Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
|
Важной проблемой квантовой механики является проблема частицы в сферически-симметричном потенциале , т. Е. Потенциале, который зависит только от расстояния между частицей и определенной центральной точкой. В частности, если рассматриваемая частица является электроном, а потенциал выводится из закона Кулона , то задача может быть использована для описания водородоподобного (одноэлектронного) атома (или иона).
В общем случае динамика частицы в сферически-симметричном потенциале определяется гамильтонианом следующего вида:
где - масса частицы, - оператор импульса, а потенциал зависит только от модуля радиус-вектора r . В квантово - механические волновые функции и энергии (собственные значения) находятся в результате решения уравнения Шредингера с этим гамильтонианом. Из-за сферической симметрии системы естественно использовать сферические координаты , и . Когда это будет сделано, не зависящее от времени уравнение Шредингера для системы станет отделимым , что позволит легко решать угловые задачи и оставить обыкновенное дифференциальное уравнение в чтобы определить энергии для конкретного обсуждаемого потенциала .
Структура собственных функций [ править ]
В собственных состояниях по системе имеют вид
в котором сферические полярные углы θ и φ представляют собой ширину и азимутальный угол соответственно. Последние два фактора ψ часто группируются вместе как сферические гармоники , так что собственные функции принимают вид
Дифференциальное уравнение, характеризующее функцию , называется радиальным уравнением .
Вывод радиального уравнения [ править ]
Оператор кинетической энергии в сферических полярных координатах имеет вид
В сферические гармоники удовлетворяют
Подставляя это в уравнение Шредингера, мы получаем одномерное уравнение на собственные значения,
Это уравнение можно свести к эквивалентному одномерному уравнению Шредингера, подставив , где удовлетворяет
что в точности является одномерным уравнением Шредингера с эффективным потенциалом, задаваемым формулой
где радиальная координата r изменяется от 0 до . Поправка к потенциалу V ( r ) называется центробежным барьером .
Если , то возле начала координат .
Решения для интересующих потенциалов [ править ]
Возникают пять особых случаев, имеющих особое значение:
- V ( r ) = 0, или решение вакуума в основе сферических гармоник , что служит основой для других случаев.
- (конечный) для и бесконечный в другом месте, или частица в сферическом эквиваленте квадратной ямы , полезная для описания связанных состояний в ядре или квантовой точке.
- Как и в предыдущем случае, но с бесконечно большим скачком потенциала на поверхности сферы.
- V ( r ) ~ r 2 для трехмерного изотропного гармонического осциллятора.
- V ( r ) ~ 1 / r для описания связанных состояний водородоподобных атомов .
Мы намечаем решения в этих случаях, которые следует сравнить с их аналогами в декартовых координатах , ср. частица в коробке . Эта статья в значительной степени опирается на функции Бесселя и полиномы Лагерра .
Вакуумный ящик [ править ]
Рассмотрим теперь V ( r ) = 0 (если заменить всюду E на ). Введение безразмерной переменной
уравнение становится уравнением Бесселя для J, определяемым (откуда и выбран обозначение J ):
которые регулярные решения для положительных энергий задаются так называемыми функциями Бесселя первого рода », так что решения, записанные для R, являются так называемой сферической функцией Бесселя .
Решения уравнения Шредингера в полярных координатах для частицы массы в вакууме помечены тремя квантовыми числами: дискретными индексами l и m , а также k, непрерывно меняющимся по :
где , - сферические функции Бесселя, - сферические гармоники.
Эти решения представляют собой состояния с определенным угловым моментом, а не с определенным (линейным) импульсом, которые обеспечиваются плоскими волнами .
Сфера с конечным "квадратным" потенциалом [ править ]
Рассмотрим теперь потенциал для и в других местах. То есть внутри сферы радиуса потенциал равен V 0, а вне сферы он равен нулю. Потенциал с таким конечным разрывом называется квадратным. [1]
Сначала мы рассматриваем связанные состояния, т. Е. Состояния, при которых частица отображается в основном внутри бокса (ограниченные состояния). Те имеют энергию E меньше потенциала вне сферы, т. Е. Имеют отрицательную энергию, и мы увидим, что существует дискретное количество таких состояний, которые мы сравним с положительной энергией с непрерывным спектром, описывающим рассеяние на поверхности. сфера (несвязанных состояний). Также стоит отметить, что в отличие от кулоновского потенциала, имеющего бесконечное количество дискретных связанных состояний, сферическая квадратная яма имеет только конечное (если есть) число из-за своего конечного диапазона (если он имеет конечную глубину).
