Вся функция

В комплексном анализе , целая функция , также называется интегральная функцией, является -комплекснозначной функцией , которая голоморфна во всех конечных точках над всем на комплексной плоскости . Типичными примерами целых функций являются полиномы и экспоненциальная функция , а также любые их конечные суммы, произведения и композиции, такие как тригонометрические функции синус и косинус и их гиперболические аналоги sinh и cosh , а также производные и интегралы.целых функций, таких как функция ошибок . Если целая функция f ( z ) имеет корень в w , то f ( z ) / ( z − w ), принимая предельное значение в w , является целой функцией. С другой стороны, ни натуральный логарифм, ни квадратный корень не являются целой функцией и не могут быть продолжены аналитически до целой функции.

Трансцендентная целая функция есть целая функция , которая не является многочлен.

Свойства [ править ]

Каждую целую функцию f ( z ) можно представить в виде степенного ряда

${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п} г ^ {п}}$

который сходится всюду в комплексной плоскости, а значит, и равномерно на компактах . Радиус сходимости бесконечен, что означает , что

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | a_ {n} | ^ {\ frac {1} {n}} = 0}$

или же

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln | a_ {n} |} {n}} = - \ infty.}$

Любой степенной ряд, удовлетворяющий этому критерию, будет представлять целую функцию.

Если (и только если) коэффициенты степенного ряда являются все реально , то функция , очевидно , принимает действительные значения для действительных аргументов, а значение функции на комплексно сопряженное от г будет комплексно сопряженное значения в г . Такие функции иногда называют самосопряженными (сопряженная функция, задается ^[1]${\ Displaystyle F ^ {*} (г)}$${\ displaystyle {\ bar {F}} ({\ bar {z}})).}$

Если действительная часть целой функции известна в окрестности точки, то и действительная, и мнимая части известны для всей комплексной плоскости с точностью до мнимой константы. Например, если действительная часть известна в окрестности нуля, то мы можем найти коэффициенты для n > 0 из следующих производных по действительной переменной r :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} a_{n}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\operatorname {Re} f(r)&&{\text{at }}r=0\\\operatorname {Im} a_{n}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\operatorname {Re} f\left(re^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)&&{\text{at }}r=0\end{aligned}}}$

(Точно так же, если мнимая часть известна в окрестности, тогда функция определяется с точностью до действительной константы.) На самом деле, если действительная часть известна только на дуге окружности, то функция определяется с точностью до мнимой постоянный. (Например, если действительная часть известна на части единичной окружности, то она известна на всей единичной окружности аналитическим расширением , а затем коэффициенты бесконечного ряда определяются из коэффициентов ряда Фурье для действительного части на единичном круге.) Обратите внимание, что функция целиком неопределяется его действительной частью на всех кривых. В частности, если действительная часть задана на любой кривой на комплексной плоскости, где действительная часть некоторой другой целой функции равна нулю, то любое кратное этой функции может быть добавлено к функции, которую мы пытаемся определить. Например, если кривая, на которой известна действительная часть, является реальной линией, то мы можем добавить i раз любую самосопряженную функцию. Если кривая образует петлю, то она определяется действительной частью функции на петле, поскольку единственные функции, действительная часть которых равна нулю на кривой, - это те, которые всюду равны некоторому мнимому числу.

Теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что любая целая функция может быть представлена ​​произведением, содержащим ее нули (или «корни»).

Целые функции на комплексной плоскости образуют область целостности (фактически область Прюфера ). Они также образуют коммутативную унитальную ассоциативную алгебру над комплексными числами.

Теорема Лиувилля утверждает, что любая ограниченная целая функция должна быть постоянной. Теорема Лиувилля может быть использована для элегантного доказательства фундаментальной теоремы алгебры .

Как следствие теоремы Лиувилля, любая функция, целая на всей сфере Римана (комплексная плоскость и бесконечно удаленная точка), является постоянной. Таким образом, любая непостоянная целая функция должна иметь особенность в комплексной точке на бесконечности , либо полюс для многочлена, либо существенную особенность для трансцендентной целой функции. В частности, по теореме Казорати – Вейерштрасса для любой трансцендентной целой функции f и любого комплексного w существует последовательность такая, что ${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w.}$

Маленькая теорема Пикарда - гораздо более сильный результат: любая непостоянная целая функция принимает каждое комплексное число как значение, возможно, за одним исключением. Когда существует исключение, оно называется лакунарным значением функции. Возможность лакунарного значения иллюстрируется экспоненциальной функцией , которая никогда не принимает значение 0. Можно выбрать подходящую ветвь логарифма целой функции, которая никогда не достигает 0, так что это также будет целая функция (согласно к теореме факторизации Вейерштрасса). Логарифм соответствует каждому комплексному числу, за исключением, возможно, одного числа, что означает, что первая функция будет попадать в любое значение, кроме 0, бесконечное количество раз. Точно так же непостоянная, целая функция, которая не достигает определенного значения, будет встречаться с каждым другим значением бесконечное количество раз.

