Момент инерции

Момент инерции
Маховики обладают большим моментом инерции для сглаживания вращательного движения. Этот образец находится в Русском музее.
Общие символы	я
Единица СИ	кг м ²
Прочие единицы	фунт-сила · фут · с ²
Производные от других величин	${\ displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}}$
Измерение	M L ²

Классическая механика
Часть серии по
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение / перемещение / частота / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Канатоходцы используют момент инерции длинной штанги для баланса при ходьбе по канату. Сэмюэл Диксон пересекает реку Ниагара в 1890 году.

Момент инерции , иначе известный как момент инерции , угловой массы или инерция вращения , в виде твердого тела является величиной , которая определяет крутящий момент , необходимый для требуемого углового ускорения вокруг оси вращения, сродни тому , как масса определяет усилие , необходимое для желаемого ускорения . Это зависит от распределения массы тела и выбранной оси, при этом для больших моментов требуется больший крутящий момент для изменения скорости вращения тела.

Это экстенсивное (аддитивное) свойство: для точечной массы момент инерции - это просто масса, умноженная на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения. Момент инерции жесткой составной системы - это сумма моментов инерции составляющих ее подсистем (взятых относительно одной оси). Его простейшее определение - это второй момент массы по отношению к расстоянию от оси .

Для тел, вынужденных вращаться в плоскости, имеет значение только их момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярное значение. Для тел, свободно вращающихся в трех измерениях, их моменты могут быть описаны симметричной матрицей 3 × 3 с набором взаимно перпендикулярных главных осей, для которых эта матрица диагональна, а крутящие моменты вокруг осей действуют независимо друг от друга.

Введение [ править ]

Когда тело может свободно вращаться вокруг оси, необходимо приложить крутящий момент , чтобы изменить его угловой момент . Величина крутящего момента, необходимая для того, чтобы вызвать любое заданное угловое ускорение (скорость изменения угловой скорости ), пропорциональна моменту инерции тела. Момент инерции может быть выражен в единицах килограмм-метр в квадрате (кг · м ² ) в единицах СИ и фунт-фут-секунда в квадрате (фунт-сила · фут · с ² ) в британских или американских единицах.

Момент инерции играет роль во вращательной кинетике, которую масса (инерция) играет в линейной кинетике - оба показателя характеризуют сопротивление тела изменениям в его движении. Момент инерции зависит от того, как масса распределяется вокруг оси вращения, и будет варьироваться в зависимости от выбранной оси. Для точечной массы момент инерции относительно некоторой оси определяется выражением , где - расстояние точки от оси, а ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle m}$ масса. Для протяженного твердого тела момент инерции - это просто сумма всех маленьких частей массы, умноженная на квадрат их расстояний от оси вращения. Для протяженного тела правильной формы и однородной плотности это суммирование иногда дает простое выражение, которое зависит от размеров, формы и общей массы объекта.

В 1673 году Христиан Гюйгенс ввел этот параметр в свое исследование колебаний тела, висящего на стержне, известного как составной маятник . ^[1] Термин « момент инерции» был введен Леонардом Эйлером в его книге « Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum» в 1765 году ^[1]^[2] и включен во второй закон Эйлера .

Собственная частота колебаний составного маятника получается из отношения крутящего момента, создаваемого силой тяжести на массу маятника, к сопротивлению ускорению, определяемому моментом инерции. Сравнение этой собственной частоты с частотой простого маятника, состоящего из одной точки массы, дает математическую формулировку момента инерции протяженного тела. ^[3]^[4]

Момент инерции также появляется в импульсе , кинетической энергии и в законах движения Ньютона для твердого тела как физический параметр, сочетающий его форму и массу. Есть интересное различие в способе появления момента инерции при плоском и пространственном движении. Плоское движение имеет один скаляр, который определяет момент инерции, тогда как для пространственного движения те же вычисления дают матрицу моментов инерции 3 × 3, называемую матрицей инерции или тензором инерции. ^[5]^[6]

Момент инерции вращающегося маховика используется в машине, чтобы противостоять изменениям приложенного крутящего момента, чтобы сгладить его крутящий момент. Момент инерции самолета относительно его продольной, горизонтальной и вертикальной осей определяет, как силы рулевого управления на управляющих поверхностях его крыльев, руля высоты и руля (ов) влияют на движения самолета по крену, тангажу и рысканью.

Определение [ править ]

Момент инерции определяется как произведение массы сечения на квадрат расстояния между исходной осью и центром тяжести сечения.

Фигуристы, занимающиеся вращением, могут уменьшить свой момент инерции, потянув за руки, что позволяет им вращаться быстрее за счет сохранения углового момента .

Воспроизвести медиа

Видео эксперимента с вращающимся стулом, иллюстрирующее момент инерции. Когда вращающийся профессор тянет руки, его момент инерции уменьшается; чтобы сохранить угловой момент, его угловая скорость увеличивается.

Момент инерции $I$ определяется как отношение чистого углового момента $L$ системы к ее угловой скорости $ω$ вокруг главной оси, ^[7]^[8] то есть

я знак равно L ω . {\ displaystyle I = {\ frac {L} {\ omega}}.}

Если угловой момент системы постоянен, то по мере уменьшения момента инерции угловая скорость должна увеличиваться. Это происходит, когда вращающиеся фигуристы тянут вытянутые руки или ныряльщики сгибают свои тела в положение группировки во время прыжка, чтобы вращаться быстрее. ^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]

Если форма тела не меняется, то его момент инерции появляется в законе движения Ньютона как отношение крутящего момента $τ,$ приложенного к телу, к угловому ускорению $α$ вокруг главной оси, т. Е.

τ знак равно я α . {\ displaystyle \ tau = I \ alpha.}

Для простого маятника это определение дает формулу для момента инерции $I$ через массу $m$ маятника и его расстояние $r$ от точки поворота:

{\ displaystyle I = мистер ^ {2}.}

Таким образом, момент инерции маятника зависит как от массы тела $m, так$ и от его геометрии или формы, определяемой расстоянием $r$ до оси вращения.

Эта простая формула обобщает определение момента инерции для тела произвольной формы как сумму всех элементарных точечных масс $d m,$ каждая из которых умножена на квадрат расстояния $r$ по перпендикуляру от оси $k$ . Таким образом, момент инерции произвольного объекта зависит от пространственного распределения его массы.

