Центростремительная сила

Эта статья содержит множество разделов без ссылок и требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Центростремительная сила»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть серии по
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Центростремительная сила (от латинского Центрума , «центра» и petere , «искать» ^[1] ) является силой , которая делает тело следовать изогнутому пути . Его направление всегда ортогонально движению тела и к фиксированной точке мгновенного центра кривизны траектории. Исаак Ньютон описал это как «силу, под действием которой тела притягиваются или толкаются, или каким-либо образом стремятся к точке как к центру». ^[2] В механике Ньютона гравитация обеспечивает центростремительную силу, вызывающую астрономические орбиты .

Одним из распространенных примеров центростремительной силы является случай, когда тело движется с постоянной скоростью по круговой траектории. Центростремительная сила направлена ​​под прямым углом к ​​движению, а также по радиусу к центру круговой траектории. ^{[3] [4]} Математическое описание было получено в 1659 году голландским физиком Христианом Гюйгенсом . ^[5]

Формулы [ править ]

Величина центростремительной силы на объект массы m, движущийся с тангенциальной скоростью v по траектории с радиусом кривизны r, составляет: ^[6]

F c = m a c = m v 2 r {\displaystyle F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}

a c = lim Δ t → 0 | Δ v | Δ t {\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta {t}\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta {t}}}}

где это центростремительное ускорение и есть разница между векторами скоростей. Так как векторы скорости в приведенном выше диаграмме имеют постоянную величину , и поскольку каждый из них перпендикулярен к соответствующему вектору положения, простой вектор вычитание предполагает два одинаковых равнобедренные треугольников с конгруэнтными углами - один , содержащее основание из и ног длину , а другие основание из (положение вектора разности ) и ноги длины : ^[7]${\displaystyle a_{c}}$${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta {\textbf {r}}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}}$

${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$

Следовательно, можно заменить на : ^[7]${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|}$${\displaystyle {\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$

${\displaystyle a_{c}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta {t}}}={\frac {v}{r}}\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta {t}}}=\omega \lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta {t}}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$

Направление силы - к центру круга, по которому движется объект, или к соприкасающемуся кругу (круг, который лучше всего соответствует локальному пути объекта, если путь не круговой). ^[8] Скорость в формуле возведена в квадрат, так что удвоение скорости требует четырехкратного увеличения силы. Обратная связь с радиусом кривизны показывает, что половина радиального расстояния требует вдвое большей силы. Эту силу также иногда записывают через угловую скорость ω объекта относительно центра окружности, связанную с тангенциальной скоростью по формуле

${\displaystyle v=\omega r}$

так что

${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$

Выражается с использованием периода обращения T за один оборот окружности,

ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\,}

уравнение становится

${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$^[9]

В ускорителях частиц скорость может быть очень высокой (близкой к скорости света в вакууме), поэтому та же масса покоя теперь проявляет большую инерцию (релятивистская масса), что требует большей силы для того же центростремительного ускорения, поэтому уравнение выглядит следующим образом: ^[10]

${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}}$

куда

γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

- фактор Лоренца .

Таким образом, центростремительная сила определяется выражением:

${\displaystyle F_{c}=\gamma mv\omega }$

которая представляет собой скорость изменения релятивистского импульса .${\displaystyle \gamma mv}$

Источники [ править ]

В случае объекта, который раскачивается на конце веревки в горизонтальной плоскости, центростремительная сила, действующая на объект, создается за счет натяжения веревки. Пример веревки - это пример «тянущей» силы. Центростремительная сила также может подаваться как сила «толчка», например, в случае, когда нормальная реакция стены обеспечивает центростремительную силу для стены всадника смерти .

Идея Ньютона о центростремительной силе соответствует тому, что сегодня называют центральной силой . Когда спутник находится на орбите вокруг планеты , гравитация считается центростремительной силой, даже если в случае эксцентрических орбит гравитационная сила направлена ​​к фокусу, а не к мгновенному центру кривизны. ^[11]

Другой пример центростремительной силы возникает в спирали, которая прослеживается, когда заряженная частица движется в однородном магнитном поле в отсутствие других внешних сил. В этом случае магнитная сила - это центростремительная сила, действующая по направлению к оси спирали.

