Голоморфное функциональное исчисление

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , голоморфное функциональное исчисление является функциональным исчислением с голоморфными функциями . То есть, учитывая голоморфную функцию F из комплексного аргумента г и оператор Т , цель состоит в том, чтобы построить оператор, ф ( Т ), что , естественно , расширяет функцию п от комплексного аргумента оператора аргумента. Более точно, функциональное исчисление определяет непрерывный гомоморфизм алгебры из голоморфных функций на окрестности спектра от Т до ограниченных операторов.

В этой статье мы обсудим случай, когда T - линейный ограниченный оператор в некотором банаховом пространстве . В частности, T может быть квадратной матрицей со сложными элементами, случай, который будет использоваться для иллюстрации функционального исчисления и предоставления некоторых эвристических выводов для предположений, используемых в общей конструкции.

Мотивация [ править ]

Потребность в общем функциональном исчислении [ править ]

В этом разделе предполагается, что T - это матрица размера n  ×  n с комплексными элементами.

Если данная функция f относится к определенному специальному типу, существуют естественные способы определения f ( T ). Например, если

${\ Displaystyle п (г) = \ сумма _ {я = 0} ^ {м} а_ {я} г ^ {я}}$

представляет собой сложный многочлен , можно просто заменить Т для г и определим

${\ Displaystyle p (T) = \ sum _ {я = 0} ^ {m} a_ {i} T ^ {i}}$

где T ⁰ = I , единичная матрица . Это полиномиальное функциональное исчисление . Это гомоморфизм кольца многочленов в кольцо матриц размера n × n .

Немного расширяя полиномы, если f  : C → C голоморфна всюду, т. Е. Целая функция , с рядом Маклаурина

${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} а_ {я} г ^ {я},}$

имитируя полиномиальный случай, предлагает определить

${\ displaystyle f (T) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i} T ^ {i}.}$

Поскольку ряд Маклаурина сходится всюду, указанный ряд будет сходиться в выбранной операторной норме . Примером этого является экспонента матрицы. Замена z на T в ряду Маклаурина f ( z ) = e ^z дает

${\ displaystyle f (T) = e ^ {T} = I + T + {\ frac {T ^ {2}} {2!}} + {\ frac {T ^ {3}} {3!}} + \ cdots.}$

Требование, чтобы ряд МакЛорина f везде сходился, можно несколько ослабить. Из сказанного очевидно , что все , что действительно необходимо , так это радиус сходимости ряда Маклорена быть больше , чем ǁ Т ǁ, операторной норме Т . Это несколько расширяет семейство функций f, для которых f ( T ) может быть определено с использованием описанного выше подхода. Однако это не совсем удовлетворительно. Например, теория матриц является фактом, что каждое невырожденное T имеет логарифм S в том смысле, что e ^S = T. Желательно иметь функциональное исчисление , что позволяет определить, для невырожденного Т , п ( Т ) так , что оно совпадает с S . Это невозможно сделать с помощью степенного ряда, например логарифмического ряда.

${\ displaystyle \ ln (z + 1) = z - {\ frac {z ^ {2}} {2}} + {\ frac {z ^ {3}} {3}} - \ cdots,}$

сходится только на открытом единичном диске. Подставляя Т для г в серии не дает четко определенное выражение для Ln ( T  +  I ) для обратимой T + I с ǁ Т ǁ ≥ 1. Таким образом , более общее функциональное исчисление необходимо.

Функциональное исчисление и спектр [ править ]

Ожидается , что необходимым условием е ( Т ) , чтобы сделать смысл е быть определена на спектре из T . Например, спектральная теорема для нормальных матриц утверждает, что каждая нормальная матрица унитарно диагонализуема. Это приводит к определению f ( T ), когда T нормален. Один сталкивается с трудностями , если е (λ) не определена для некоторого собственного значения λ от T .

Другие признаки также укрепить идею , что е ( Т ) может быть определена только тогда , когда F определена на спектре Т . Если T необратим, то (вспоминая, что T - матрица размера nxn) 0 - собственное значение. Поскольку натуральный логарифм не определен в 0, можно было бы ожидать, что ln ( T ) не может быть определено естественным образом. Это действительно так. Другой пример: для

${\ Displaystyle е (г) = {\ гидроразрыва {1} {(г-2) (г-5)}}}$

разумный способ вычисления f ( T ) может показаться

${\ Displaystyle f (T) = (T-2I) ^ {- 1} (T-5I) ^ {- 1}. \,}$

Тем не менее, это выражение не определенно , если обратно на правой стороне не существует, то есть, если либо 2 , либо 5 представляют собой собственные значения из T .