В общем, для объекта массы $m$ можно определить эффективный радиус $k$ , в зависимости от конкретной оси вращения, с таким значением, чтобы его момент инерции вокруг оси был равен

{\ displaystyle I = mk ^ {2},}

где $k$ известен как радиус вращения вокруг оси.

Примеры [ править ]

Простой маятник [ править ]

Момент инерции можно измерить с помощью простого маятника, потому что это сопротивление вращению, вызванное силой тяжести. Математически момент инерции маятника - это отношение момента силы тяжести вокруг оси маятника к его угловому ускорению относительно этой точки поворота. Для простого маятника это произведение массы частицы на квадрат расстояния от нее до оси поворота, т. Е. ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle I = мистер ^ {2}.}

Это можно показать следующим образом: сила тяжести, действующая на массу простого маятника, создает крутящий момент вокруг оси, перпендикулярной плоскости движения маятника. Здесь - вектор расстояния, перпендикулярный силе к оси крутящего момента и от нее, и - чистая сила, действующая на массу. С этим крутящий моментом является угловым ускорением , , струны и масс вокруг этой оси. Поскольку масса ограничена окружностью, тангенциальное ускорение массы равно . Поскольку уравнение крутящего момента становится: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle F = ma}$

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ alpha}} \ раз \ mathbf {r}) \\ & = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ alpha}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha }}) \ mathbf {r}) \\ & = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} = I \ alpha \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {align}}}

где - единичный вектор, перпендикулярный плоскости маятника. (На предпоследнем шаге используется разложение векторного тройного произведения с перпендикулярностью и .) Величина - это момент инерции этой единственной массы вокруг точки поворота. ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {k}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}$

Величина также появляется в угловом моменте простого маятника, который вычисляется из скорости массы маятника вокруг оси поворота, где - угловая скорость массы относительно точки поворота. Этот угловой момент определяется выражением ${\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} & = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times (m {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \\ & = m ((\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {r}) {\ boldsymbol {\ omega}} - (\ mathbf {r} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}) \ mathbf {r}) \\ & = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}} = I \ omega \ mathbf {\ hat {k}}, \ end {align}}}

используя аналогичный вывод для предыдущего уравнения.

Точно так же кинетическая энергия маятниковой массы определяется скоростью маятника вокруг оси поворота, что дает

{\ displaystyle E _ {\ text {K}} = {\ frac {1} {2}} m \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} \ left (mr ^ {2} \ right) \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2}.}

Это показывает, что количество - это то, как масса сочетается с формой тела для определения инерции вращения. Момент инерции тела произвольной формы - это сумма значений всех элементов массы в теле. ${\ Displaystyle I = г-н ^ {2}}$ ${\ displaystyle mr ^ {2}}$

Составной маятник [ править ]

Маятники, используемые в гравиметре Менденхолла , из научного журнала 1897 г. Портативный гравиметр, разработанный в 1890 году Томасом К. Менденхоллом, обеспечил наиболее точные относительные измерения местного гравитационного поля Земли.

Соединение маятник представляет собой тело , сформированное из сборки частиц непрерывной формы , которая вращается вокруг жестко шарнира. Его момент инерции - это сумма моментов инерции каждой из частиц, из которых он состоит. ^[14]^[15]^{: 395-396}^[16]^{: 51-53} The естественную частоту ( ) соединения маятника зависит от его момента инерции, , ${\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}}}$ ${\ displaystyle I_ {P}}$

{\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},}

где - масса объекта, - локальное ускорение свободного падения, - расстояние от точки поворота до центра масс объекта. Измерение этой частоты колебаний при малых угловых перемещениях обеспечивает эффективный способ измерения момента инерции тела. ^[17]^:^516–517 ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle r}$

Таким образом, чтобы определить момент инерции тела, просто подвесьте его за удобную точку поворота, чтобы оно свободно качалось в плоскости, перпендикулярной направлению желаемого момента инерции, затем измерьте его собственную частоту или период колебаний ( ) , чтобы получить ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle t}$

{\ displaystyle I_ {P} = {\ frac {mgr} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {mgrt ^ {2}} {4 \ pi ^ {2} }},}

где - период (продолжительность) колебаний (обычно усредненный по нескольким периодам). ${\ displaystyle t}$

Центр колебаний [ править ]

Простой маятник, который имеет ту же собственную частоту, что и составной маятник, определяет длину от оси до точки, называемой центром колебаний составного маятника. Эта точка также соответствует центру удара . Длина определяется по формуле, ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle \ omega _ {\ text {n}} = {\ sqrt {\ frac {g} {L}}} = {\ sqrt {\ frac {mgr} {I_ {P}}}},}

или же

{\ displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} = {\ frac {I_ {P}} {mr}}.}

Секунд маятник , который обеспечивает «тик» и «так» на напольные часы, занимает одну секунду , чтобы качаться из стороны в сторону. Это период в две секунды или собственная частота маятника. В этом случае расстояние до центра колебаний , можно вычислить, как ${\ Displaystyle \ пи \ \ mathrm {рад / с}}$ ${\ displaystyle L}$

{\ displaystyle L = {\ frac {g} {\ omega _ {\ text {n}} ^ {2}}} \ приблизительно {\ frac {9,81 \ \ mathrm {m / s ^ {2}}} {( 3.14 \ \ mathrm {rad / s}) ^ {2}}} \ приблизительно 0.99 \ \ mathrm {m}.}

Обратите внимание, что расстояние до центра колебаний секундного маятника должно быть отрегулировано, чтобы соответствовать различным значениям местного ускорения свободного падения. Маятник Катера представляет собой составной маятник, который использует это свойство для измерения местного ускорения силы тяжести и называется гравиметром .

Измерение момента инерции [ править ]

Момент инерции сложной системы, такой как транспортное средство или самолет, вокруг своей вертикальной оси можно измерить, подвесив систему в трех точках, чтобы сформировать трехниточный маятник . Трехзаходный маятник - это платформа, поддерживаемая тремя проволоками, которые могут колебаться при кручении вокруг своей вертикальной центроидной оси. ^[18] Период колебаний трехзаходного маятника дает момент инерции системы. ^[19]

Движение в фиксированной плоскости [ править ]

Точечная масса [ править ]

Четыре объекта с одинаковыми массами и радиусами мчатся по самолету без скольжения.

