Оператор моментума

В квантовой механике , то оператор импульса является оператором , связанным с линейным импульсом . Оператор импульса в позиционном представлении является примером дифференциального оператора . Для случая одной частицы в одном пространственном измерении определение таково:

{\ displaystyle {\ hat {p}} = - я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}

где $ħ$ - приведенная постоянная Планка , $i$ - мнимая единица , $x$ - пространственная координата, и вместо полной производной ( $d$ $/$ $dx$ ) используется частная производная (обозначенная ), поскольку волновая функция также является функцией времени. «Шляпа» обозначает оператора. «Приложение» оператора к дифференцируемой волновой функции выглядит следующим образом: ${\ Displaystyle \ partial / \ partial x}$

{\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi = -i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}}}

В базисе гильбертова пространства, состоящем из собственных состояний импульса, выраженных в импульсном представлении, действие оператора - это просто умножение на $p$ , то есть это оператор умножения , так же как оператор положения является оператором умножения в представлении положения. Обратите внимание, что приведенное выше определение - это канонический импульс , который не является калибровочно-инвариантным и не является измеримой физической величиной для заряженных частиц в электромагнитном поле . В этом случае канонический импульс не равен кинетическому .

В то время, когда квантовая механика была разработана в 1920-х годах, оператор импульса был открыт многими физиками-теоретиками, включая Нильса Бора , Арнольда Зоммерфельда , Эрвина Шредингера и Юджина Вигнера . Его существование и форма иногда воспринимаются как один из основополагающих постулатов квантовой механики.

Происхождение от плоских волн Де Бройля [ править ]

Операторы импульса и энергии можно построить следующим образом. ^[1]

Одно измерение [ править ]

Начиная с одного измерения, используя плоское волновое решение уравнения Шредингера для отдельной свободной частицы,

{\ displaystyle \ psi (x, t) = e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} (px-Et)},}

где $p$ интерпретируется как импульс в $x-$ направлении, а $E$ - энергия частицы. Частная производная первого порядка по пространству равна

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi (x, t)} {\ partial x}} = {\ frac {ip} {\ hbar}} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} ( px-Et)} = {\ frac {ip} {\ hbar}} \ psi.}

Это предполагает операторную эквивалентность

{\ displaystyle {\ hat {p}} = - я \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}}

таким образом, импульс частицы и значение, которое измеряется, когда частица находится в состоянии плоской волны, является собственным значением указанного выше оператора.

Поскольку частная производная является линейным оператором , оператор импульса также является линейным, и поскольку любая волновая функция может быть выражена как суперпозиция других состояний, когда этот оператор импульса действует на всю наложенную волну, он дает собственные значения импульса для каждой плоскости волновая составляющая. Затем эти новые компоненты накладываются друг на друга, образуя новое состояние, в общем не кратное старой волновой функции.

Три измерения [ править ]

Вывод в трех измерениях такой же, за исключением того, что оператор градиента del используется вместо одной частной производной. В трех измерениях решение уравнения Шредингера в виде плоской волны:

\psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}

и градиент

{\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}

где $e x, e y$ и $e z$ - единичные векторы для трех пространственных измерений, следовательно,

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

Этот оператор импульса находится в пространстве позиций, потому что частные производные были взяты по пространственным переменным.

Определение (позиция) [ править ]

Для одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор импульса может быть записан в базисе положения как: ^[2]

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

где $\nabla$ - оператор градиента , $ħ$ - приведенная постоянная Планка , а $i$ - мнимая единица .

В одном пространственном измерении это становится:

{\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.

Это выражение для канонического импульса . Для заряженной частицы $q$ в электромагнитном поле во время калибровочного преобразования пространственная волновая функция координат претерпевает локальное групповое преобразование U (1) ^[3] и изменит свое значение. Следовательно, канонический импульс не является калибровочно-инвариантным и, следовательно, не является измеримой физической величиной. ${\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

Кинетический момент , калибровочные инвариантная физическая величина, может быть выражена в терминах канонического импульса, то скалярный потенциал $φ$ и векторный потенциал : ^[4]

\mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}

Выражение выше называется минимальной связью . Для электрически нейтральных частиц канонический импульс равен кинетическому.

Свойства [ править ]

Отшельничество [ править ]

Оператор импульса всегда является эрмитовым оператором (точнее говоря, в математической терминологии «самосопряженным оператором»), когда он действует на физические (в частности, нормализуемые ) квантовые состояния. ^[5]

(В некоторых искусственных ситуациях, таких как квантовые состояния на полубесконечном интервале [0, ∞), нет способа сделать оператор импульса эрмитовым. ^[6] Это тесно связано с тем фактом, что полубесконечный интервал не может обладать трансляционной симметрией - в частности, он не имеет унитарных операторов трансляции . См. Ниже .)