Для данной матрицы T собственные значения T определяют, в какой степени можно определить f ( T ); то есть, е (λ) должны быть определены для всех собственных Й от Т . Для общего ограниченного оператора это условие приводит к « F должна быть определена на спектре из Т ». Это предположение оказывается разрешающим условием, так что отображение функционального исчисления, f → f ( T ), имеет определенные желаемые свойства.

Функциональное исчисление для ограниченного оператора [ править ]

Пусть X комплексное банахово пространство и L ( X ) обозначим семейство ограниченных операторов на X .

Напомним интегральную формулу Коши из классической теории функций. Пусть f  : C → C голоморфна на некотором открытом множестве D ⊂ C , а Γ - спрямляемая жорданова кривая в D , т. Е. Замкнутая кривая конечной длины без самопересечений. Предположим , что множество U точек , лежащих в внутри Г, то есть таким образом, что обмотка число Г о г равно 1, содержится в D . Интегральная формула Коши утверждает

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta }$

для любого г в U .

Идея состоит в том, чтобы распространить эту формулу на функции, принимающие значения в банаховом пространстве L ( X ). Интегральная формула Коши предлагает следующее определение (пока чисто формальное):

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

где (ζ- Т ) ^-1 является резольвентное из T в точке г.

Предполагая, что этот банахов пространственнозначный интеграл определен надлежащим образом, предлагаемое функциональное исчисление подразумевает следующие необходимые условия:

1. Поскольку скалярная версия интегральной формулы Коши применима к голоморфному f , мы ожидаем, что это также будет иметь место для случая банахова пространства, где должно быть подходящее понятие голоморфности для функций, принимающих значения в банаховом пространстве L ( X ).
2. Поскольку резольвентное отображение ζ → (ζ− T ) ⁻¹ не определено на спектре T , σ ( T ), жорданова кривая Γ не должна пересекать σ ( T ). Теперь резольвентное отображение будет голоморфным на дополнении к σ ( T ). Итак, чтобы получить нетривиальное функциональное исчисление, Γ должно включать (по крайней мере, часть) σ ( T ).
3. Функциональное исчисление должно быть четко определено в том смысле, что f ( T ) не должна зависеть от Γ.

Полное определение функционального исчисления выглядит следующим образом: для T ∈ L ( X ) определим

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,}$

где f - голоморфная функция, определенная на открытом множестве D ⊂ C, содержащем σ ( T ), а Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } - набор непересекающихся жордановых кривых в D, ограничивающих «внутреннее» множество U , такое, что σ ( T ) лежит в U , и каждый γ _i ориентирован в граничном смысле.

Открытый набор D может изменяться в зависимости от f и не обязательно должен быть связан или просто связан , как показано на рисунках справа.

В следующих подразделах уточняются понятия, использованные в определении, и показано, что f ( T ) действительно хорошо определена при данных предположениях.

Банахов пространственнозначный интеграл [ править ]

Ср. Интеграл Бохнера

Для непрерывной функции g, определенной в открытой окрестности Γ и принимающей значения в L ( X ), контурный интеграл ∫ _Γ g определяется так же, как и для скалярного случая. Каждый γ _i ∈ Γ можно параметризовать вещественным интервалом [ a , b ], а интеграл - это предел сумм Римана, полученных из все более мелких разбиений [ a , b ]. Суммы Римана сходятся в равномерной операторной топологии . Мы определяем

${\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

В определении функционального исчисления предполагается , что f голоморфна в открытой окрестности Γ. Ниже будет показано, что резольвентное отображение голоморфно на резольвентном множестве. Следовательно, интеграл

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

имеет смысл.

Отображение резольвенты [ править ]

Отображение г → (ζ- Т ) ^-1 называется отображение резольвентное из T . Он определен на дополнении к σ ( T ), называется резольвентным множеством к T и будет обозначаться через ρ ( T ).

Большая часть классической теории функций зависит от свойств интеграла

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

Голоморфное функциональное исчисление похоже в том, что отображение резольвенты играет решающую роль в получении свойств, требуемых от хорошего функционального исчисления. В этом подразделе описываются свойства карты резольвенты, существенные в данном контексте.

