]

${\ displaystyle {\ frac {dr} {d \ varphi}} = {\ frac {r ^ {2}} {h}} {\ frac {dr} {dt}}}$

Интегрирование и использование формулы углового момента L = mh дает формулу ^[21]

${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {0} + {\ frac {L} {\ sqrt {2m}}} \ int ^ {r} {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {E_ {\ mathrm {tot}} -U (r) - {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}}}}}$

что указывает на то, что угловой момент вносит вклад в эффективную потенциальную энергию ^[22]

${\ Displaystyle U _ {\ mathrm {eff}} = U (r) + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}$

Замена переменной интегрирования на обратный радиус дает интеграл ^[23]

${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {0} + \ int ^ {u} {\ frac {du} {\ sqrt {{\ frac {2m} {L ^ {2}}} E _ {\ mathrm {tot} } - {\ frac {2m} {L ^ {2}}} U (1 / u) -u ^ {2}}}}}$

который выражает указанные выше константы C = 2 mE _tot / L ² и G ( u ) = 2 mU (1 / u ) / L ² в терминах полной энергии E _tot и потенциальной энергии U ( r ).

Поворотные точки и замкнутые орбиты

Скорость изменения r равна нулю, если эффективная потенциальная энергия равна полной энергии ^[24]

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {tot}} = U (r) + {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}$

Точки, в которых выполняется это уравнение, называются точками поворота . ^[24] Орбита по обе стороны от точки поворота симметрична; другими словами, если азимутальный угол определен таким образом, что φ = 0 в точке поворота, то орбита будет такой же в противоположных направлениях, r (φ) = r (−φ). ^[25]

Если есть две точки поворота, так что радиус r ограничен между r _min и r _max , то движение содержится в кольцевом пространстве с этими радиусами. ^[24] Поскольку радиус изменяется от одной точки поворота к другой, изменение азимутального угла φ равно ^[24]

${\ displaystyle \ Delta \ varphi = {\ frac {L} {\ sqrt {2m}}} \ int _ {r _ {\ mathrm {min}}} ^ {r _ {\ mathrm {max}}} {\ frac { dr} {r ^ {2} {\ sqrt {EU (r) - {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}}}}}}}}$

Орбита замыкается сама на себя ^{[примечание 8]} при условии, что Δφ равно рациональной дроби 2π, т. Е. ^[24]

${\ displaystyle \ Delta \ varphi = 2 \ pi {\ frac {m} {n}}}$

где m и n - целые числа. В этом случае радиус колеблется ровно m раз, а азимутальный угол φ совершает ровно n оборотов. В общем, однако, Δφ / 2π не будет таким рациональным числом , и, следовательно, орбита не будет замкнутой. В этом случае частица в конечном итоге пройдет сколь угодно близко к каждой точке в кольцевом пространстве. Два типа центральной силы всегда создают замкнутые орбиты: F ( r ) = α r (линейная сила) и F ( r ) = α / r ² ( закон обратных квадратов ). Как показал Бертран, эти две центральные силы - единственные, которые гарантируют замкнутые орбиты. ^[26]

В общем, если угловой момент L отличен от нуля, член L ² / 2mr ² предотвращает падение частицы в начало координат, если только эффективная потенциальная энергия не переходит в отрицательную бесконечность в пределе r, стремящегося к нулю. ^[27] Следовательно, если есть одна точка поворота, орбита обычно уходит в бесконечность; точка поворота соответствует точке минимального радиуса.

Проблема Кеплера

Классическая гравитация - центральная сила. Решение этой проблемы центральной силы показывает, что связанная частица движется по эллиптической орбите, на которой равные площади сметаются за равные промежутки времени, как описано вторым законом Кеплера .

В классической физике многие важные силы подчиняются закону обратных квадратов, например, гравитация или электростатика . Общая математическая форма таких обратных квадратов центральных сил такова:

${\ displaystyle F = {\ frac {\ alpha} {r ^ {2}}} = \ alpha u ^ {2}}$

для постоянного ${\ displaystyle \ alpha}$, что отрицательно для силы притяжения и положительно для силы отталкивания.

Этот частный случай классической проблемы центральной силы называется проблемой Кеплера . Для силы, обратно пропорциональной квадрату, полученное выше уравнение Бине является линейным.