Разбор нескольких случаев [ править ]

Ниже приведены три примера возрастающей сложности с выводом формул, определяющих скорость и ускорение.

Равномерное круговое движение [ править ]

Равномерное круговое движение относится к случаю постоянной скорости вращения. Вот два подхода к описанию этого случая.

Вывод исчисления [ править ]

В двух измерениях вектор положения , имеющий величину (длину) и направленный под углом над осью x, может быть выражен в декартовых координатах с использованием единичных векторов и : ^[12]${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {y}}}$

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {x}}+r\sin(\theta ){\hat {y}}.}$

Предположим, что равномерное круговое движение требует трех вещей.

1. Объект движется только по кругу.
2. Радиус круга не меняется со временем.${\displaystyle r}$
3. Объект движется с постоянной угловой скоростью по окружности. Следовательно, где время.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta =\omega t}$${\displaystyle t}$

Теперь найдите скорость и ускорение движения, взяв производные положения по времени.${\displaystyle {\textbf {v}}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$

${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}}}$

r ˙ = v = − r ω sin ⁡ ( ω t ) x ^ + r ω cos ⁡ ( ω t ) y ^ {\displaystyle {\dot {\textbf {r}}}={\textbf {v}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {x}}+r\omega \cos(\omega t){\hat {y}}}

r ¨ = a = − r ω 2 cos ⁡ ( ω t ) x ^ − r ω 2 sin ⁡ ( ω t ) y ^ {\displaystyle {\ddot {\textbf {r}}}={\textbf {a}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t){\hat {x}}-r\omega ^{2}\sin(\omega t){\hat {y}}}

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {x}}+r\sin(\omega t){\hat {y}})}$

Обратите внимание, что термин в скобках является исходным выражением в декартовых координатах . Как следствие,${\displaystyle {\textbf {r}}}$

${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$

отрицательный показывает, что ускорение направлено к центру круга (противоположно радиусу), поэтому оно называется «центростремительным» (то есть «центростремительным»). В то время как объекты естественно следуют по прямому пути (из-за инерции ), это центростремительное ускорение описывает круговой путь движения, вызванный центростремительной силой.

Вывод с использованием векторов [ править ]

На изображении справа показаны векторные отношения для равномерного кругового движения. Само вращение представлено вектором угловой скорости Ω , который перпендикулярен плоскости орбиты (с использованием правила правой руки ) и имеет величину, определяемую следующим образом:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

с θ угловым положением в момент времени t . В этом подразделе d θ / d t предполагается постоянным, не зависящим от времени. Расстояние, пройденное dℓ частицы за время d t по круговой траектории, равно

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

который по свойствам векторного произведения имеет величину r d θ и находится в направлении, касательном к круговой траектории.

Как следствие,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Другими словами,

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Дифференцируя по времени,

${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$

Формула Лагранжа гласит:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$

Применяя формулу Лагранжа с наблюдением, что Ω • r ( t ) = 0 всегда,

${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$

Другими словами, ускорение всегда направлено прямо противоположно радиальному смещению r и имеет величину:

${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}\ }$

где вертикальные полосы | ... | обозначают модуль вектора, который в случае r ( t ) является просто радиусом r пути. Этот результат согласуется с предыдущим разделом, хотя обозначения немного другие.

Когда скорость вращения сделана постоянной при анализе неравномерного кругового движения , этот анализ согласуется с этим.

Достоинством векторного подхода является то, что он явно не зависит от какой-либо системы координат.

Пример: поворот с наклоном [ править ]

Верхняя панель на изображении справа показывает шар, совершающий круговое движение по кривой с наклоном. Поворот имеет крен под углом θ к горизонту, и поверхность дороги считается скользкой. Цель состоит в том, чтобы определить, под каким углом должен быть крен, чтобы мяч не соскользнул с дороги. ^[13] Интуиция подсказывает нам, что на ровной кривой без кренов мяч просто соскользнет с дороги; в то время как при очень крутом крене мяч будет скользить к центру, если он не будет быстро перемещаться по кривой.