Формула 1-й резольвенты [ править ]

Прямой расчет показывает, что для z ₁ , z ₂ ∈ ρ ( T )

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-z_{1})(z_{2}-T)^{-1}.\,}$

Следовательно,

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={\frac {(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}}{(z_{2}-z_{1})}}.}$

Это уравнение называется первой резольвентной формулой . Формула показывает, что ( z ₁ - T ) ⁻¹ и ( z ₂ - T ) ⁻¹ коммутируют, что указывает на то, что образ функционального исчисления будет коммутативной алгеброй. Если положить z ₂ → z _1, то резольвентное отображение (комплексно) дифференцируемо при каждом z ₁ ∈ ρ ( T ); поэтому интеграл в выражении функционального исчисления сходится в L ( X ).

Аналитичность [ править ]

Относительно резольвентной карты можно сделать более сильное утверждение, чем дифференцируемость. Резольвентное множество ρ ( T ) на самом деле является открытым множеством, на котором резольвентное отображение аналитично. Это свойство будет использоваться в последующих рассуждениях функционального исчисления. Чтобы проверить это утверждение, пусть z ₁ ∈ ρ ( T ) и заметит формальное выражение

${\displaystyle {\frac {1}{z_{2}-T}}={\frac {1}{z_{1}-T}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z_{1}-z_{2}}{z_{1}-T}}}}}$

предлагает рассмотреть

${\displaystyle (z_{1}-T)^{-1}\sum _{n\geq 0}\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}\right)^{n}}$

для ( z ₂ - T ) ⁻¹ . Приведенный выше ряд сходится в L ( X ), откуда следует существование ( z ₂ - T ) ⁻¹ , если

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<{\frac {1}{\left\|(z_{1}-T)^{-1}\right\|}}.}$

Следовательно, резольвентное множество ρ ( T ) открыто, и выражение степенного ряда на открытом диске с центром в точке z ₁ ∈ ρ ( T ) показывает, что резольвентное отображение аналитично на ρ ( T ).

Серия Неймана [ править ]

Также будет полезно другое выражение для ( z - T ) ⁻¹ . Формальное выражение

${\displaystyle {\frac {1}{z-T}}={\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {T}{z}}}}}$

заставляет задуматься

${\displaystyle {\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

Этот ряд, ряд Неймана , сходится к ( z - T ) ^−1, если

${\displaystyle \left\|{\frac {T}{z}}\right\|<1,\;{\text{i.e.}}\;|z|>\|T\|.}$

Компактность σ ( T ) [ править ]

Из двух последних свойств резольвенты мы можем сделать вывод , что σ - спектра ( Т ) ограниченным оператором Т представляет собой компактное подмножество C . Следовательно, для любого открытого множества D такого, что σ ( T ) ⊂ D , существует положительно ориентированная и гладкая система жордановых кривых Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } такая, что σ ( T ) находится внутри из Г и дополнения D содержится в наружной Г. Следовательно, для определения функционального исчисления действительно можно найти подходящее семейство жордановых кривых для каждого f , голоморфного на некотором D.

Четкость [ править ]

Предыдущее обсуждение показало, что интеграл имеет смысл, т. Е. Подходящий набор Γ жордановых кривых действительно существует для каждого f, и интеграл сходится в подходящем смысле. Не было показано, что определение функционального исчисления однозначно, т.е. не зависит от выбора Γ. Этот вопрос мы сейчас пытаемся решить.

Предварительный факт [ править ]

Для набора жордановых кривых Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } и точки a ∈ C число витков кривой Γ относительно a является суммой чисел витков его элементов. Если мы определим:

${\displaystyle n(\Gamma ,a)=\sum \nolimits _{i}n(\gamma _{i},a),}$

следующая теорема принадлежит Коши:

Теорема. Пусть G ⊂ C открытое множество и Γ ⊂ G . Если g  : G → C голоморфен и для всех a в дополнении к G , n (Γ, a ) = 0, то контурный интеграл g на Γ равен нулю.

Нам понадобится векторнозначный аналог этого результата, когда g принимает значения в L ( X ). Для этого пусть g  : G → L ( X ) голоморфен, с теми же условиями на Γ. Идея состоит в том, чтобы использовать двойственное пространство L ( X ) * к L ( X ) и перейти к теореме Коши для скалярного случая.