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {d \ varphi ^ {2}}} + u = - {\ frac {\ alpha} {mh ^ {2}}}.}$

Решение этого уравнения есть

${\ Displaystyle и (\ varphi) = - {\ гидроразрыва {\ альфа} {mh ^ {2}}} \ left [1 + e \ cos \ left (\ varphi - \ varphi _ {0} \ right) \ right ]}$

что показывает, что орбита представляет собой конический участок с эксцентриситетом e ; здесь φ ₀ - начальный угол, а центр силы находится в фокусе конического сечения. Используя формулу половинного угла для синуса , это решение также можно записать как

${\ displaystyle u (\ varphi) = u_ {1} + (u_ {2} -u_ {1}) \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ varphi - \ varphi _ {0}} {2 }}\верно)}$

Что касается всех центральных сил, частица в задаче Кеплера сметает равные области за равное время, как показано двумя синими эллиптическими секторами. Центр силы находится в одном из фокусов эллиптической орбиты.

где u ₁ и u ₂ - константы, причем u ₂ больше u ₁ . Два варианта решения связаны уравнениями

${\ displaystyle u_ {1} + u_ {2} = {\ frac {-2 \ alpha} {mh ^ {2}}}}$

а также

${\ displaystyle e = {\ frac {u_ {2} -u_ {1}} {u_ {2} + u_ {1}}}}$

Поскольку функция sin ² всегда больше нуля, u ₂ - это наибольшее возможное значение u и обратное наименьшее возможное значение r , то есть расстояние наибольшего сближения ( перицентр ). Поскольку радиальное расстояние r не может быть отрицательным числом, равно как и обратное ему u ; следовательно, u ₂ должно быть положительным числом. Если u ₁ также положительно, это наименьшее возможное значение u , которое соответствует наибольшему возможному значению r , расстоянию наибольшего сближения ( апоапсис ). Если u ₁ равно нулю или отрицательно, то наименьшее возможное значение u равно нулю (орбита уходит в бесконечность); в этом случае единственными значимыми значениями φ являются те, которые делают u положительным.

Для силы притяжения (α <0) орбита представляет собой эллипс , гиперболу или параболу , в зависимости от того, является ли u ₁ положительным, отрицательным или нулевым соответственно; это соответствует эксцентриситету е меньше единицы, больше единицы или равному единице. Для силы отталкивания (α> 0) u ₁ должно быть отрицательным, поскольку u ₂ положительно по определению, а их сумма отрицательна; следовательно, орбита является гиперболой. Естественно, что при отсутствии силы (α = 0) орбита является прямой линией.

Центральные силы с точными решениями

Уравнение Бине для u (φ) может быть решено численно почти для любой центральной силы F (1 / u ). Однако лишь несколько сил приводят к формулам для u в терминах известных функций. Как было установлено выше, решение для φ может быть выражено в виде интеграла по u

${\ displaystyle \ varphi = \ varphi _ {0} + {\ frac {L} {\ sqrt {2m}}} \ int ^ {u} {\ frac {du} {\ sqrt {E _ {\ mathrm {tot} } -U (1 / u) - {\ frac {L ^ {2} u ^ {2}} {2m}}}}}}$

Проблема центральной силы называется «интегрируемой», если это интегрирование может быть решено в терминах известных функций.

Если сила является степенной, т. Е. Если F ( r ) = α r ⁿ , то u может быть выражено через круговые функции и / или эллиптические функции, если n равно 1, -2, -3 (круговые функции) и -7, -5, -4, 0, 3, 5, -3/2, -5/2, -1/3, -5/3 и -7/3 (эллиптические функции). ^[28] Точно так же только шесть возможных линейных комбинаций степенных законов дают решения в терминах круговых и эллиптических функций ^{[29] [30]}

${\ displaystyle F (r) = Ar ^ {- 3} + Br + Cr ^ {3} + Dr ^ {5}}$

${\ displaystyle F (r) = Ar ^ {- 3} + Br + Cr ^ {- 5} + Dr ^ {- 7}}$

${\ Displaystyle F (г) = Ar ^ {- 3} + Br ^ {- 2} + Cr + D}$

${\ displaystyle F (r) = Ar ^ {- 3} + Br ^ {- 2} + Cr ^ {- 4} + Dr ^ {- 5}}$

${\ Displaystyle F (r) = Ar ^ {- 3} + Br ^ {- 2} + Cr ^ {- 3/2} + Dr ^ {- 5/2}}$

${\ Displaystyle F (r) = Ar ^ {- 3} + Br ^ {- 1/3} + Cr ^ {- 5/3} + Dr ^ {- 7/3}}$

Следующие особые случаи первых двух типов силы всегда приводят к круговым функциям.

${\ Displaystyle F (г) = Ar ^ {- 3} + Br}$

${\ Displaystyle F (г) = Ar ^ {- 3} + Br ^ {- 2}}$

Особый случай

${\ Displaystyle F (г) = Ar ^ {- 5}}$

была упомянута Ньютоном в следствии 1 предложения VII принципов как сила, возникающая при круговых орбитах, проходящих через точку притяжения.

Вращающиеся орбиты