Помимо любого ускорения, которое может возникнуть в направлении траектории, нижняя панель изображения выше указывает силы, действующие на мяч. Есть две силы; один - сила тяжести, направленная вертикально вниз через центр масс шара m g , где m - масса мяча, а g - ускорение свободного падения ; вторая - направленная вверх нормальная сила, действующая под прямым углом к ​​поверхности дороги m a _n . Центростремительная сила, требуемая криволинейным движением, также показана выше. Эта центростремительная сила не является третьей силой, приложенной к мячу, а скорее должна обеспечиваться чистой силой.на шаре в результате сложения векторов из нормальной силы и силы тяжести . Полученную или результирующая сила на шаре найдены сложения векторов из нормальной силы , действующей со стороны дороги и вертикальной силы , обусловленной действием силы тяжести должна быть равна центростремительной силы , диктуемой необходимостью путешествовать по круговой траектории. Криволинейное движение сохраняется до тех пор, пока эта результирующая сила обеспечивает центростремительную силу, необходимую для движения.

Горизонтальная чистая сила, действующая на мяч - это горизонтальная составляющая силы со стороны дороги, величина которой | F _h | = m | а _п | грех θ . Вертикальная составляющая силы от дороги должна противодействовать силе тяжести: | F _v | = m | a _n | cos θ = m | g |, что означает | а _п | = | г | / cos θ . Подставляя в приведенную выше формулу для | F _h | дает горизонтальную силу:

| F h | = m | g | s i n   θ c o s   θ = m | g | t a n   θ   . {\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\mathrm {sin} \ \theta }{\mathrm {cos} \ \theta }}=m|\mathbf {g} |\mathrm {tan} \ \theta \ .}

С другой стороны, на скорости | v | На круговой траектории радиуса r кинематика утверждает, что сила, необходимая для непрерывного поворота шара в поворот, представляет собой радиально направленную внутрь центростремительную силу F _c величины:

${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ .}$

Следовательно, мяч движется по устойчивой траектории, если угол наклона дороги соответствует условию:

${\displaystyle m|\mathbf {g} |\mathrm {tan} \ \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ ,}$

или же,

${\displaystyle \mathrm {tan} \ \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\ .}$

Когда угол крена θ приближается к 90 °, касательная функция приближается к бесконечности, что позволяет использовать большие значения для | v | ² / г . Другими словами, это уравнение гласит, что для больших скоростей (больше | v |) дорога должна быть более крутой (большее значение θ ), а для более крутых поворотов (меньшее r ) дорога также должна быть более крутой, что соответствует с интуицией. Когда угол θне удовлетворяет вышеуказанному условию, горизонтальная составляющая силы, действующая со стороны дороги, не обеспечивает правильную центростремительную силу, и требуется дополнительная сила трения, касательная к поверхности дороги, чтобы обеспечить разницу. Если трение не может этого сделать (то есть коэффициент трения превышен), мяч скользит по другому радиусу, где можно реализовать баланс. ^{[14] [15]}

Эти идеи применимы и к авиаперелетам. См. Руководство пилота FAA. ^[16]

Неравномерное круговое движение [ править ]

В качестве обобщения случая равномерного кругового движения предположим, что угловая скорость вращения не постоянна. Ускорение теперь имеет тангенциальную составляющую, как показано на изображении справа. Этот случай используется для демонстрации стратегии вывода, основанной на полярной системе координат .

Пусть r ( t ) - вектор, описывающий положение точечной массы как функцию времени. Поскольку мы предполагаем круговое движение , пусть r ( t ) = R · u _r , где R - константа (радиус круга), а u _r - единичный вектор, указывающий от начала координат к точечной массе. Направление u _r описывается θ , углом между осью x и единичным вектором, измеренным против часовой стрелки от оси x. Другой единичный вектор для полярных координат u _θперпендикулярна u _r и указывает в сторону увеличения θ . Эти полярные единичные векторы могут быть выражены через декартовы единичные векторы в направлениях x и y , обозначенные i и j соответственно: ^[17]

u _r = cos θ i + sin θ j

и

u _θ = -sin θ i + cos θ j .