Рассмотрим интеграл

${\displaystyle \int _{\Gamma }g\in L(X),}$

если мы можем показать, что все φ ∈ L ( X ) * обращаются в нуль на этом интеграле, то сам интеграл должен быть равен нулю. Поскольку φ ограничена и интеграл сходится по норме, имеем:

${\displaystyle \phi \left(\int _{\Gamma }g\right)=\int _{\Gamma }\phi (g).}$

Но g голоморфна, поэтому композиция φ ( g ): G ⊂ C → C голоморфна и, следовательно, по теореме Коши

${\displaystyle \int _{\Gamma }\phi (g)=0.}$

Главный аргумент [ править ]

Правильность определения функционального исчисления теперь является простым следствием. Пусть D - открытое множество, содержащее σ ( T ). Предположим, что Γ = {γ _i } и Ω = {ω _j } - два (конечных) набора жордановых кривых, удовлетворяющих предположению, данному для функционального исчисления. Мы хотим показать

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

Пусть Ω ′ получается из Ω изменением ориентации каждого ω _j , тогда

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =-\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .}$

Рассмотрим объединение двух наборов Γ ∪ Ω ′. И Γ ∪ Ω ′, и σ ( T ) компактны. Таким образом , есть некоторое открытое множество U , содержащее такие , что σ (T ∪ Q ' T ) лежит в дополнении U . Любой элемент a в дополнении к U имеет номер поворота n (Γ ∪ Ω ′, a ) = 0 ^{[ требуется пояснение ]} и функция

${\displaystyle \zeta \rightarrow {\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}}$

голоморфна на U . Таким образом, векторная версия теоремы Коши дает

${\displaystyle \int _{\Gamma \cup \Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0}$

т.е.

${\displaystyle \int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta +\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta -\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0.}$

Следовательно, функциональное исчисление хорошо определено.

Следовательно, если f ₁ и f ₂ - две голоморфные функции, определенные в окрестностях D ₁ и D ₂ σ ( T ), и они равны на открытом множестве, содержащем σ ( T ), то f ₁ ( T ) = f ₂ ( T ). Более того, даже если D ₁ может не быть D ₂ , оператор ( f ₁ + f ₂ ) ( T ) определен правильно. То же верно и для определения ( f ₁· F ₂ ) ( Т ).

В предположении, что f голоморфна над открытой окрестностью σ ( T ) [ править ]

До сих пор это предположение не использовалось в полной мере. Для сходимости интеграла использовалась только непрерывность. Для корректности нам нужно только, чтобы f была голоморфна на открытом множестве U, содержащем контуры Γ ∪ Ω ′, но не обязательно σ ( T ). Предположение будет применяться в полном объеме для демонстрации свойства гомоморфизма функционального исчисления.

Свойства [ править ]

Полиномиальный регистр [ править ]

Линейность отображения f ↦ f ( T ) следует из сходимости интеграла и непрерывности линейных операций в банаховом пространстве.

Мы восстанавливаем полиномиальное функциональное исчисление, когда f ( z ) = ∑ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱ - многочлен. Чтобы доказать это, достаточно показать, что при k ≥ 0 и f ( z ) = z ^k верно, что f ( T ) = T ^k , т. Е.

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

для любого подходящего Γ, охватывающего σ ( T ). Выберите Г , чтобы быть круг, радиус которого больше оператора нормы Т . Как было сказано выше, на таком Γ резольвентное отображение допускает представление степенного ряда

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

Подстановка дает

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

который

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

Δ - символ Кронекера.

Свойство гомоморфизма [ править ]

Для любых f ₁ и f _2, удовлетворяющих соответствующим предположениям, свойство гомоморфизма утверждает

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

Мы набросаем аргумент, который вызывает первую резольвентную формулу и предположения, сделанные на f . Сначала выберем жордановы кривые так, чтобы Γ ₁ лежала внутри Γ ₂ . Причина этого станет ясна ниже. Начните с расчета напрямую

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

Последняя строка следует из того факта, что ω ∈ Γ ₂ лежит вне Γ _1, а f ₁ голоморфна в некоторой открытой окрестности σ ( T ), поэтому второе слагаемое обращается в нуль. Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

Непрерывность относительно компактной сходимости [ править ]

Пусть G ⊂ C быть открытым с σ ( Т ) ⊂ G . Предположим, что последовательность { f _k } голоморфных функций на G сходится равномерно на компактных подмножествах G (иногда это называется компактной сходимостью ). Тогда { f _k ( T )} сходится в L ( X ):

Предположим для простоты, что Γ состоит только из одной жордановой кривой. Мы оцениваем

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

Комбинируя предположение о равномерной сходимости и различные соображения непрерывности, мы видим, что указанное выше стремится к 0 при k , l → ∞. Итак, { f _k ( T )} коши, следовательно, сходится.

