Гамильтониан (квантовая механика)

В квантовой механике , то гамильтониан системы представляет собой оператор , соответствующий полной энергии этой системы, в том числе как кинетической энергии и потенциальной энергии . Его спектр , энергетический спектр системы или набор собственных значений энергии - это набор возможных результатов, которые можно получить при измерении полной энергии системы. Из-за его тесной связи с энергетическим спектром и временной эволюцией системы он имеет фундаментальное значение в большинстве формулировок квантовой теории .

Гамильтониан назван в честь Уильяма Роуэна Гамильтона , который разработал революционную переформулировку ньютоновой механики , известную как гамильтонова механика , которая имела историческое значение для развития квантовой физики. Подобно векторной записи , он обычно обозначается как , где шляпа указывает, что это оператор. Его также можно записать как или .${\ displaystyle {\ hat {H}}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ check {H}}}$

Введение [ править ]

Гамильтониан системы - это сумма кинетических энергий всех частиц плюс потенциальная энергия частиц, связанных с системой. Гамильтониан принимает различные формы и в некоторых случаях может быть упрощен, принимая во внимание конкретные характеристики анализируемой системы, такие как одна или несколько частиц в системе, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, изменяющийся во времени потенциал или не зависящий от времени. один.

Гамильтониан Шредингера [ править ]

Одна частица [ править ]

По аналогии с классической механикой гамильтониан обычно выражается как сумма операторов, соответствующих кинетической и потенциальной энергии системы, в виде

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ hat {T}} + {\ hat {V}},}$

куда

${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$

- оператор потенциальной энергии и

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$

- оператор кинетической энергии, в котором - масса частицы, точка обозначает скалярное произведение векторов, а ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$

- оператор импульса, где a - оператор дель . Скалярное произведение в с самим собой является лапласианом . В трех измерениях с использованием декартовых координат оператор Лапласа имеет вид${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$

Хотя это не техническое определение гамильтониана в классической механике , это наиболее часто встречающаяся форма. Объединение этих результатов дает знакомую форму, используемую в уравнении Шредингера :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$

что позволяет применять гамильтониан к системам, описываемым волновой функцией . Это подход, обычно используемый во вводных исследованиях квантовой механики с использованием формализма волновой механики Шредингера.${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$

Можно также сделать замены в определенных переменных, чтобы соответствовать конкретным случаям, например, с использованием электромагнитных полей.

Многие частицы [ править ]

Формализм можно распространить на частицы:${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$

куда

${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$

- функция потенциальной энергии, теперь функция пространственной конфигурации системы и времени (конкретный набор пространственных положений в некоторый момент времени определяет конфигурацию) и;

${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}},}$

- оператор кинетической энергии частицы ; - градиент частицы ; - лапласиан частицы с использованием координат:${\displaystyle n}$${\displaystyle \nabla _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$

${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$

Комбинируя их, получаем гамильтониан Шредингера для случая -частиц:${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$

Однако в проблеме многих тел могут возникнуть осложнения . Поскольку потенциальная энергия зависит от пространственного расположения частиц, кинетическая энергия также будет зависеть от пространственной конфигурации для сохранения энергии. Движение любой частицы будет изменяться из-за движения всех других частиц в системе. По этой причине в гамильтониане могут появиться перекрестные члены для кинетической энергии; смесь градиентов для двух частиц:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$

где обозначает массу совокупности частиц, приводящую к этой дополнительной кинетической энергии. Члены этой формы известны как члены массовой поляризации и появляются в гамильтониане многих электронных атомов (см. Ниже).${\displaystyle M}$

Для взаимодействующих частиц, то есть частиц, которые взаимодействуют друг с другом и образуют многочастичную ситуацию, функция потенциальной энергии не является просто суммой отдельных потенциалов (и, конечно, не произведением, поскольку это неверно по размерам). Функцию потенциальной энергии можно записать только так, как указано выше: функцию всех пространственных положений каждой частицы.${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$