Сзади на перед:

сферическая оболочка,
твердая сфера,
цилиндрическое кольцо и
цельный цилиндр.

Время достижения каждым объектом финиша зависит от их момента инерции. ( Версия OGV )

Момент инерции относительно оси тела вычисляется путем суммирования для каждой частицы в теле, где - расстояние по перпендикуляру к указанной оси. Чтобы увидеть, как возникает момент инерции при изучении движения протяженного тела, удобно рассмотреть жесткую совокупность точечных масс. (Это уравнение может использоваться для осей, которые не являются главными осями, при условии, что понятно, что это не полностью описывает момент инерции. ^[20] ) ${\ displaystyle mr ^ {2}}$ ${\ displaystyle r}$

Рассмотрим кинетическую энергию сборки масс , лежащих на расстоянии от точки поворота , которая является ближайшей точкой на оси вращения. Это сумма кинетической энергии отдельных масс, ^[17]^:^516–517^[21]^:^1084–1085^[21]^:^1296–1300 ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $r_{i}$ $P$

E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.

Это показывает, что момент инерции тела является суммой каждого из членов, то есть $mr^{2}$

I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.

Таким образом, момент инерции - это физическое свойство, объединяющее массу и распределение частиц вокруг оси вращения. Обратите внимание, что вращение вокруг разных осей одного и того же тела дает разные моменты инерции.

Момент инерции сплошного тела, вращающегося вокруг заданной оси, вычисляется таким же образом, за исключением бесконечного числа точечных частиц. Таким образом, пределы суммирования снимаются, и сумма записывается следующим образом:

I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}

Другое выражение заменяет суммирование интегралом ,

I_{P}=\iiint \limits _{Q}\rho \left(x,y,z\right)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\mathrm {d} V

Здесь функция дает плотность массы в каждой точке , представляет собой вектор, перпендикулярный оси вращения и простирающийся от точки на оси вращения до точки в твердом теле, а интегрирование оценивается по объему тела . Момент инерции плоской поверхности аналогичен тому, что плотность массы заменяется ее поверхностной плотностью массы с интегралом, вычисляемым по ее площади. $\rho$ $(x,y,z)$ $\mathbf {r}$ $(x,y,z)$ $V$ $Q$

Примечание о втором моменте площади : часто путают момент инерции тела, движущегося в плоскости, и второй момент площади поперечного сечения балки. Момент инерции тела, имеющего форму поперечного сечения, - это второй момент этой области относительно оси, перпендикулярной поперечному сечению, взвешенный по его плотности. Это также называется полярным моментом области и представляет собой сумму вторых моментов относительно осей - и . ^[22] Напряжения в балке рассчитываются с использованием второго момента площади поперечного сечения вокруг оси -оси или -оси в зависимости от нагрузки. $z$ $x$ $y$ $x$ $y$

Примеры [ править ]

Момент инерции составного маятника, созданного из тонкого диска, установленного на конце тонкого стержня, который колеблется вокруг оси на другом конце стержня, начинается с вычисления момента инерции тонкого стержня и тонкого диска. об их соответствующих центрах масс. ^[21]

Момент инерции тонкого стержня с постоянным поперечным сечением и плотностью и длиной относительно перпендикулярной оси, проходящей через его центр масс, определяется интегрированием. ^[21]^:¹³⁰¹ Совместите ось-ось со стержнем и поместите начало координат его центр масс в центре стержня, затем $s$ $\rho$ $\ell$ $x$
$I_{C,{\text{rod}}}=\iiint \limits _{Q}\rho \,x^{2}\,\mathrm {d} V=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,\mathrm {d} x=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},$
где - масса стержня. $m=\rho s\ell$
Момент инерции тонкого диска постоянной толщины , радиуса и плотности вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его грани (параллельной оси вращательной симметрии ), определяется интегрированием. ^[21]^:¹³⁰¹^[^{неудавшаяся проверка}^] Совместите ось-ось с осью диска и определите элемент тома как , затем $s$ $R$ $\rho$ $z$ $\mathrm {d} V=sr\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta$
$I_{C,{\text{disc}}}=\iiint \limits _{Q}\rho \,r^{2}\,\mathrm {d} V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},$
где его масса. $m=\pi R^{2}\rho s$
Момент инерции составного маятника теперь получается путем сложения момента инерции стержня и диска вокруг точки поворота как, $P$
$I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},$
где - длина маятника. Обратите внимание, что теорема о параллельных осях используется для смещения момента инерции от центра масс к точке поворота маятника. $L$

Список моментов инерции формул для стандартных форм тела дает возможность получить момент инерции сложного тела как совокупность простых фасонных тел. Теорема о параллельности осей используется для смещения контрольной точки отдельных тел в контрольную точку сборки.

В качестве еще одного примера рассмотрим момент инерции твердого шара постоянной плотности вокруг оси, проходящей через его центр масс. Это определяется суммированием моментов инерции тонких дисков, образующих сферу. Если поверхность шара определяется уравнением ^[21]^{: 1301}

x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},

тогда квадрат радиуса диска в поперечном сечении по оси -с равен $r$ $z$ $z$

r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.

Следовательно, момент инерции шара - это сумма моментов инерции дисков вдоль оси -оси, $z$

{\begin{aligned}I_{C,{\text{ball}}}&=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}r(z)^{4}\,\mathrm {d} z=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,\mathrm {d} z\\&=\left.{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{4}z-{\frac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\frac {1}{5}}z^{5}\right)\right|_{-R}^{R}\\&=\pi \rho \left(1-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)R^{5}\\&={\frac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}

где масса шара. $m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho$

Жесткое тело [ править ]

Цилиндры с более высоким моментом инерции катятся по склону с меньшим ускорением, так как большая часть их потенциальной энергии должна быть преобразована в кинетическую энергию вращения.