Уникальность [ править ]

Подводя итог, мы показали, что голоморфное функциональное исчисление f → f ( T ) обладает следующими свойствами:

1. Он расширяет полиномиальное функциональное исчисление.
2. Это гомоморфизм алгебры алгебры голоморфных функций, определенных в окрестности σ ( T ), в L ( X ).
3. Он сохраняет равномерную сходимость на компактах.

Можно доказать, что исчисление, удовлетворяющее указанным выше свойствам, единственно.

Отметим , что все обсуждали до сих пор держат дословно , если семейство ограниченных операторов L ( X ) заменяются на банаховую алгебру A . Функциональное исчисление может быть определена точно так же , как для элемента в A .

Спектральные соображения [ править ]

Теорема о спектральном отображении [ править ]

Известно , что теорема об отображении спектра имеет место для полинома функционального исчисления: для любого полинома р , σ ( р ( Т )) = р ( σ ( Т )). Это можно распространить на голоморфное исчисление. Чтобы показать, что f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T )), пусть μ - любое комплексное число. По результату комплексного анализа существует функция g, голоморфная в окрестности σ ( T ) такая, что

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

Согласно свойству гомоморфизма f ( T ) -  f ( μ ) = ( T  -  μ ) g ( T ). Следовательно, из μ ∈ σ ( T ) следует f ( μ ) ∈ σ ( f ( T )).

Для другого включения, если μ не входит в f ( σ ( T )), то функциональное исчисление применимо к

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

Таким образом , г ( Т ) ( е ( Т ) - μ ) = I . Следовательно, μ не лежит в σ ( f ( T )).

Спектральные проекции [ править ]

Основная идея заключается в следующем. Предположим, что K - подмножество σ ( T ), а U , V - непересекающиеся окрестности K и σ ( T ) \  K соответственно. Определим е ( г ) = 1 , если г ∈ U и е ( г ) = 0 , если г ∈ V . Тогда e - голоморфная функция с [ e ( z )] ² = e ( z), а значит, для подходящего контура Γ, лежащего в U ∪ V и охватывающего σ ( T ), линейный оператор

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

будет ограниченной проекцией, которая коммутирует с T и предоставляет много полезной информации.

Оказывается, этот сценарий возможен тогда и только тогда, когда K одновременно открыто и замкнуто в топологии подпространства на σ ( T ). Более того, множество V можно спокойно игнорировать, поскольку e на нем равно нулю и, следовательно, не дает вклада в интеграл. Проекция e ( T ) называется спектральной проекцией T в K и обозначается P ( K ; T ). Таким образом, каждое подмножество K в σ ( T), которая одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства, имеет ассоциированную спектральную проекцию, задаваемую

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

где Γ - контур, охватывающий K, но никакие другие точки σ ( T ).

Поскольку P = P ( K ; T ) ограничен и коммутирует с T, это позволяет выразить T в виде U ⊕ V, где U = T | _PX и V = T | _{(1- Р ) Х} . И PX, и (1 -  P ) X являются инвариантными подпространствами в T, причем σ ( U ) = K и σ ( V ) =σ ( Т ) \  К . Ключевое свойство - взаимная ортогональность. Если L - другое открытое и замкнутое множество в топологии подпространств на σ ( T ), то P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ), который равен нулю, если K и L не пересекаются.

Спектральные проекции имеют множество приложений. Любая изолированная точка σ ( T ) одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства и, следовательно, имеет ассоциированную спектральную проекцию. Когда X имеет конечную размерность, σ ( T ) состоит из изолированных точек, и результирующие спектральные проекции приводят к варианту жордановой нормальной формы, в которой все жордановые блоки, соответствующие одному и тому же собственному значению, объединяются. Другими словами, на каждое собственное значение приходится ровно один блок. В следующем разделе это разложение рассматривается более подробно.