Чтобы найти скорость, можно дифференцировать:

${\displaystyle \mathbf {v} =r{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\mathrm {r} }}{\mathrm {d} t}}=r{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathrm {cos} \ \theta \ \mathbf {i} +\mathrm {sin} \ \theta \ \mathbf {j} \right)}$

${\displaystyle =r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\mathrm {sin} \ \theta \ \mathbf {i} +\mathrm {cos} \ \theta \ \mathbf {j} \right)\,}$

${\displaystyle =r{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }\,}$

${\displaystyle =\omega r\mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }\,}$

где ω - угловая скорость d θ / d t .

Этот результат для скорости соответствует ожиданиям о том, что скорость должна быть направлена ​​по касательной к окружности, и что величина скорости должна быть rω . Снова дифференцируя и отмечая, что

${\displaystyle {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {r} }=-\omega \mathbf {u} _{\mathrm {r} }}\ ,}$

мы находим, что ускорение a равно:

${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{\mathrm {r} }\right)\ .}$

Таким образом, радиальная и тангенциальная составляющие ускорения:

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {r} }=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{\mathrm {r} }=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{\mathrm {r} }\ }$   и   ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{\mathrm {\theta } }=r\ {\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} t}}\ \mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }={\frac {\mathrm {d} |\mathbf {v} |}{\mathrm {d} t}}\ \mathbf {u} _{\mathrm {\theta } }\ ,}$

где | v | = r ω - величина скорости (скорость).

Эти уравнения математически выражают, что в случае объекта, который движется по круговой траектории с изменяющейся скоростью, ускорение тела может быть разложено на перпендикулярную составляющую, которая изменяет направление движения (центростремительное ускорение), и параллельное , или тангенциальный компонент , изменяющий скорость.

Общее плоское движение [ править ]

Полярные координаты [ править ]

Приведенные выше результаты могут быть получены, возможно, более просто в полярных координатах и в то же время распространены на общее движение внутри плоскости, как показано ниже. Полярные координаты на плоскости используют радиальный единичный вектор u _ρ и угловой единичный вектор u _θ , как показано выше. ^[18] Частица в позиции r описывается следующим образом:

${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$

где обозначение ρ используется для описания расстояния пути от начала координат вместо R, чтобы подчеркнуть, что это расстояние не является фиксированным, но изменяется со временем. Единичный вектор u _ρ движется вместе с частицей и всегда указывает в том же направлении, что и r ( t ). Единичный вектор u _θ также движется вместе с частицей и остается ортогональным к u _ρ . Таким образом, u _ρ и u _θ образуют локальную декартову систему координат, прикрепленную к частице и привязанную к пути, пройденному частицей. ^[19]Перемещая единичные векторы так, чтобы их хвосты совпадали, как видно в круге слева на изображении выше, видно, что u _ρ и u _θ образуют прямоугольную пару с кончиками на единичной окружности, которые следуют вперед и назад на периметр этой окружности имеет тот же угол θ ( t ), что и r ( t ).

Когда частица движется, ее скорость равна

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Чтобы оценить скорость, необходима производная единичного вектора u _ρ . Поскольку u _ρ является единичным вектором, его величина фиксирована и может изменяться только по направлению, то есть его изменение d u _ρ имеет компонент, только перпендикулярный u _ρ . Когда траектория r ( t ) поворачивается на величину d θ , u _ρ , которая указывает в том же направлении, что и r ( t ), также поворачивается на d θ . См. Изображение выше. Следовательно, изменение u _ρ равно

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \ ,}$

или же

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\ .}$

Аналогичным образом находится скорость изменения u _θ . Как и в случае с u _ρ , u _θ является единичным вектором и может вращаться только без изменения размера. Чтобы оставаться ортогональной к u _{ρ, в} то время как траектория r ( t ) вращается на величину d θ , u _θ , которая ортогональна r ( t ), также поворачивается на d θ . См. Изображение выше. Следовательно, изменение d u _θ ортогонально u _θ и пропорционально d θ (см. Изображение выше):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\ .}$

На изображении выше показан отрицательный знак: для сохранения ортогональности, если d u _ρ положительно с d θ , тогда d u _θ должно уменьшаться.