Если механическая система вынуждена двигаться параллельно фиксированной плоскости, то вращение тела в системе происходит вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. В этом случае момент инерции массы в этой системе является скаляром, известным как полярный момент инерции . Определение полярного момента инерции можно получить, рассматривая импульс, кинетическую энергию и законы Ньютона для плоского движения жесткой системы частиц. ^[14]^[17]^[23]^[24] $\mathbf {\hat {k}}$

Если система частиц, , собрана в твердое тело, то импульс системы можно записать в терминах положений относительно опорной точки и абсолютных скоростей : $n$ $P_{i},i=1,...,n$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {v} _{i}$

{\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}

где - угловая скорость системы, - скорость . ${\boldsymbol {\omega }}$ $\mathbf {V}$ $\mathbf {R}$

Для плоского движения вектор угловой скорости направлен вдоль единичного вектора, перпендикулярного плоскости движения. Введем единичные векторы от опорной точки до точки , а вектор единицу , так что $\mathbf {k}$ $\mathbf {e} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$

{\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}

Это определяет вектор относительного положения и вектор скорости для жесткой системы частиц, движущихся в плоскости.

Примечание о перекрестном произведении: Когда тело движется параллельно плоскости земли, траектории всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных этой плоскости земли. Это означает, что любое вращение тела должно происходить вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости. Плоское движение часто проецируется на эту плоскость земли, так что ось вращения отображается как точка. В этом случае угловая скорость и угловое ускорение тела являются скалярами, и тот факт, что они являются векторами вдоль оси вращения, игнорируется. Обычно это предпочтительнее для введения в тему. Но в случае момента инерции комбинация массы и геометрии выигрывает от геометрических свойств перекрестного произведения. По этой причине,в этом разделе, посвященном плоскому движению, угловая скорость и ускорения тела являются векторами, перпендикулярными плоскости земли, а операции с перекрестным произведением аналогичны тем, которые используются для исследования пространственного движения твердого тела.

Угловой момент [ править ]

Вектор момента количества движения для плоского движения жесткой системы частиц определяется выражением ^[14]^[17]

{\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}

Используйте центр масс как точку отсчета, чтобы $\mathbf {C}$

{\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}

и определим момент инерции относительно центра масс как $I_{\mathbf {C} }$

I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},

тогда уравнение для углового момента упрощается до ^[21]^{: 1028}

\mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной движению жесткой системы и проходящей через центр масс, известен как полярный момент инерции . В частности, это второй момент массы по отношению к ортогональному расстоянию от оси (или полюса). $I_{\mathbf {C} }$

Для данного количества углового момента уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости. Фигуристы могут изменить момент инерции, потянув за руки. Таким образом, угловая скорость, достигаемая фигуристом с вытянутыми руками, приводит к большей угловой скорости, когда руки втянуты внутрь, из-за пониженного момента инерции. Однако фигурист - не твердое тело.

Кинетическая энергия [ править ]

Эти роторные ножницы 1906 года используют момент инерции двух маховиков для хранения кинетической энергии, которая при высвобождении используется для резки металлической заготовки (Международная технологическая библиотека, 1906).

Кинетическая энергия жесткой системы частиц, движущихся в плоскости, дается формулой ^[14]^[17]

{\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}

Пусть за точку отсчета будет центр масс системы, чтобы второй член стал равным нулю, и введите момент инерции, чтобы кинетическая энергия была задана как ^[21]^:¹⁰⁸⁴ $\mathbf {C}$ $I_{\mathbf {C} }$

E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .

Момент инерции - это полярный момент инерции тела. $I_{\mathbf {C} }$

Законы Ньютона [ править ]

Трактор John Deere 1920-х годов с маховиком со спицами на двигателе. Большой момент инерции маховика сглаживает работу трактора.

Законы Ньютона для жесткой системы частиц, могут быть записаны в терминах результирующей силы и крутящего момента в контрольной точке , чтобы дать ^[14]^[17] $n$ $P_{i},i=1,...,n$ $\mathbf {R}$

{\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}

где обозначает траекторию каждой частицы. $\mathbf {r} _{i}$

В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы с точки зрения положения и ускорения опорной частицы, а также вектора угловой скорости и вектора углового ускорения жесткой системы частиц , как, $P_{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {A}$ ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$

\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .

Для систем, которые ограничены плоским движением, векторы угловой скорости и углового ускорения направлены перпендикулярно плоскости движения, что упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения может быть упрощена путем введения единичных векторов от опорной точки к точке и единичные векторы , так $\mathbf {\hat {k}}$ $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$

{\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}

Это дает результирующий крутящий момент в системе как

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}

где , и - единичный вектор, перпендикулярный плоскости для всех частиц . $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0}$ $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}}$ $P_{i}$

С помощью центра масс в качестве исходной точки , и определить момент инерции относительно центра масс , то уравнение для упрощает результирующий крутящий момент в ^[21]^:^{1 029} $\mathbf {C}$ $I_{\mathbf {C} }$

{\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .

Движение твердого тела в пространстве и матрица инерции [ править ]

Скалярные моменты инерции появляются как элементы в матрице, когда система частиц собирается в твердое тело, которое движется в трехмерном пространстве. Эта матрица инерции появляется при вычислении углового момента, кинетической энергии и результирующего момента жесткой системы частиц. ^[3]^[4]^[5]^[6]^[25]

Пусть система частиц расположена в координатах со скоростями относительно фиксированной системы отсчета. Для (возможно движущейся) контрольной точки относительные положения $n$ $P_{i},i=1,...,n$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {v} _{i}$ $\mathbf {R}$

\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}

а (абсолютные) скорости равны

\mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }

где - угловая скорость системы, а - скорость . ${\boldsymbol {\omega }}$ $\mathbf {V_{R}}$ $\mathbf {R}$

Угловой момент [ править ]

Обратите внимание, что перекрестное произведение может быть эквивалентно записано как матричное умножение путем объединения первого операнда и оператора в кососимметричную матрицу , построенную из компонентов : $\left[\mathbf {b} \right]$ $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})$

{\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Матрица инерции строится с учетом углового момента, при этом опорная точка тела выбирается в качестве центра масс : ^[3]^[6] $\mathbf {R}$ $\mathbf {C}$

{\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}

где члены, содержащие ( ), суммируются до нуля по определению центра масс . $\mathbf {V_{R}}$ $=\mathbf {C}$

Затем кососимметричная матрица, полученная из вектора относительного положения , может использоваться для определения, $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$

\mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},

где определено $\mathbf {I_{C}}$

\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},

- симметричная инерционная матрица жесткой системы частиц, измеренная относительно центра масс . $\mathbf {C}$

Кинетическая энергия [ править ]

Кинетическая энергия жесткой системы частиц может быть сформулирована в терминах центра масс и матрицы моментов инерции системы. Пусть система частиц расположена в координатах со скоростями , тогда кинетическая энергия равна ^[3]^[6] $n$ $P_{i},i=1,...,n$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {v} _{i}$

E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),

где - вектор положения частицы относительно центра масс. $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$

Это уравнение расширяется и дает три члена

E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).