Разрешение по существу следует разрешению вакуума с добавлением нормировки полной волновой функции, решая два уравнения Шредингера - внутри и вне сферы - предыдущего типа, то есть с постоянным потенциалом. Также выполняются следующие ограничения:
- Волновая функция должна быть регулярной в начале координат.
- Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными на разрыве потенциала.
- Волновая функция должна сходиться на бесконечности.
Первое ограничение исходит из того , что Нейман N и Ганкель H функции являются особыми в начале координат. Физический аргумент в пользу того, что ψ должен быть определен всюду, выбирает функцию Бесселя первого рода J над другими возможностями в случае вакуума. По этой же причине решение внутри сферы будет таким:
с А константа будет определена позже. Обратите внимание, что для связанных состояний .
Связанные состояния привносят новизну по сравнению с вакуумным случаем, когда E теперь отрицательно (в вакууме оно должно было быть положительным). Это, наряду с третьим ограничением, выбирает функцию Ганкеля первого рода как единственное сходящееся решение на бесконечности (сингулярность в начале координат этих функций не имеет значения, поскольку теперь мы находимся вне сферы):
Второе ограничение по непрерывности ф на наряду с нормализацией позволяет определить константы A и B . Непрерывность производной (или для удобства логарифмической производной ) требует квантования энергии.
Сфера с бесконечным "квадратным" потенциалом [ править ]
В случае, когда потенциальная яма бесконечно глубока, так что мы можем рассматривать ее как внутри сферы, так и за ее пределами, проблема заключается в согласовании волновой функции внутри сферы ( сферических функций Бесселя ) с идентично нулевой волновой функцией вне сферы. Допустимые энергии - это такие, при которых радиальная волновая функция обращается в нуль на границе. Таким образом, мы используем нули сферических функций Бесселя для нахождения энергетического спектра и волновых функций. Вызов на K - й нуль , мы имеем:
Таким образом, это сводится к вычислению этих нулей , обычно с использованием таблицы или калькулятора, поскольку эти нули не разрешимы в общем случае.
В частном случае (сферически-симметричные орбитали) сферическая функция Бесселя равна , нули которой легко записываются как . Таким образом, их собственные значения энергии:
Трехмерный изотропный гармонический осциллятор [ править ]
Потенциал трехмерного изотропного гармонического осциллятора равен
В данной статье показано, что N- мерный изотропный гармонический осциллятор имеет энергии
т.е. n - неотрицательное целое число; ω - (такая же) основная частота N мод генератора. В этом случае N = 3, так что радиальное уравнение Шредингера принимает вид
Представляем
и напоминая об этом , мы покажем, что радиальное уравнение Шредингера имеет нормированное решение:
где функция является обобщенным полином Лагерра в γr 2 порядка к (то есть, максимальная степень многочлена пропорциональна γ K г 2 к ).
Константа нормировки N nl равна,
Собственная функция R n, l (r) принадлежит энергии E n и должна быть умножена на сферическую гармонику , где
Это тот же результат, что и в статье Harmonic Oscillator , с небольшой разницей в обозначениях .
Вывод [ править ]
Сначала мы преобразуем радиальное уравнение несколькими последовательными подстановками в обобщенное дифференциальное уравнение Лагерра, которое имеет известные решения: обобщенные функции Лагерра. Затем нормируем обобщенные функции Лагерра на единицу. Эта нормализация выполняется с обычным элементом объема r 2 d r .
Сначала масштабируем радиальную координату
а затем уравнение принимает вид
с .
Рассмотрение предельного поведения v ( y ) в начале координат и на бесконечности предполагает следующую замену v ( y ):
Эта замена преобразует дифференциальное уравнение к виду
где мы разделили с помощью , что можно сделать, пока y не равно нулю.
Преобразование в полиномы Лагерра [ править ]
Если используется подстановка , и дифференциальные операторы принимают вид
Выражение между квадратными скобками при умножении f ( y ) становится дифференциальным уравнением, характеризующим обобщенное уравнение Лагерра (см. Также уравнение Куммера ):
с .
При условии неотрицательного целого числа решения этого уравнения являются обобщенными (ассоциированными) полиномами Лагерра.