Для невзаимодействующих частиц, то есть частиц, которые не взаимодействуют друг с другом и движутся независимо, потенциал системы представляет собой сумму отдельной потенциальной энергии для каждой частицы, ^[1] то есть

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$

Общий вид гамильтониана в этом случае:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем частицам и их соответствующим потенциалам; в результате гамильтониан системы представляет собой сумму отдельных гамильтонианов для каждой частицы. Это идеализированная ситуация - на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, и существуют взаимодействия многих тел. Один наглядный пример взаимодействия двух тел, в котором эта форма неприменима, - это электростатические потенциалы, обусловленные заряженными частицами, поскольку они взаимодействуют друг с другом посредством кулоновского взаимодействия (электростатическая сила), как показано ниже.

Уравнение Шредингера [ править ]

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если это состояние системы в данный момент , то${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Это уравнение является уравнением Шредингера . Оно имеет ту же форму, что и уравнение Гамильтона – Якоби , которое по одной из причин также называется гамильтонианом. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени ( ), мы можем решить его, чтобы получить состояние в любое последующее время. В частности, если не зависит от времени, то${\displaystyle H}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

Экспоненциальный оператор на правой стороне уравнения Шредингера обычно определяются с помощью соответствующей мощности серии в . Можно заметить, что использование многочленов или степенных рядов неограниченных операторов , которые не определены везде, может не иметь математического смысла. Строго говоря, чтобы брать функции от неограниченных операторов, требуется функциональное исчисление . В случае экспоненциальной функции достаточно непрерывного или просто голоморфного функционального исчисления . Заметим, однако, что для обычных расчетов формулы физиков вполне достаточно.${\displaystyle H}$

По свойству * - гомоморфизма функционального исчисления оператор

${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

- унитарный оператор . Это оператор эволюции во времени или пропагатор замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависит от времени, сформируйте однопараметрическую унитарную группу (больше, чем полугруппу ); это приводит к физическому принципу детального баланса .${\displaystyle \{U(t)\}}$

Формализм Дирака [ править ]

Тем не менее, в более общем формализме из Дирака , гамильтон обычно реализуются как оператор на гильбертовом пространстве следующим образом:

Собственные наборы ( собственные векторы ) , обозначаемые , обеспечивают ортонормированный базис для гильбертова пространства. Спектр разрешенных уровней энергии системы задается набором собственных значений, обозначаемых , решая уравнение:${\displaystyle H}$${\displaystyle \left|a\right\rangle }$${\displaystyle \{E_{a}\}}$

${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$

Поскольку это эрмитов оператор , энергия всегда является действительным числом .${\displaystyle H}$

С математически строгой точки зрения, следует соблюдать осторожность с приведенными выше предположениями. Операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах не обязательно должны иметь собственные значения (набор собственных значений не обязательно совпадает со спектром оператора ). Однако все рутинные квантово-механические расчеты можно выполнить с использованием физической формулировки. ^{[ требуется разъяснение ]}

Выражения для гамильтониана [ править ]

Ниже приведены выражения для гамильтониана в ряде ситуаций. ^[2] Типичными способами классификации выражений являются количество частиц, количество измерений и природа функции потенциальной энергии - что важно, пространственная и временная зависимость. Масса обозначается , а заряды - .${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$

Общие формы для одной частицы [ править ]

Бесплатная частица [ править ]

Частица не связана никакой потенциальной энергией, поэтому потенциал равен нулю, и этот гамильтониан является самым простым. Для одного измерения:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$

и в более высоких измерениях:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$

Яма с постоянным потенциалом [ править ]

Для частицы в области постоянного потенциала (без зависимости от пространства или времени) в одном измерении гамильтониан имеет вид:${\displaystyle V=V_{0}}$

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$

в трех измерениях

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$

Это относится и к элементарной задаче « частица в коробке », и к ступенчатым потенциалам .