Второй член в этом уравнении равен нулю, потому что это центр масс. Введем кососимметричную матрицу, чтобы кинетическая энергия стала $\mathbf {C}$ $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$

{\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}

Таким образом, кинетическая энергия жесткой системы частиц определяется выражением

E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.

где - матрица инерции относительно центра масс, - полная масса. $\mathbf {I_{C}}$ $M$

Результирующий крутящий момент [ править ]

Матрица инерции появляется в применении второго закона Ньютона к жесткой совокупности частиц. Результирующий крутящий момент в этой системе равен, ^[3]^[6]

{\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},

где - ускорение частицы . В Кинематика твердого тела дает формулу для ускорения частицы с точкой зрения положения и ускорения опорной точки, а также вектора угловой скорости и вектора углового ускорения жесткой системы , как, $\mathbf {a} _{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }$ ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\boldsymbol {\alpha }}$

\mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.

Использование центра масс в качестве опорной точки, и ввести кососимметрическую матрицу , чтобы представить поперечный продукт , чтобы получить $\mathbf {C}$ $\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]$ $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times$

{\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}

В расчете используется тождество

\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,

полученное из тождества Якоби для тройного перекрестного произведения, как показано в доказательстве ниже:

Доказательство

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\&\;\;\;\;\;\ldots \;\mathbf {R} {\text{ is either at rest or moving at a constant velocity but not accelerated, or }}\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{the origin of the fixed (world) coordinate reference system is placed at the center of mass }}\mathbf {C} \\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\\end{aligned}}

Затем в последнем члене используется следующее тождество Якоби :

{\begin{aligned}0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\end{aligned}}

Результат применения тождества Якоби может быть продолжен следующим образом:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}

Затем окончательный результат можно подставить в основное доказательство следующим образом:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}

${\begin{aligned}\quad \quad &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}$

Обратите внимание, что для любого вектора выполняется следующее: $\mathbf {u} \,$

{\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}

Наконец, результат используется для завершения основного доказательства следующим образом:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}

Таким образом, результирующий крутящий момент на жесткой системе частиц определяется выражением

{\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},

где - матрица инерции относительно центра масс. $\mathbf {I_{C}}$

Теорема о параллельной оси [ править ]

Матрица инерции тела зависит от выбора точки отсчета. Существует полезное соотношение между матрицей инерции относительно центра масс и матрицей инерции относительно другой точки . Это соотношение называется теоремой о параллельных осях. ^[3]^[6] $\mathbf {C}$ $\mathbf {R}$

Рассмотрим матрицу инерции, полученную для жесткой системы частиц, измеренную относительно контрольной точки , которая определяется выражением $\mathbf {I_{R}}$ $\mathbf {R}$

\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.

Пусть - центр масс жесткой системы, тогда $\mathbf {C}$

\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,

где - вектор от центра масс до реперной точки . Используйте это уравнение для вычисления матрицы инерции, $\mathbf {d}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {R}$

\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.

Распределите по перекрестному произведению, чтобы получить

\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.

Первый член - это матрица инерции относительно центра масс. Второй и третий члены равны нулю по определению центра масс . И последний член - это полная масса системы, умноженная на квадрат кососимметричной матрицы, построенной из . $\mathbf {I_{C}}$ $\mathbf {C}$ $[\mathbf {d} ]$ $\mathbf {d}$

Результатом является теорема о параллельной оси,

\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},

где - вектор от центра масс до реперной точки . $\mathbf {d}$ $\mathbf {C}$ $\mathbf {R}$

Обратите внимание на знак минус : Используя перекос симметричной матрицы векторов положения относительно опорной точки, то матрица инерции каждой частицы имеет вид , который похож на который появляется в плоском движении. Однако для правильной работы необходим знак минус. Этот знак минус можно при желании включить в член , используя свойство асимметрии . $-m\left[\mathbf {r} \right]^{2}$ $mr^{2}$ $m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]$ $[\mathbf {r} ]$

Скалярный момент инерции в плоскости [ править ]

Скалярный момент инерции тела относительно заданной оси, направление которой задается единичным вектором и проходит через тело в точке, выглядит следующим образом: ^[6] $I_{L}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $\mathbf {R}$

I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,

где это момент инерции матрицы системы по отношению к опорной точке , и это кососимметричная матрица получается из вектора . $\mathbf {I_{R}}$ $\mathbf {R}$ $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$

Это выводится следующим образом. Пусть жесткая совокупность частиц имеет координаты . Выбор в качестве опорной точки и вычислить момент инерции вокруг линии L , определяемой единичным вектором через контрольную точку , . Перпендикулярный вектор от этой линии к частице получается путем удаления компонента, на который проецируется . $n$ $P_{i},i=1,...,n$ $\mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}}$ $P_{i}$ $\Delta \mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {k}}$

\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},

где - единичная матрица, чтобы избежать путаницы с матрицей инерции, и - матрица внешнего произведения, сформированная из единичного вектора вдоль линии . $\mathbf {E}$ $\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}$ $\mathbf {\hat {k}}$ $L$

Чтобы связать этот скалярный момент инерции с матрицей инерции тела, введите кососимметричную матрицу так , чтобы тогда мы имели тождество $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y}$

-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},

отмечая, что это единичный вектор. $\mathbf {\hat {k}}$

Квадрат величины перпендикулярного вектора равен

{\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}

При упрощении этого уравнения используется тождество тройного скалярного произведения

\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),

где точка и кросс-произведения поменялись местами. Обмен продуктами и упрощение, отмечая, что и ортогональны: $\Delta \mathbf {r} _{i}$ $\mathbf {\hat {k}}$

{\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}

Таким образом, момент инерции вокруг линии, проходящей в направлении , получается из расчета $L$ $\mathbf {R}$ $\mathbf {\hat {k}}$

{\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}

где - матрица момента инерции системы относительно реперной точки . $\mathbf {I_{R}}$ $\mathbf {R}$

Это показывает, что матрица инерции может использоваться для вычисления момента инерции тела вокруг любой заданной оси вращения в теле.