Подставляя производную от u _ρ в выражение для скорости:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\ .}$

Для получения ускорения проводится еще одно временное дифференцирование:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ .}$

Подставляя производные от u _ρ и u _θ , ускорение частицы равно: ^[20]

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle =\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ }$

${\displaystyle =\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\ .}$

В качестве частного примера, если частица движется по окружности постоянного радиуса R , то d ρ / d t = 0, v = v _θ , и:

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\ }$

${\displaystyle =\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$

куда ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

Эти результаты согласуются с приведенными выше для неоднородного кругового движения . См. Также статью о неравномерном круговом движении . Если это ускорение умножается на массу частицы, главный член - это центростремительная сила, а отрицательный второй член, связанный с угловым ускорением, иногда называется силой Эйлера . ^[21]

Для траекторий, отличных от кругового движения, например, более общей траектории, представленной на изображении выше, мгновенный центр вращения и радиус кривизны траектории только косвенно связаны с системой координат, определяемой u _ρ и u _θ, а также с длина | r ( t ) | = р . Следовательно, в общем случае непросто отделить центростремительные члены и члены Эйлера от приведенного выше общего уравнения ускорения. ^{[22] [23]} Для непосредственного решения этой проблемы предпочтительны локальные координаты, как обсуждается далее.

Местные координаты [ править ]

Локальные координаты означают набор координат, которые перемещаются вместе с частицей ^[24] и имеют ориентацию, определяемую путем движения частицы. ^[25] Единичные векторы формируются, как показано на рисунке справа, по касательной и перпендикулярно пути. Эту систему координат иногда называют внутренними или путевыми координатами ^{[26] [27]} или nt-координатами для нормальных-тангенциальных , относящихся к этим единичным векторам. Эти координаты являются очень частным примером более общего понятия локальных координат из теории дифференциальных форм. ^[28]

Расстояние по пути частицы - это длина дуги s , которая считается известной функцией времени.

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

Центр кривизны определяется в каждой позиции s, расположенной на расстоянии ρ ( радиус кривизны ) от кривой на линии, проходящей по нормали u _n ( s ). Требуемое расстояние ρ ( s ) на длине дуги s определяется в терминах скорости вращения касательной к кривой, которая, в свою очередь, определяется самой траекторией. Если ориентация касательной относительно некоторой начальной позиции равна θ ( s ), то ρ ( s ) определяется производной d θ / d s :

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

Радиус кривизны обычно принимается положительным (то есть как абсолютное значение), в то время как кривизна κ является величиной со знаком.

Геометрический подход к нахождению центра кривизны и радиуса кривизны использует процесс ограничения, приводящий к соприкасающейся окружности . ^{[29] [30]} См. Изображение выше.

Используя эти координаты, движение по траектории рассматривается как последовательность круговых траекторий с постоянно меняющимся центром, и в каждой позиции s составляет неравномерное круговое движение в этой позиции с радиусом ρ . Тогда местное значение угловой скорости вращения определяется как:

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

с местной скоростью v, определяемой:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Что касается других примеров выше, поскольку единичные векторы не могут изменять величину, их скорость изменения всегда перпендикулярна их направлению (см. Левую вставку на изображении выше): ^[31]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

Следовательно, скорость и ускорение равны: ^{[30] [32] [33]}

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;}$

и используя цепное правило дифференциации :

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$ с тангенциальным ускорением ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .}$

В этой локальной системе координат ускорение напоминает выражение для неравномерного кругового движения с локальным радиусом ρ ( s ), а центростремительное ускорение определяется как второй член. ^[34]

Распространение этого подхода на трехмерные пространственные кривые приводит к формулам Френе – Серре . ^{[35] [36]}

Альтернативный подход [ править ]

Глядя на изображение выше, можно задаться вопросом, адекватно ли учтена разница в кривизне между ρ ( s ) и ρ ( s + d s ) при вычислении длины дуги как d s = ρ ( s ) d θ . Уверенность в этом вопросе можно найти, используя более формальный подход, изложенный ниже. Этот подход также связан со статьей о кривизне .