Простой гармонический осциллятор [ править ]

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал изменяется в зависимости от положения (но не времени) в соответствии с:

${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$

где угловая частота , эффективная жесткость пружины и масса осциллятора удовлетворяют следующим условиям:${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$

так что гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$

Для трех измерений это становится

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$

где трехмерный вектор положения с помощью декартовых координат ( , , ), его величины${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Полное описание гамильтониана показывает, что это просто сумма одномерных гамильтонианов в каждом направлении:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$

Жесткий ротор [ править ]

Для жесткого ротора - т.е. системы частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей, не связанных каким-либо потенциалом (например, свободные молекулы с пренебрежимо малыми колебательными степенями свободы , скажем, из-за двойных или тройных химических связей ), гамильтониан имеет вид:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$

где , и являются момент инерции компонентов (технически диагональные элементы момента тензора инерции ), а также , и являются всего углового момента операторы (компоненты), о , и оси соответственно.${\displaystyle I_{xx}}$${\displaystyle I_{yy}}$${\displaystyle I_{zz}}$${\displaystyle {\hat {J}}_{x}\,\!}$${\displaystyle {\hat {J}}_{y}\,\!}$${\displaystyle {\hat {J}}_{z}\,\!}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

Электростатический или кулоновский потенциал [ править ]

Кулоновская потенциальная энергия для двух точечных зарядов и (то есть, те , которые не имеют пространственную протяженности независимо друг от друга), в трех измерениях, которое (в единицах СИ -rather , чем гауссовые единицы , которые часто используются в электромагнетизме ):${\displaystyle q_{1}}$${\displaystyle q_{2}}$

${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$

Однако это только возможность для одного точечного заряда из-за другого. Если есть много заряженных частиц, каждый заряд имеет потенциальную энергию из-за любого другого точечного заряда (кроме самого себя). Для зарядов потенциальная энергия заряда, связанная со всеми другими зарядами, равна (см. Также Электростатическая потенциальная энергия, хранящаяся в конфигурации дискретных точечных зарядов ): ^[3]${\displaystyle N}$${\displaystyle q_{j}}$

${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$

где - электростатический потенциал заряда при . Общий потенциал системы складывается из :${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$

так что гамильтониан:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$

Электрический диполь в электрическом поле [ править ]

Для электрического дипольного момента, составляющего заряды величины , в однородном электростатическом поле (не зависящем от времени) , расположенном в одном месте, потенциал равен:${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {E} }$

${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$

сам дипольный момент является оператором

${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя - это просто потенциальная энергия:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$

Магнитный диполь в магнитном поле [ править ]

Для магнитного дипольного момента в однородном магнитостатическом поле (не зависящем от времени) , расположенном в одном месте, потенциал равен:${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя - это просто потенциальная энергия:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$

Для частицы со спином 1/2 соответствующий спиновый магнитный момент равен: ^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$

где - спиновое гиромагнитное отношение (также известное как «спиновый g-фактор »), - заряд электрона, - вектор оператора спина , компоненты которого являются матрицами Паули , следовательно${\displaystyle g_{s}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$

Заряженная частица в электромагнитном поле [ править ]

Для частицы с массой и зарядом в электромагнитном поле, описываемом скалярным потенциалом и векторным потенциалом , есть две части гамильтониана, которые нужно заменить. ^[1] Канонический оператор импульса , который включает вклад от поля и удовлетворяет каноническому соотношению коммутации , должен быть квантован;${\displaystyle m}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} =\mathbf {\hat {P}} +q\mathbf {A} }$,

где - оператор кинетического импульса . Рецепт квантования гласит${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} =-i\hbar \nabla }$,

так что соответствующий оператор кинетической энергии

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {P}} \cdot \mathbf {\hat {P}} }{2m}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {\Pi }} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$

а потенциальная энергия, обусловленная полем, определяется выражением${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi }$.

Преобразование всего этого в гамильтониан дает

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi }$.