Тензор инерции [ править ]

Для одного и того же объекта разные оси вращения будут иметь разные моменты инерции относительно этих осей. В общем, моменты инерции не равны, если объект не симметричен по всем осям. Момент инерции тензора удобный способ суммировать все моменты инерции объекта с одной величиной. Его можно вычислить относительно любой точки пространства, хотя для практических целей чаще всего используется центр масс.

Определение [ править ]

Для твердого объекта точечных масс тензор момента инерции имеет вид $N$ $m_{k}$

\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}

.

Его компоненты определяются как

I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(\|\mathbf {r} _{k}\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\,)

куда

i

, Равно 1, 2 или 3 для , и , соответственно,

j

x

y

z

\mathbf {r} _{k}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)})

- вектор к точечной массе из точки, относительно которой вычисляется тензор, и

m_{k}

$\delta _{ij}$ - дельта Кронекера .

Заметим, что по определению это симметричный тензор . $\mathbf {I}$

Диагональные элементы более кратко записываются как

I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!

I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!

I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!

в то время как недиагональные элементы, также называемые продуктами инерции , являются

I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\,\!

I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\,\!

и

I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\,\!

Здесь обозначает момент инерции вокруг -оси, когда объекты вращаются вокруг оси x, обозначает момент инерции вокруг -оси, когда объекты вращаются вокруг -оси, и так далее. $I_{xx}$ $x$ $I_{xy}$ $y$ $x$

Эти величины могут быть обобщены на объект с распределенной массой, описываемый функцией плотности массы, аналогично скалярному моменту инерции. Тогда есть

\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,

где - их внешнее произведение , E ₃ - единичная матрица 3 × 3 , а V - область пространства, полностью содержащая объект. $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$

В качестве альтернативы это также можно записать в терминах оператора углового момента : $[\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x}$

\mathbf {I} =\iiint \limits _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{T}[\mathbf {r} ]\,\mathrm {d} V=-\iiint \limits _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,\mathrm {d} V

Тензор инерции можно использовать так же, как и матрицу инерции, для вычисления скалярного момента инерции относительно произвольной оси в направлении , $\mathbf {n}$

I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,

где скалярное произведение берется с соответствующими элементами в тензорах компонентов. Член продукта инерции, полученный вычислением $I_{12}$

I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},

и может быть интерпретирован как момент инерции вокруг -оси, когда объект вращается вокруг -оси. $x$ $y$

Компоненты тензоров второй степени можно собрать в матрицу. Для тензора инерции эта матрица имеет вид

\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}.

Обычно в механике твердого тела с использованием обозначений , которые явным образом идентифицирует , и -axes, такие , как и для компонент тензора инерции. $x$ $y$ $z$ $I_{xx}$ $I_{xy}$

Вывод компонент тензора [ править ]

Расстояние частицы в точке от оси вращения, проходящей через начало координат в направлении , где - единичный вектор. Момент инерции на оси равен $r$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {\hat {n}}$ $|\mathbf {x} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\mathbf {\hat {n}} |$ $\mathbf {\hat {n}}$

I=mr^{2}=m(\mathbf {x} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\mathbf {\hat {n}} )\cdot (\mathbf {x} -(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\mathbf {\hat {n}} )=m(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} (\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\mathbf {\hat {n}} +(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2})=m(\mathbf {x} ^{2}-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2})

.

Перепишите уравнение, используя транспонирование матрицы :

I=m(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{T}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T}\mathbf {\hat {n}} )=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{T}(\mathbf {x} ^{T}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{T})\mathbf {\hat {n}}

,

где E ₃ - единичная матрица 3 × 3 .

Это приводит к тензорной формуле для момента инерции

{I}=m[n_{1},n_{2},n_{3}]{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{bmatrix}}

.

Для множественных частиц нам нужно только вспомнить, что момент инерции аддитивен, чтобы убедиться, что эта формула верна.

Тензор инерции переноса [ править ]

Пусть - тензор инерции тела, вычисленный в его центре масс , и - вектор смещения тела. Тензор инерции перемещенного тела относительно его первоначального центра масс определяется выражением: $\mathbf {I_{0}}$ $\mathbf {R}$

\mathbf {I} =\mathbf {I_{0}} +m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E_{3}} -\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]

где - масса тела, E ₃ - единичная матрица 3 × 3, - внешний продукт . $m$ $\otimes$

Тензор инерции вращения [ править ]

Позвольте быть матрица, которая представляет вращение тела. Тензор инерции вращающегося тела определяется выражением ^[26] $\mathbf {R}$

\mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{T}

Матрица инерции в разных системах отсчета [ править ]

Использование матрицы инерции во втором законе Ньютона предполагает, что ее компоненты вычисляются относительно осей, параллельных инерциальной системе отсчета, а не относительно неподвижной системы отсчета. ^[6]^[23] Это означает, что по мере движения тела компоненты матрицы инерции меняются со временем. Напротив, компоненты матрицы инерции, измеренные в неподвижной раме, являются постоянными.

Корпус [ править ]

Обозначим матрицу инерции корпуса относительно центра масс и определим ориентацию корпуса относительно инерциальной системы координат с помощью матрицы вращения , так что, $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ $\mathbf {A}$

\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,

где векторы в неподвижной системе координат тела имеют координаты в инерциальной системе координат . Тогда матрица инерции тела, измеренная в инерциальной системе отсчета, имеет вид $\mathbf {y}$ $\mathbf {x}$

\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.

Обратите внимание, что изменяется по мере движения тела, пока остается неизменным. $\mathbf {A}$ $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$

Основные оси [ править ]

Матрица инерции, измеренная в корпусе, представляет собой постоянную действительную симметричную матрицу. Вещественная симметричная матрица имеет собственное разложение на произведение матрицы вращения и диагональной матрицы , задаваемое формулой $\mathbf {Q}$ ${\boldsymbol {\Lambda }}$

\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},

куда

{\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.

