В математике , то оператор суперпозиции с символом является линейным оператором определяется по правилу
где обозначает композицию функции .
Изучение операторов композиции относится к категории 47B33 AMS .
В физике [ править ]
В физике , и особенно в области динамических систем , оператор композиции обычно называют оператором Купмана [1] [2] (а его бешеный всплеск популярности [3] иногда в шутку называют «Купманией» [4] ), имени Бернарда Купмана . Это левый сопряженный из передаточной оператора Фробениуса-Перрона.
В функциональном исчислении Бореля [ править ]
Говоря языком теории категорий , оператор композиции представляет собой возврат к пространству измеримых функций ; он сопряжен с оператором передачи так же, как откат примыкает к выталкиванию вперед ; оператор композиции - это функтор обратного изображения .
Поскольку рассматриваемая здесь область является областью функций Бореля , приведенное выше описывает оператор Купмана в том виде, в котором он появляется в функциональном исчислении Бореля .
В голоморфном функциональном исчислении [ править ]
Домен оператора композиций может быть принят в более узком смысле, как некоторое банахово пространством , часто состоящий из голоморфных функций : например, некоторые пространство Харди или Бергман пространства . В этом случае оператор композиции лежит в области некоторого функционального исчисления , такого как голоморфное функциональное исчисление .
Интересные вопросы, возникающие при изучении операторов композиции, часто связаны с тем, как спектральные свойства оператора зависят от функционального пространства . Другие вопросы включают ли это компактный или след класса ; ответы обычно зависят от того, как функция φ ведет себя на границе некоторой области.
Когда оператор переноса является оператором сдвига влево, оператор Купмана в качестве сопряженного с ним можно рассматривать как оператор сдвига вправо. Подходящий базис, явно проявляющий сдвиг, часто можно найти в ортогональных многочленах . Когда они ортогональны на прямой, сдвиг задается оператором Якоби . [5] Когда полиномы ортогональны в некоторой области комплексной плоскости (а именно, в пространстве Бергмана ), оператор Якоби заменяется оператором Хессенберга . [6]
Приложения [ править ]
В математике операторы композиции обычно встречаются при изучении операторов сдвига , например, в теореме Бёрлинга – Лакса и разложении Вольда . Операторы сдвига можно изучать как одномерные спиновые решетки . Операторы композиции появляются в теории мер Александрова – Кларка .
Уравнение на собственные значения оператора композиции - это уравнение Шредера , а главная собственная функция f (x) часто называется функцией Шредера или функцией Кенигса .
См. Также [ править ]
- Оператор умножения
- Композиция кольцо
- Матрица Карлемана
Ссылки [ править ]
- ^ Купман, BO (1931). «Гамильтоновы системы и преобразование в гильбертовом пространстве» . Труды Национальной академии наук . 17 (5): 315–318. Полномочный код : 1931PNAS ... 17..315K . DOI : 10.1073 / pnas.17.5.315 . PMC 1076052 . PMID 16577368 .
- ^ Гаспар, Пьер (1998). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511628856 . ISBN 978-0-511-62885-6.
- ^ Будишич, Марко, Райан Мор и Игорь Мезич. «Прикладной коопманизм». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки 22, вып. 4 (2012): 047510. https://doi.org/10.1063/1.4772195.
- ^ Shervin Предраг Cvitanović, Роберто Artuso, Ронни Mainieri, Грегор Tanner, Габор Vattay, Найл Уилан и Андреас Wirzba, Хаос: Классическая и квантовая Приложение H Версия 15,9 (2017), http://chaosbook.org/version15/chapters/appendMeasure .pdf
- ^ Джеральд Тешл, «Операторы Якоби и полностью интегрируемые нелинейные решетки» (2000) Американского математического общества. https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/jacop.pdf ISBN 978-0-8218-1940-1
- ^ Tomeo, V .; Торрано, Э. (2011). «Два приложения субнормальности матрицы Хессенберга, связанные с общими ортогональными многочленами» . Линейная алгебра и ее приложения . 435 (9): 2314–2320. DOI : 10.1016 / j.laa.2011.04.027 .
- CC Cowen, BD MacCluer , Операторы композиции в пространствах аналитических функций . Исследования по высшей математике. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 1995. xii + 388 стр. ISBN 0-8493-8492-3 .
- JH Шапиро , Операторы композиции и классическая теория функций. Universitext: трактаты по математике. Springer-Verlag, New York, 1993. xvi + 223 pp. ISBN 0-387-94067-7 .