Вырождение собственных значений энергии, симметрия и законы сохранения [ править ]

Во многих системах два или более собственных энергетических состояния имеют одинаковую энергию. Простым примером этого является свободная частица, чьи собственные энергетические состояния имеют волновые функции, которые являются распространением плоских волн. Энергия каждой из этих плоских волн обратно пропорциональна квадрату ее длины волны . Волна, распространяющаяся в одном направлении, отличается от состояния, распространяющегося в этом направлении, но если они имеют одинаковую длину волны, их энергии будут одинаковыми. Когда это происходит, состояния называют вырожденными .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Оказывается, вырождение возникает, когда нетривиальный унитарный оператор коммутирует с гамильтонианом. Чтобы увидеть это, предположим, что это собственный набор энергии. Тогда есть собственный набор энергии с тем же собственным значением, поскольку${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |a\rangle }$${\displaystyle U|a\rangle }$

${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$

Поскольку нетривиально, по крайней мере одна пара и должна представлять различные состояния. Следовательно, имеет по крайней мере одну пару собственных вырожденных энергетических наборов. В случае свободной частицы унитарный оператор, создающий симметрию, - это оператор вращения , который поворачивает волновые функции на некоторый угол, сохраняя при этом их форму.${\displaystyle U}$${\displaystyle |a\rangle }$${\displaystyle U|a\rangle }$${\displaystyle H}$

Существование оператора симметрии подразумевает существование сохраняющейся наблюдаемой. Позвольте быть эрмитовым генератором :${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})\,}$

Несложно показать, что если коммутирует с , то то же самое происходит :${\displaystyle U}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle [H,G]=0\,}$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$

При получении этого результата, мы использовали уравнение Шредингера, а также его двойной ,

${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.}$

Таким образом, ожидаемое значение наблюдаемого сохраняется для любого состояния системы. В случае свободной частицы сохраняющейся величиной является угловой момент .${\displaystyle G}$

Уравнения Гамильтона [ править ]

Гамильтона уравнение «S в классической гамильтоновой механике имеет прямую аналогию в квантовой механике. Предположим, у нас есть набор базисных состояний , которые не обязательно должны быть собственными состояниями энергии. Для простоты мы предполагаем, что они дискретны, и что они ортонормированы, т. Е.${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$

${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$

Обратите внимание, что предполагается, что эти базовые состояния не зависят от времени. Предположим, что гамильтониан также не зависит от времени.

Мгновенное состояние системы в момент времени , может быть расширено в терминах этих базисных состояний:${\displaystyle t}$${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$

куда

${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$

Коэффициенты - комплексные переменные. Мы можем рассматривать их как координаты, которые определяют состояние системы, например координаты положения и импульса, которые определяют классическую систему. Как и классические координаты, они обычно непостоянны во времени, и их зависимость от времени приводит к временной зависимости системы в целом.${\displaystyle a_{n}(t)}$

Среднее значение гамильтониана этого состояния, которое также является средней энергией, равно

${\displaystyle \langle H(t)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$

где последний шаг получен разложением по базисным состояниям.${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$

Каждая фактически соответствует двум независимым степеням свободы, поскольку переменная имеет действительную и мнимую части. Теперь мы проделаем следующий трюк: вместо того, чтобы использовать действительную и мнимую части в качестве независимых переменных, мы используем и ее комплексное сопряжение . При таком выборе независимых переменных мы можем вычислить частную производную${\displaystyle a_{n}(t)}$${\displaystyle a_{n}(t)}$ ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$

Применяя уравнение Шредингера и используя ортонормированность базисных состояний, это далее сводится к

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$

Аналогично можно показать, что

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$

Если мы определим переменные "сопряженный импульс" как${\displaystyle \pi _{n}}$

${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$

тогда приведенные выше уравнения становятся

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$

что является в точности формой уравнений Гамильтона, где s как обобщенные координаты, s как сопряженные импульсы и занимающие место классического гамильтониана.${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \pi _{n}}$${\displaystyle \langle H\rangle }$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]