Каноническое коммутационное отношение [ править ]

Это легко показать, правильно используя импульсный и позиционный базис:

\left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .

В Гейзенберге принцип неопределенности пределы определяет , насколько точно на импульс и положение одной наблюдаемой системы могут быть известны сразу. В квантовой механике положение и импульс - сопряженные переменные .

Преобразование Фурье [ править ]

Можно показать, что преобразование Фурье импульса в квантовой механике является оператором положения . Преобразование Фурье превращает импульсный базис в позиционный. В следующем обсуждении используется обозначение бюстгальтера :

Пусть будет волновой пакет = 1, преобразование Фурье : $\psi =\psi (x)$ $\langle \psi |\psi \rangle$ $\psi '$ $\psi$

\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =h\langle \psi '|{\hat {x}}|\psi '\rangle

Итак, импульс = hx пространственная частота , что аналогично энергии = hx временной частоте.

\langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x)

То же самое относится к оператору позиции в основе импульса:

\langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p)

и другие полезные отношения:

\langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p')

\langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x')

где $δ$ обозначает дельта-функцию Дирака .

Вывод из бесконечно малых переводов [ править ]

Оператор перевода обозначается $T (ε)$ , где $ε$ обозначает длину перевода. Он удовлетворяет следующему тождеству:

T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle

это становится

\int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )

Предполагая , что функция $ф$ быть аналитическим (т.е. дифференцируема в некоторой области комплексной плоскости ), можно разложить в ряд Тейлора о $х$ :

\psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}

поэтому для бесконечно малых значений $ε$ :

T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)

Как известно из классической механики , импульс является генератором переноса , поэтому связь между операторами переноса и импульса следующая:

T(\varepsilon )=1-{i \over \hbar }\varepsilon {\hat {p}}

таким образом

{\hat {p}}=-i\hbar {d \over dx}.

Оператор 4-импульса [ править ]

Вставка трехмерного оператора импульса выше и оператора энергии в 4-импульс (как 1-форма с метрической сигнатурой $(+ - - -)$ ):

P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)

получает оператор 4-импульса ;

{\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }

где $\partial μ$ - это 4-градиент , а $- iħ$ становится $+ iħ$ перед оператором 3-импульса. Этот оператор встречается в релятивистской квантовой теории поля , такой как уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения , поскольку энергия и импульс объединяются в четырехмерный вектор импульса выше, операторы импульса и энергии соответствуют производным по пространству и времени, и они должны быть первыми. частные производные порядка для лоренцевой ковариации .

Оператор Дирака и косая черта Дирака 4-импульса задаются сужением с гамма-матрицами :

\gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/

Если бы подпись была $(- + + +)$ , оператор был бы

{\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }

вместо.

См. Также [ править ]

Математические описания электромагнитного поля
Оператор трансляции (квантовая механика)
Релятивистские волновые уравнения
Псевдовектор Паули – Любанского

Ссылки [ править ]

^ Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
^ Квантовая механика демистифицирована , Д. McMahon, Mc Грау Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9
^ Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (2008-12-04). «Калибровочная инвариантность» . Scholarpedia . 3 (12): 8287. DOI : 10,4249 / scholarpedia.8287 . ISSN 1941-6016 .
^ Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0
^ См. Примечания к лекции 1 Роберта Литтлджона для конкретного математического обсуждения и доказательства для случая одиночной незаряженной частицы с нулевым спином. См. Примечания к лекции 4 Роберта Литтлджона для общего случая.
^ Бонно, G., Faraut J., Валент, Г. (2001). «Самосопряженные расширения операторов и обучение квантовой механике». Американский журнал физики . 69 (3): 322–331. arXiv : квант-ph / 0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B . DOI : 10.1119 / 1.1328351 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1] Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

[2] Квантовая механика демистифицирована , Д. McMahon, Mc Грау Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9

[3] Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (2008-12-04). «Калибровочная инвариантность» . Scholarpedia . 3 (12): 8287. DOI : 10,4249 / scholarpedia.8287 . ISSN 1941-6016 .

[4] Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Эйсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

[5] См. Примечания к лекции 1 Роберта Литтлджона для конкретного математического обсуждения и доказательства для случая одиночной незаряженной частицы с нулевым спином. См. Примечания к лекции 4 Роберта Литтлджона для общего случая.

[6] Бонно, G., Faraut J., Валент, Г. (2001). «Самосопряженные расширения операторов и обучение квантовой механике». Американский журнал физики . 69 (3): 322–331. arXiv : квант-ph / 0103153 . Bibcode : 2001AmJPh..69..322B . DOI : 10.1119 / 1.1328351 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1]