Столбцы матрицы поворота определяют направление главных осей тела, а также константы , и называются главными моменты инерции . Этот результат был впервые показан Дж. Дж. Сильвестром (1852 г.) и представляет собой форму закона инерции Сильвестра . ^[27]^[28] Главная ось с наивысшим моментом инерции иногда называется осью фигуры или осью фигуры . $\mathbf {Q}$ $I_{1}$ $I_{2}$ $I_{3}$

Когда все главные моменты инерции различны, главные оси, проходящие через центр масс, задаются однозначно, и твердое тело называется асимметричным волчком . Если два главных момента совпадают, твердое тело называется симметричным волчком, и нет однозначного выбора для двух соответствующих главных осей. Если все три главных момента одинаковы, твердое тело называется сферической вершиной (хотя она не обязательно должна быть сферической), и любая ось может считаться главной осью, что означает, что момент инерции одинаков для любой оси.

Главные оси часто совпадают с осями симметрии объекта. Если твердое тело имеет ось симметрии порядка , то есть она симметрична при вращении на 360 ° / м вокруг данной оси, эта ось является главной осью. Когда твердое тело представляет собой симметричный волчок. Если твердое тело имеет по крайней мере две оси симметрии, которые не параллельны и не перпендикулярны друг другу, это сферическая вершина, например, куб или любое другое платоново твердое тело . $m$ $m>2$

Движения из транспортных средств часто описывается в терминах рыскания, тангажа и крена , который , как правило , примерно соответствует вращению вокруг трех главных осей. Если транспортное средство имеет двустороннюю симметрию, то одна из главных осей будет точно соответствовать поперечной (тангажной) оси.

Практическим примером этого математического явления является рутинная автомобильная задача по балансировке шины , которая в основном означает регулировку распределения массы автомобильного колеса таким образом, чтобы его главная ось инерции была выровнена с осью, чтобы колесо не качалось.

Вращающиеся молекулы также классифицируются как асимметричные, симметричные или сферические вершины, и структура их вращательных спектров различна для каждого типа.

Эллипсоид [ править ]

Эллипсоид с полом-меченых главными диаметрами , и .

a

b

c

Матрица момента инерции в координатах тело-рама - это квадратичная форма, которая определяет поверхность в теле, называемую эллипсоидом Пуансо . ^[29] Пусть будет матрица инерции относительно центра масс, выровненного с главными осями, тогда поверхность ${\boldsymbol {\Lambda }}$

\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,

или же

I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,

определяет эллипсоид в рамке тела. Запишите это уравнение в виде

\left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,

чтобы увидеть, что полуглавные диаметры этого эллипсоида равны

a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.

Пусть точка на этом эллипсоиде определена в терминах ее величины и направления , где - единичный вектор. Тогда приведенное выше соотношение между матрицей инерции и скалярным моментом инерции вокруг оси в направлении дает $\mathbf {x}$ $\mathbf {x} =||\mathbf {x} ||\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $I_{\mathbf {n} }$ $\mathbf {n}$

\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =||\mathbf {x} ||^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =||\mathbf {x} ||^{2}I_{\mathbf {n} }=1.

Таким образом, величина точки в направлении на эллипсоиде инерции равна $\mathbf {x}$ $\mathbf {n}$

||\mathbf {x} ||={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.

См. Также [ править ]

Центральный момент
Список моментов инерции
Плоская пластинка
Энергия вращения
Фактор момента инерции

Ссылки [ править ]

^ a b Мах, Эрнст (1919). Наука о механике . стр. 173 -187 . Проверено 21 ноября 2014 года .
^ Эйлер, Леонард (1765). Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostraeognitionis Principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere Possunt, accordata [Теория движения твердых или твердых тел: основана на первых принципах наших знаний и подходит для любых движений может встречаться в таких телах] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): AF Röse. п. 166 . ISBN 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis due to eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab ax multiplicentur». (Определение 7. 422. Момент инерции тела относительно любой оси - это сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадрат их расстояний от оси.)
^ a b c d e f Мэрион, JB; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3.
^ a b Саймон, KR (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.
^ а б Тененбаум, РА (2004). Основы прикладной динамики . Springer. ISBN 0-387-00887-X.
^ a b c d e f g h Кейн, TR; Левинсон, Д.А. (1985). Динамика, теория и приложения . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
^ a b Винн, Уилл (2010). Введение в понятную физику: Том I - Механика . АвторДом. п. 10.10. ISBN 978-1449063337.
^ a b Фуллертон, Дэн (2011). С отличием по физике . Silly Beagle Productions. С. 142–143. ISBN 978-0983563334.
^ Вольфрам, Стивен (2014). "Фигуристка на спинке" . Демонстрационный проект Вольфрама . Mathematica, Inc . Проверено 30 сентября 2014 года .
^ Хокин, Самуэль (2014). «Фигурное катание» . Физика повседневного . Проверено 30 сентября 2014 года .
^ Breithaupt, Джим (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня . Нельсон Томас. п. 64. ISBN 0748743146.
^ Кроуэлл, Бенджамин (2003). Законы сохранения . Свет и материя. С. 107 . ISBN 0970467028. фигуристка сохранения момента количества движения.
^ Типлер, Пол А. (1999). Физика для ученых и инженеров. 1. Механика, колебания и волны, термодинамика . Макмиллан. п. 304. ISBN 1572594918.
^ а б в г д Пол, Бертон (июнь 1979 г.). Кинематика и динамика плоских машин . Прентис Холл. ISBN 978-0135160626.
^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471216438.
^ Французский, AP (1971). Вибрации и волны . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780748744473.
^ a b c d e е Юикер, Джон Дж .; Пеннок, Гордон Р .; Шигли, Джозеф Э. (2010). Теория машин и механизмов (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195371239.
^ Х. Уильямс, Измерение тензора инерции , представленный на конференции IMA Mathematics 2007.
^ Грейси, Уильям, Экспериментальное определение моментов инерции самолетов с помощью упрощенного метода составного маятника, Техническая нота NACA № 1629 , 1948 г.
^ В этой ситуации этот момент инерции описывает только то, как крутящий момент, приложенный вдоль этой оси, вызывает вращение вокруг этой оси. Но крутящие моменты, не выровненные по главной оси, также вызовут вращение вокруг других осей.
^ Б с д е ф г ч я Ferdinand P. Пиво; Э. Рассел Джонстон; Младший, Филип Дж. Корнуэлл (2010). Векторная механика для инженеров: Динамика (9-е изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0077295493.
^ Уолтер Д. Пилки, Анализ и расчет упругих балок: вычислительные методы , Джон Вили, 2002.
^ а б Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9.
^ Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика , Том 1. 2-е изд., Pergamon Press, 1969.
^ Л. В. Цай, Анализ роботов: механика последовательных и параллельных манипуляторов, John-Wiley, NY, 1999.
^ Дэвид, Барафф. «Физическое моделирование - моделирование твердого тела» (PDF) . Pixar Graphics Technologies .
^ Сильвестр, JJ (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен сводится действительными ортогональными подстановками к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. DOI : 10.1080 / 14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 года .
^ Норман, CW (1986). Бакалавриат по алгебре . Издательство Оксфордского университета . С. 360–361. ISBN 0-19-853248-2.
^ Мейсон, Мэтью Т. (2001). Механика манипуляций робототехникой . MIT Press. ISBN 978-0-262-13396-8. Проверено 21 ноября 2014 года .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме « Моменты инерции» .