Из условий на k следует: (i) и (ii) n и l либо оба нечетны, либо оба четны. Это приводит к приведенному выше условию на l .
Восстановление нормированной радиальной волновой функции [ править ]
Помня об этом , мы получаем нормированное радиальное решение
Условие нормировки радиальной волновой функции:
Подставляя , дает, и уравнение становится
Используя свойства ортогональности обобщенных многочленов Лагерра, это уравнение упрощается до
Следовательно, нормировочная константа может быть выражена как
Другие формы нормировочной константы могут быть получены с использованием свойств гамма-функции , при этом следует отметить, что n и l имеют одинаковую четность. Это означает, что n + l всегда четно, так что гамма-функция становится
где мы использовали определение двойного факториала . Следовательно, нормировочная константа также определяется выражением
Водородоподобные атомы [ править ]
Водородный (водородоподобный) атом - это двухчастичная система, состоящая из ядра и электрона. Две частицы взаимодействуют через потенциал, задаваемый законом Кулона :
где
- ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума,
- Z - атомный номер ( eZ - заряд ядра),
- е - элементарный заряд (заряд электрона),
- r - расстояние между электроном и ядром.
Масса m 0 , введенная выше, является приведенной массой системы. Поскольку масса электрона примерно в 1836 раз меньше массы легчайшего ядра (протона), значение m 0 очень близко к массе электрона m e для всех водородных атомов. В оставшейся части статьи мы делаем приближение m 0 = m e . Поскольку m e будет явным образом фигурировать в формулах, при необходимости это приближение будет легко скорректировать.
Чтобы упростить уравнение Шредингера, мы вводим следующие константы, которые определяют атомные единицы энергии и длины соответственно:
Подставим и в приведенное выше радиальное уравнение Шредингера. Это дает уравнение, в котором скрыты все естественные константы,
Существуют два класса решений этого уравнения: (i) W отрицательно, соответствующие собственные функции интегрируемы с квадратом, а значения W квантованы (дискретный спектр). (ii) W неотрицательно. Любое действительное неотрицательное значение W физически разрешено (непрерывный спектр), соответствующие собственные функции неквадратично интегрируемы. В оставшейся части статьи будут рассмотрены только решения класса (i). Волновые функции известны как связанные состояния , в отличие от решений класса (ii), которые известны как состояния рассеяния .
Для отрицательного W величина действительна и положительна. Масштабирование y , т. Е. Подстановка, дает уравнение Шредингера:
Поскольку обратные степени x пренебрежимо малы, а решение для больших x есть . Другое решение, физически неприемлемо. Для обратного квадрата преобладает степень, и решением для малых x является x l +1 . Другое решение, x - l , физически неприемлемо. Следовательно, чтобы получить полное решение, мы подставляем
Уравнение для f l ( x ) принимает следующий вид:
Если есть неотрицательное целое число, скажем k , это уравнение имеет полиномиальные решения, записанные как
которые являются обобщенными многочленами Лагерра порядка k . Мы возьмем соглашение для обобщенных многочленов Лагерра Абрамовица и Стегуна. [2] Обратите внимание, что полиномы Лагерра, приведенные во многих учебниках по квантовой механике, например в книге Мессии [1], являются полиномами Абрамовица и Стегуна, умноженными на коэффициент ( 2l + 1 + k )! Определение, данное в этой статье в Википедии, совпадает с определением Абрамовица и Стегуна.
Энергия становится
Главное квантовое число n удовлетворяет , или . Поскольку полная радиальная волновая функция равна
с константой нормализации, которая поглощает лишние члены из
что принадлежит энергии
При вычислении постоянной нормировки использовался интеграл [3]
Ссылки [ править ]
- ^ а б А. Мессия, Квантовая механика , т. I, стр. 78, Издательство Северной Голландии, Амстердам (1967). Перевод с французского Г. М. Теммера.
- ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 775. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . ‹См. Tfd› LCCN 65-12253 ‹См. Tfd› .
- ^ Х. Маргенау и Г.М. Мерфи, Математика физики и химии , Ван Ностранд, 2-е издание (1956), стр. 130. Обратите внимание, что соглашение о многочлене Лагерра в этой книге отличается от настоящего. Если мы укажем Лагер в определении Маргенау и Мерфи чертой сверху, мы получим.
- Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Американское математическое общество. ISBN 9780821846605. CS1 maint: discouraged parameter (link)