Теорема Лиувилля является частным случаем следующего утверждения:

Теорема. Предположим, что M, R - положительные константы, а n - целое неотрицательное число. Целая функция f, удовлетворяющая неравенству для всех z с , обязательно является многочленом степени не выше n . ^[2] Аналогично, целая функция f, удовлетворяющая неравенству для всех z с , обязательно является многочленом степени не менее n .${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$${\displaystyle |z|\geq R,}$${\displaystyle M|z|^{n}\leq |f(z)|}$${\displaystyle |z|\geq R,}$

Рост [ править ]

Целые функции могут расти так же быстро, как и любая возрастающая функция: для любой возрастающей функции g : [0, ∞) → [0, ∞) существует целая функция f такая, что f ( x )> g (| x |) для всех действительных х . Такую функцию f легко найти в виде:

${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$

для константы c и строго возрастающей последовательности натуральных чисел n _k . Любая такая последовательность определяет целую функцию f ( z ), и если мощности выбраны надлежащим образом, мы можем удовлетворить неравенство f ( x )> g (| x |) для всех действительных x . (Например, это определенно верно, если выбрать c  : = g (2) и для любого целого числа выбрать четный показатель такой, что ).${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

Порядок и тип [ править ]

Порядок (на бесконечности) целой функции определяется с использованием предела превосходит как:${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$

где В _г есть круг радиуса г и обозначает супремум норму о на B _г . Порядок - неотрицательное действительное число или бесконечность (кроме случаев, когда все z ). Другими словами, порядок - это точная нижняя грань всех m таких, что: ${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(z)=0}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$

Пример показывает, что это не означает, что f ( z ) = O (exp (| z | ^m )), если имеет порядок m .${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$${\displaystyle f(z)}$

Если можно также определить тип :${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$

Если порядок равен 1, а тип равен σ , функция называется « экспоненциального типа σ ». Если его порядок меньше 1, говорят, что он имеет экспоненциальный тип 0.

Если

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

то порядок и тип можно найти по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$

Пусть обозначают п - ^й производной е , то мы можем переформулировать эти формулы в терминах производных в любой произвольной точке г ₀ :${\displaystyle f^{(n)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$

Тип может быть бесконечным, как в случае обратной гамма-функции , или нулевым (см. Пример ниже под #Order 1 ).

Примеры [ править ]

Вот несколько примеров функций разного порядка:

Заказ ρ [ править ]

Для произвольных положительных чисел ρ и σ можно построить пример целой функции порядка ρ и типа σ, используя:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$

Заказ 0 [ править ]

• Ненулевые многочлены
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

Заказ 1/4 [ править ]

${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$

куда

${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$

Заказ 1/3 [ править ]

${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$

куда

${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$

Заказ 1/2 [ править ]

${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$с a ≠ 0 (для которого тип задается как σ = | a |)

Заказ 1 [ править ]

• exp ( az ) с a 0 ( σ = | a |)
• грех ( г )
• cosh ( z )
• функции Бесселя J ₀ ( г ) ^{[ править ]}
• обратная гамма - функция 1 / Γ ( г ) ( σ бесконечна)
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

Заказ 3/2 [ править ]

• Функция Эйри Ai ( z )

Заказ 2 [ править ]

• exp (- az ² ) с a ≠ 0 ( σ = | a |)

Бесконечность порядка [ править ]

• ехр (ехр ( г ))

Род [ править ]

Целые функции конечного порядка имеют каноническое представление Адамара :

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$

где те корни из , которые не равны нулю ( ), является порядок нуля в (случае принимаются для среднего ), многочлен (степень которого мы будем называть ), а наименьшее неотрицательное целое число такое , что серии${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{k}\neq 0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$

сходится. Неотрицательное целое число называется родом всей функции .${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$${\displaystyle f}$

Если порядок ρ не является целым числом, то является целой частью . Если порядок является положительным целым числом, есть две возможности: или .${\displaystyle g=\lbrack \rho \rbrack }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g=\rho -1}$${\displaystyle g=\rho }$

Например, и являются целыми функциями рода 1 .${\displaystyle \sin ,\cos }$${\displaystyle \exp }$

Другие примеры [ править ]

Согласно Дж. Литтлвуду , сигма-функция Вейерштрасса является «типичной» целой функцией. Это утверждение можно уточнить в теории случайных целых функций: асимптотическое поведение почти всех целых функций аналогично поведению сигма-функции. Другие примеры включают интегралы Френеля , тета-функцию Якоби и обратную гамма-функцию . Экспоненциальная функция и функция ошибок являются частными случаями функции Миттаг-Леффлера . Согласно основной теореме Пэли и Винера , преобразования Фурье функций (или распределений) с ограниченным носителем являются целыми функциями порядка1 и конечного типа.

Другими примерами являются решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Если коэффициент при старшей производной постоянен, то все решения таких уравнений являются целыми функциями. Например, экспоненциальная функция, синус, косинус, Эйри функция и цилиндрические функции Параболических возникают в этом случае. Класс целых функций замкнут относительно композиций. Это дает возможность изучать динамику целых функций .

Целая функция квадратного корня из комплексного числа является целой, если , например, исходная функция является четной .${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

Если последовательность многочленов, все корни которых действительны, сходится в окрестности начала координат к пределу, не равному тождественно нулю, то этот предел является целой функцией. Такие целые функции образуют класс Лагерра – Полиа , который также можно охарактеризовать в терминах произведения Адамара, а именно, f принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда в представлении Адамара все z _n действительны, p ≤ 1 и P ( z ) = a + bz + cz ² , где b и c действительны, а c ≤ 0. Например, последовательность многочленов

${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$

сходится при увеличении n к exp (- ( z - d ) ² ). Полиномы

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$

имеют все действительные корни и сходятся к cos ( z ). Полиномы

${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$

также сходятся к cos ( z ), показывая рост произведения Адамара для косинуса.

См. Также [ править ]

• Формула Дженсена
• Теорема Карлсона
• Экспоненциальный тип
• Теорема Пэли – Винера.
• Теория Вимана-Валирона

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Боас, Ральф П. (1954). Целые функции . Академическая пресса. ISBN 9780080873138. OCLC  847696 .
• Левин, Б.Я. (1980) [1964]. Распределение нулей целых функций . Амер. Математика. Soc. ISBN 978-0-8218-4505-9.
• Левин, Б.Я. (1996). Лекции по целым функциям . Амер. Математика. Soc. ISBN 978-0-8218-0897-9.