Чтобы ввести единичные векторы локальной системы координат, можно начать с декартовых координат и описать локальные координаты в терминах этих декартовых координат. С точки зрения длины дуги s , пусть путь описывается как: ^[37]

${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right]\ .}$

Тогда инкрементное смещение по пути d s описывается следующим образом:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$

где штрихи введены для обозначения производных по s . Величина этого смещения равна d s , что показывает, что: ^[38]

${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .}$ (Уравнение 1)

Это смещение обязательно является касательной к кривой в точке s , показывая, что касательный к кривой единичный вектор равен:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\ ,}$

в то время как внешний единичный вектор, нормальный к кривой, равен

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right]\ ,}$

Ортогональность можно проверить, показав, что скалярное произведение вектора равно нулю. Единичная величина этих векторов является следствием уравнения. 1 . Используя касательный вектор, угол θ касательной к кривой определяется как:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$ и ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

Радиус кривизны вводится совершенно формально (без геометрической интерпретации) как:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

Производная от θ может быть найдена из производной sin θ :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$

Сейчас же:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}}$ ${\displaystyle ={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$

в котором знаменатель равен единице. С помощью этой формулы для производной синуса радиус кривизны становится:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)\ }$ ${\displaystyle ={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$

где эквивалентность форм проистекает из дифференцирования уравнения. 1 :

${\displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .}$

По этим результатам можно определить ускорение:

${\displaystyle \mathbf {a} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)}$ ${\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\ }$

${\displaystyle =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,}$

что можно проверить, взяв скалярное произведение с единичными векторами u _t ( s ) и u _n ( s ). Этот результат для ускорения такой же, как и для кругового движения на основе радиуса ρ . Используя эту систему координат в инерциальной системе отсчета, легко идентифицировать силу, нормальную к траектории, как центростремительную силу, а силу, параллельную траектории, как тангенциальную силу. С качественной точки зрения путь может быть аппроксимирован дугой окружности в течение ограниченного времени, и в течение ограниченного времени применяется определенный радиус кривизны, центробежные силы и силы Эйлера могут быть проанализированы на основе кругового движения с этим радиусом .

Этот результат для ускорения согласуется с полученным ранее. Однако в этом подходе вопрос об изменении радиуса кривизны с s решается полностью формально, в соответствии с геометрической интерпретацией, но не полагаясь на нее, тем самым избегая любых вопросов, которые изображение выше может предложить о пренебрежении изменением ρ .

Пример: круговое движение [ править ]

Чтобы проиллюстрировать приведенные выше формулы, пусть x , y заданы как:

${\displaystyle x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

Потом:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\ ,}$

который можно распознать как круговой путь вокруг начала координат с радиусом α . Положение s = 0 соответствует [ α , 0] или 3 часам. Для использования описанного выше формализма необходимы производные:

${\displaystyle y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

С этими результатами можно убедиться, что:

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

Также можно найти единичные векторы:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ,}$

которые показывают, что s = 0 находится в позиции [ ρ , 0] и s = ρ π / 2 в [0, ρ ], что согласуется с исходными выражениями для x и y . Другими словами, s отсчитывается от 3 часов против часовой стрелки по кругу. Также можно найти производные этих векторов:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$

${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .}$

Чтобы получить скорость и ускорение, необходима зависимость s от времени . Для движения против часовой стрелки с переменной скоростью v ( t ):

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\ ,}$

где v ( t ) - скорость, t - время, а s ( t = 0) = 0. Тогда:

${\displaystyle \mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,}$

где уже установлено, что α = ρ. Это ускорение является стандартным результатом для неравномерного кругового движения .

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2004). Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: механика, колебания и волны, термодинамика (5-е изд.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• Центростремительная сила против центробежной силы , из онлайн-учебника по физике Риджентс-Экзамен школьного округа Освего

Внешние ссылки [ править ]

Найдите центростремительный словарь в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Записки Виннипегского университета
• Заметки из физики и астрономии HyperPhysics в Университете штата Джорджия ; см. также домашнюю страницу
• Записки из Британики
• Заметки из PhysicsNet
• Заметки НАСА Дэвида П. Стерна
• Записки из U Texas .
• Анализ умного йо-йо
• Йо-йо инуитов
• Кинематические модели для цифровой библиотеки дизайна (KMODDL).
  Фильмы и фотографии сотен работающих моделей механических систем в Корнельском университете. Также включает в себя электронную библиотеку классических текстов по машиностроению и проектированию.