Иногда спектральные проекции наследуют свойства от своих родительских операторов. Например, если T - положительная матрица со спектральным радиусом r, то теорема Перрона – Фробениуса утверждает, что r ∈ σ ( T ). Соответствующая спектральная проекция P = P ( r ; T ) также положительна, и по взаимной ортогональности никакая другая спектральная проекция не может иметь положительной строки или столбца. Фактически TP = rP и ( T / r ) ⁿ → P при n→ ∞ так , эта проекция Р (которая называется проекцией перроновской) аппроксимирует ( Т / г ) ^п , как п возрастает, и каждый из его столбцов является собственным вектором  Т .

В более общем смысле, если Т представляет собой компактный оператор , то все ненулевые точки в о ( Т ) изолированы и поэтому любое конечное подмножество из них может быть использовано для разложения T . Соответствующая спектральная проекция всегда имеет конечный ранг. Те операторы в L ( X ) с подобными спектральными характеристиками известны как операторы Рисса . Многие классы операторов Рисса (включая компактные операторы) являются идеалами в L ( X ) и предоставляют обширное поле для исследований. Однако, если X - гильбертово пространство, существует ровно один замкнутый идеал, зажатый между операторами Рисса и операторами конечного ранга.

Большая часть предшествующего обсуждения может быть помещена в более общий контекст комплексной банаховой алгебры . Здесь спектральные проекции называются спектральными идемпотентами, поскольку для них больше не может быть места для проецирования.

Разложение инвариантного подпространства [ править ]

Если спектр σ ( T ) несвязен, X можно разложить на инвариантные подпространства T с помощью функционального исчисления. Пусть σ ( T ) - несвязное объединение

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

Определите e _i равным 1 в некоторой окрестности, которая содержит только компонент F _i и 0 в другом месте. По свойству гомоморфизма e _i ( T ) является проектором для всех i . Фактически это просто спектральная проекция P ( F _i ; T ), описанная выше. Отношение e _i ( T ) T = T e _i ( T ) означает диапазон каждого e _i ( T ), обозначаемый X _i, Инвариантное подпространство Т . С

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

X можно выразить через эти дополнительные подпространства:

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

Аналогично, если Т _я является Т ограничен X _я , то

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

Рассмотрим прямую сумму

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

С нормой

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

X ' - банахово пространство. Отображение R : X ' → X, определенное равенством

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

является изоморфизмом банаховых пространств, и мы видим, что

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

Это можно рассматривать как блок - диагонализацию Т .

Когда X конечномерно, σ ( T ) = { λ _i } - конечный набор точек на комплексной плоскости. Выберите e _i равным 1 на открытом диске, содержащем только λ _i из спектра. Соответствующая блочно-диагональная матрица

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

является Иордания каноническая форма из T .

Похожие результаты [ править ]

При более сильных предположениях, когда T - нормальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , область функционального исчисления может быть расширена. При сравнении двух результатов можно провести грубую аналогию со связью между спектральной теоремой для нормальных матриц и жордановой канонической формой. Когда T - нормальный оператор, можно получить непрерывное функциональное исчисление , то есть можно вычислить f ( T ), где f - непрерывная функция, определенная на σ ( T ). Используя аппарат теории меры, это можно распространить на функции, которые толькоизмеримы (см. функциональное исчисление Бореля ). В этом контексте, если E ⊂ σ ( T ) - борелевское множество, а E ( x ) - характеристическая функция E , оператор проекции E ( T ) является уточнением e _i ( T ), рассмотренным выше.

Функциональное исчисление Бореля распространяется на неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

Говоря несколько более абстрактным языком, голоморфное функциональное исчисление может быть расширено до любого элемента банаховой алгебры , используя по существу те же аргументы, что и выше. Аналогично, непрерывное функциональное исчисление справедливо для нормальных элементов в любой C * -алгебре и измеримое функциональное исчисление для нормальных элементов в любой алгебре фон Неймана .

Неограниченные операторы [ править ]

Аналогичным образом можно определить голоморфное функциональное исчисление для неограниченных замкнутых операторов с непустым резольвентным множеством.

См. Также [ править ]

• Резольвентный формализм
• Каноническая форма Жордана , где довольно подробно обсуждается конечномерный случай.

Ссылки [ править ]

• Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, Часть I: Общая теория , Междунаука, 1958.
• Стивен Кранц. Словарь по алгебре, арифметике и тригонометрии . CRC Press, 2000. ISBN  1-58488-052-X .
• Исраэль Гохберг, Сеймур Голдберг и Маринус А. Каашук, Классы линейных операторов: Том 1 . Birkhauser, 1991. ISBN 978-0817625313 .