Угловой момент и вращение твердого тела в двух и трех измерениях
Конспект лекций о вращении твердого тела и моментах инерции
Тензор момента инерции
Вводный урок о моменте инерции: удержание вертикального столба от падения (симуляция Java)
Учебное пособие по поиску моментов инерции с проблемами и решениями для различных основных форм
Замечания по механике манипуляции: тензор угловой инерции

[mach-1] Мах, Эрнст (1919). Наука о механике . стр. 173 -187 . Проверено 21 ноября 2014 года .

[Euler1730-2] Эйлер, Леонард (1765). Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum: Ex primis nostraeognitionis Principiis stabilita et ad omnes motus, qui in huiusmodi corpora cadere Possunt, accordata [Теория движения твердых или твердых тел: основана на первых принципах наших знаний и подходит для любых движений может встречаться в таких телах] (на латыни). Росток и Грайфсвальд (Германия): AF Röse. п. 166 . ISBN 978-1-4297-4281-8.Со страницы 166: «Definitio 7. 422. Momentum inertiae corporis due to eujuspiam axis est summa omnium productorum, quae oriuntur, si singula corporis elementa per quadrata distantiarum suarum ab ax multiplicentur». (Определение 7. 422. Момент инерции тела относительно любой оси - это сумма всех произведений, которые возникают, если отдельные элементы тела умножить на квадрат их расстояний от оси.)

[Marion_1995-3] Мэрион, JB; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3.

[Symon_1971-4] Саймон, KR (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.

[Tenenbaum_2004-5] а б Тененбаум, РА (2004). Основы прикладной динамики . Springer. ISBN 0-387-00887-X.

[Kane-6] Кейн, TR; Левинсон, Д.А. (1985). Динамика, теория и приложения . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.

[Winn-7] Винн, Уилл (2010). Введение в понятную физику: Том I - Механика . АвторДом. п. 10.10. ISBN 978-1449063337.

[Fullerton-8] Фуллертон, Дэн (2011). С отличием по физике . Silly Beagle Productions. С. 142–143. ISBN 978-0983563334.

[Wolfram-9] Вольфрам, Стивен (2014). "Фигуристка на спинке" . Демонстрационный проект Вольфрама . Mathematica, Inc . Проверено 30 сентября 2014 года .

[Hokin-10] Хокин, Самуэль (2014). «Фигурное катание» . Физика повседневного . Проверено 30 сентября 2014 года .

[Breithaupt-11] Breithaupt, Джим (2000). Новое понимание физики для продвинутого уровня . Нельсон Томас. п. 64. ISBN 0748743146.

[Crowell-12] Кроуэлл, Бенджамин (2003). Законы сохранения . Свет и материя. С. 107 . ISBN 0970467028. фигуристка сохранения момента количества движения.

[Tipler-13] Типлер, Пол А. (1999). Физика для ученых и инженеров. 1. Механика, колебания и волны, термодинамика . Макмиллан. п. 304. ISBN 1572594918.

[B-Paul-14] а б в г д Пол, Бертон (июнь 1979 г.). Кинематика и динамика плоских машин . Прентис Холл. ISBN 978-0135160626.

[Resnick-15] Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (2005). Основы физики (7-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 9780471216438.

[16] Французский, AP (1971). Вибрации и волны . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9780748744473.

[Uicker-17] е Юикер, Джон Дж .; Пеннок, Гордон Р .; Шигли, Джозеф Э. (2010). Теория машин и механизмов (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195371239.

[18] Х. Уильямс, Измерение тензора инерции , представленный на конференции IMA Mathematics 2007.

[19] Грейси, Уильям, Экспериментальное определение моментов инерции самолетов с помощью упрощенного метода составного маятника, Техническая нота NACA № 1629 , 1948 г.

[20] В этой ситуации этот момент инерции описывает только то, как крутящий момент, приложенный вдоль этой оси, вызывает вращение вокруг этой оси. Но крутящие моменты, не выровненные по главной оси, также вызовут вращение вокруг других осей.

[Beer-21] Б с д е ф г ч я Ferdinand P. Пиво; Э. Рассел Джонстон; Младший, Филип Дж. Корнуэлл (2010). Векторная механика для инженеров: Динамика (9-е изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0077295493.

[22] Уолтер Д. Пилки, Анализ и расчет упругих балок: вычислительные методы , Джон Вили, 2002.

[Goldstein-23] а б Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-02918-9.

[24] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, Механика , Том 1. 2-е изд., Pergamon Press, 1969.

[Tsai-25] Л. В. Цай, Анализ роботов: механика последовательных и параллельных манипуляторов, John-Wiley, NY, 1999.

[26] Дэвид, Барафф. «Физическое моделирование - моделирование твердого тела» (PDF) . Pixar Graphics Technologies .

[syl852-27] Сильвестр, JJ (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен сводится действительными ортогональными подстановками к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. DOI : 10.1080 / 14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 года .

[norm-28] Норман, CW (1986). Бакалавриат по алгебре . Издательство Оксфордского университета . С. 360–361. ISBN 0-19-853248-2.

[29] Мейсон, Мэтью Т. (2001). Механика манипуляций робототехникой . MIT Press. ISBN 978-0-262-13396-8. Проверено 21 ноября 2014 года .