Оператор умножения

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Оператор умножения» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории операторов , А оператор умножения является оператор $Т е$ , определенные на некотором векторном пространстве функций и чье значение в функции $ф$ задаются умножением на фиксированную функцию $F$ . То есть,

{\ Displaystyle T_ {f} \ varphi (x) = f (x) \ varphi (x) \ quad}

для всех $φ$ в области определения $T f$ и всех $x$ в области определения $φ$ (что совпадает с областью определения $f$ ).

Этот тип операторов часто противопоставляется операторам композиции . Операторы умножения обобщают понятие оператора, заданного диагональной матрицей . Точнее, один из результатов теории операторов являются спектральной теоремой , которая гласит , что каждый самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве является унитарно эквивалентен оператору умножения на L ² пространства .

Пример [ править ]

Рассмотрим гильбертово пространство $X = L 2 [-1, 3]$ из сложных значных квадратично интегрируемых функций на интервале $[-1, 3]$ . При $f (x) = x 2$ определим оператор

{\ displaystyle T_ {f} \ varphi (x) = x ^ {2} \ varphi (x) \ quad}

для любой функции $ф$ в $X$ . Это будет самосопряженный ограниченный линейный оператор с областью определения $X = L 2 [-1, 3]$ с нормой $9$ . Его спектр будет интервалом $[0, 9]$ ( диапазон функции $x \to x 2,$ определенной на $[-1, 3])$ . В самом деле, для любого комплексного числа $λ$ оператор $T f - λ$ имеет вид

{\ displaystyle (T_ {f} - \ lambda) (\ varphi) (x) = (x ^ {2} - \ lambda) \ varphi (x). \ quad}

Он обратим тогда и только тогда, когда $λ$ не принадлежит $[0, 9]$ , и тогда его обратным является

{\ displaystyle (T_ {f} - \ lambda) ^ {- 1} (\ varphi) (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} - \ lambda}} \ varphi (x) \ quad}

который является еще одним оператором умножения.

Это можно легко обобщить для характеристики нормы и спектра оператора умножения в любом пространстве Lp .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике. 96 . Springer Verlag . ISBN 0-387-97245-5.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )