Функция ошибки

График функции ошибок

В математике функция ошибок (также называемая функцией ошибок Гаусса ), часто обозначаемая erf , является сложной функцией комплексной переменной, определяемой как: ^[1]

${\ displaystyle \ operatorname {erf} z = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} \, dt.}$

Этот интеграл представляет собой специальную ( неэлементарную ) сигмовидную функцию, которая часто встречается в уравнениях вероятности , статистики и дифференциальных уравнений в частных производных . Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, то значение функции также является действительным.

В статистике для неотрицательных значений x функция ошибок имеет следующую интерпретацию: для случайной величины Y, которая нормально распределена со средним значением 0 и дисперсией 1/2, erf x - это вероятность того, что Y попадает в диапазон [- х , х ] .

Две тесно связанные функции - это дополнительная функция ошибок ( erfc ), определяемая как

${\ Displaystyle \ OperatorName {ERFC} Z = 1- \ OperatorName {ERF} Z,}$

и функция мнимой ошибки ( erfi ), определяемая как

${\ displaystyle \ operatorname {erfi} z = -i \ operatorname {erf} (iz),}$

где i - мнимая единица .

Имя [ редактировать ]

Название «функция ошибок» и его сокращение erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. в связи с его связью с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». ^[2] Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. ^[3] Для "закона легкости" ошибок, плотность которых определяется как

${\ displaystyle f (x) = \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между и как:${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {c} {\ pi}} \ right) ^ {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ operatorname {erf} (q {\ sqrt {c}}) - \ operatorname {erf} (p {\ sqrt {c}}) \ right) .}$

Приложения [ править ]

Когда результаты серии измерений описываются нормальным распределением со стандартным отклонением и ожидаемым значением 0, тогда вероятность того, что ошибка одного измерения находится между - a и + a , для положительного a . Это полезно, например, при определении частоты ошибок по битам в цифровой системе связи.${\ displaystyle \ sigma}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {erf} \left({\frac {a}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

Функции ошибок и дополнительных ошибок возникают, например, в решениях уравнения теплопроводности, когда граничные условия задаются ступенчатой ​​функцией Хевисайда .

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые имеют высокую или низкую вероятность. Учитывая случайную величину и константу :${\displaystyle X\sim \operatorname {Norm} [\mu ,\sigma ]}$${\displaystyle L<\mu }$

${\displaystyle \Pr[X\leq L]={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)}$

где A и B - некоторые числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, т. Е. Тогда:${\displaystyle \mu -L\geq \sigma {\sqrt {\ln {k}}}}$

${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$

так что вероятность идет к 0 как .${\displaystyle k\to \infty }$

Свойства [ править ]

Свойство означает, что функция ошибок является нечетной функцией . Это напрямую связано с тем, что подынтегральная функция является четной функцией .${\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}$${\displaystyle e^{-t^{2}}}$

Для любого комплексного числа z :

${\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}$

где это комплексно сопряженное из г .${\displaystyle {\overline {z}}}$

Подынтегральное выражение f  = exp (- z ² ) и f  = erf ( z ) показано на комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im ( f ) = 0 показан жирной зеленой линией. Отрицательные целые значения Im ( f ) показаны толстыми красными линиями. Положительные целые значения Im ( f ) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im ( f ) = constant показаны тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re ( f ) = constant показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Интеграл Гаусса ). На действительной оси erf ( z ) стремится к единице при z  → + ∞ и к −1 при z  → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i ∞.

Серия Тейлор [ править ]

Функция ошибок - это целая функция ; у него нет сингулярностей (кроме бесконечности), и его разложение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[...] его плохая сходимость, если x> 1». ^[4]

Определяющий интеграл не может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций , но, раскладывая подынтегральное выражение e ^{- z 2} в его ряд Маклорена и интегрируя член за членом, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)}$

которое выполняется для любого комплексного числа  z . Члены знаменателя - это последовательность A007680 в OEIS .

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}$

потому что выражает множитель , чтобы повернуть K - ^й член в ( K  + 1) ^й срок ( с учетом г в качестве первого члена).${\displaystyle {\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}}$

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)}$

которое выполняется для любого комплексного числа  z .

Производные и интегральные [ править ]

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$

Первообразная функции ошибки, получаемый путем интегрирования по частям , является

${\displaystyle z\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Первообразной функции мнимой ошибки, которую также можно получить интегрированием по частям, является

${\displaystyle z\operatorname {erfi} (z)-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

Производные высшего порядка даются формулами

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}(z)={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {d^{k-1}}{dz^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$

где - полиномы Эрмита физиков . ^[5]${\displaystyle {\mathit {H}}}$

Серия Bürmann [ править ]

Разложение ^[6], которое сходится быстрее для всех действительных значений, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана : ^[7]${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}}$

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая, и полученное приближение показывает свою наибольшую относительную ошибку в том месте, где она меньше, чем :${\displaystyle c_{1}={\frac {31}{200}}}$${\displaystyle c_{2}=-{\frac {341}{8000}},}$${\displaystyle x=\pm 1.3796,}$${\displaystyle 3.6127\cdot 10^{-3}}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$

Обратные функции [ править ]

Учитывая комплексное число z , не существует уникального комплексного числа w , которому удовлетворяет , поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако при -1 < х <1 , существует единственное реальное число , обозначаемое удовлетворяющих${\displaystyle \operatorname {erf} (w)=z}$${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(x)\right)=x.}$

Функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (-1,1), и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить на диск | z | <1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

где c ₀ = 1 и

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.}$

Итак, у нас есть расширение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$

(После отмены дроби числителя / знаменателя являются записями OEIS :  A092676 / OEIS :  A092677 в OEIS ; без отмены члены числителя приведены в записи OEIS :  A002067 .) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

Для | z | <1 , имеем .${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}(z)\right)=z}$

Обратная дополнительная функция ошибок определяются как

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$

Для действительного x существует уникальное действительное число, удовлетворяющее . Функция обратной мнимой ошибки определяется как . ^[8]${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$${\displaystyle \operatorname {erfi} \left(\operatorname {erfi} ^{-1}(x)\right)=x}$${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$

Для любого вещественного х , метод Ньютона может быть использован для вычислений , и , следующие сходится ряд Маклорена:${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(x)}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$

где c _k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение [ править ]

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших вещественных x :

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},}$

где (2 n  - 1) !! - двойной факториал числа (2 n  - 1), который является произведением всех нечетных чисел до (2 n  - 1). Эта серия расходится для любого конечного х , и его значение в качестве асимптотического разложения является то, что для любого из них имеет${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}+R_{N}(x)}$

где остаток в обозначениях Ландау равен

${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{1-2N}e^{-x^{2}}\right)}$

в виде ${\displaystyle x\to \infty .}$

Действительно, точное значение остатка равно

${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,dt,}$

что легко следует по индукции, записывая

${\displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'}$

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc ( x ) (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость) .

Продолжение дроби [ править ]

Цепная дробь расширение дополнительной функции ошибок является следующим : ^[9]

${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса [ править ]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {erf} \left(ax+b\right){\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx=\operatorname {erf} \left[{\frac {a\mu +b}{\sqrt {1+2a^{2}\sigma ^{2}}}}\right],\qquad a,b,\mu ,\sigma \in \mathbb {R} }$

Из Нг и Геллера, формула 13 в разделе 4.3. ^[10]

Факториальный ряд [ править ]

• Обратный факторный ряд :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}Q_{n}}{{(z^{2}+1)}^{\bar {n}}}}\\&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left(1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{(z^{2}+1)(z^{2}+2)}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$

сходится здесь${\displaystyle \operatorname {Re} (z^{2})>0.}$

${\displaystyle Q_{n}{\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {1}{\Gamma (1/2)}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-1/2}e^{-\tau }d\tau =\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),}$   

${\displaystyle z^{\bar {n}}}$обозначает возрастающий факториал и обозначает число Стирлинга первого рода со знаком . ^{[11] [12]}${\displaystyle s(n,k)}$

• Представление бесконечной суммой, содержащей двойной факториал :

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$

Численные приближения [ править ]

Аппроксимация с элементарными функциями [ править ]

• Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с различной точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности это:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4})^{4}}},\qquad x\geq 0}$

(максимальная ошибка: 5 × 10 ⁻⁴ )

где a ₁  = 0,278393, a ₂  = 0,230389, a ₃  = 0,000972, a ₄  = 0,078108

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$    (максимальная ошибка: 2,5 × 10 ⁻⁵ )

где p  = 0,47047, a ₁  = 0,3480242, a ₂  = −0,0958798, a ₃  = 0,7478556

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-{\frac {1}{(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6})^{16}}},\qquad x\geq 0}$    (максимальная ошибка: 3 × 10 ⁻⁷ )

где a ₁  = 0,0705230784, a ₂  = 0,0422820123, a ₃  = 0,0092705272, a ₄  = 0,0001520143, a ₅  = 0,0002765672, a ₆  = 0,0000430638

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx 1-(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5})e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$    (максимальная ошибка: 1,5 × 10 ⁻⁷ )

где p  = 0,3275911, a ₁  = 0,254829592, a ₂  = −0,284496736, a ₃  = 1,421413741, a ₄  = −1,453152027, a ₅  = 1,061405429.

Все эти приближения действительны для x  ≥ 0. Чтобы использовать эти приближения для отрицательных x , используйте тот факт, что erf (x) - нечетная функция, поэтому erf ( x ) = −erf (- x ).

• Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок даны в ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},\qquad x>0\\\operatorname {erfc} (x)&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},\qquad x>0.\end{aligned}}}$

• Вышеупомянутые были обобщены на суммы экспонент ^[14] с возрастающей точностью в терминах, так что их можно точно аппроксимировать или ограничить , где${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$${\displaystyle 2{\tilde {Q}}({\sqrt {2}}x)}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$

В частности, существует систематическая методология решать числовые коэффициенты , которые дают минимаксное приближение или связанные для тесно связана Q-функции : , или для . Коэффициенты для многих вариаций экспоненциальных приближений и оценок были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных. ^[15]${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$${\displaystyle Q(x)\approx {\tilde {Q}}(x)}$${\displaystyle Q(x)\leq {\tilde {Q}}(x)}$${\displaystyle Q(x)\geq {\tilde {Q}}(x)}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \{(a_{n},b_{n})\}_{n=1}^{N}}$${\displaystyle N=25}$

• Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для дается Karagiannidis & Lioumpas (2007) ^[16], которые показали при соответствующем выборе параметров, что${\displaystyle x\in [0,\infty )}$${\displaystyle \{A,B\}}$

${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$

Они определили, что дает хорошее приближение для всех . Также доступны альтернативные коэффициенты для настройки точности для конкретного приложения или преобразования выражения в жесткую границу. ^[17]${\displaystyle \{A,B\}=\{1.98,1.135\},}$${\displaystyle x\geq 0}$

• Одноканальная нижняя граница ^[18]

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\beta >1,}$

где параметр β может быть выбран так, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале аппроксимации.

• Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»: ^{[19] [20] : 2–3}

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$

где

${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и в окрестности бесконечности, а относительная ошибка меньше 0,00035 для всех действительных x . Использование альтернативного значения a  ≈ 0,147 снижает максимальную относительную ошибку примерно до 0,00013. ^[21]

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln(1-x^{2})}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln(1-x^{2})}{2}}\right)}}.}$

Полином [ править ]

Приближение с максимальной ошибкой для любого действительного аргумента: ^[22]${\displaystyle 1.2\times 10^{-7}}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\begin{cases}1-\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{cases}}}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\end{aligned}}}$

а также

${\displaystyle t={\frac {1}{1+0.5|x|}}.}$

Таблица значений [ править ]

Связанные функции [ править ]

Дополнительная функция ошибки [ править ]

Дополнительная функция ошибок , обозначаемая , определяется как${\displaystyle \mathrm {erfc} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} (x),\end{aligned}}}$

который также определяет , то масштабируется дополнительная функция ошибок ^[23] (который может быть использован вместо ERFC , чтобы избежать арифметического опустошение ^{[23] [24]} ). Другая форма неотрицательного выражения известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя: ^[25]${\displaystyle \mathrm {erfcx} }$${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$

Это выражение действительно только для положительных значений x , но его можно использовать вместе с erfc ( x ) = 2 - erfc (- x ) для получения erfc ( x ) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом: ^[26]${\displaystyle \mathrm {erfc} }$

${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi /2}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,d\theta .}$

Функция мнимой ошибки [ править ]

Функция мнимой ошибки , обозначаемая erfi , определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} (x)&=-i\operatorname {erf} (ix)\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$

где D ( x ) - функция Доусона (которую можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметического переполнения ^[23] ).

Несмотря на название «мнимая функция ошибок», она реальна, когда x действительно.${\displaystyle \operatorname {erfi} (x)}$

Когда функция ошибок оценивается для произвольных сложных аргументов z , результирующая комплексная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как функция Фаддеева :

${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Функция ошибок по существу идентична стандартной нормальной кумулятивной функции распределения , обозначаемой Φ, также называемой нормой ( x ) в некоторых языках программного обеспечения ^{[ необходима цитата ]} , поскольку они различаются только масштабированием и переводом. Верно,

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$

или переставил для erf и erfc:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функцией , которая является вероятностью хвоста стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Обратный из известена как нормальная функция квантиля , или пробита функция и может быть выражена в терминах функции обратной ошибки как${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как конфлюэнтная гипергеометрическая функция ( функция Куммера):

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

Он имеет простое выражение в терминах интеграла Френеля . ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]}

С точки зрения регуляризованном гамма - функции P и неполной гамма - функции ,

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=\operatorname {sgn}(x)P\left({\frac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right).}$

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$- знаковая функция .

Обобщенные функции ошибок [ править ]

График обобщенных функций ошибок E _n ( x ):
серая кривая: E ₁ ( x ) = (1 - e  ^{- x} ) / красная кривая: E ₂ ( x ) = erf ( x ) зеленая кривая: E ₃ ( x ) синяя кривая: E ₄ ( x ), золотая кривая: E ₅ ( x ).${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}$

Некоторые авторы обсуждают более общие функции: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,dt={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}.}$

Известные случаи:

• E ₀ ( x ) - прямая линия, проходящая через начало координат:${\displaystyle \textstyle E_{0}(x)={\dfrac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}$
• E ₂ ( x ) - функция ошибок, erf ( x ).

После деления на n ! Все E _n для нечетных n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга. Аналогично, E _n для четного n выглядят похожими (но не идентичными) друг на друга после простого деления на n ! Все обобщенные функции ошибок для n  > 0 выглядят одинаково на положительной стороне x графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x  > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (n)\left(\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)-\Gamma \left({\frac {1}{n}},x^{n}\right)\right),\quad \quad x>0.}$

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left({\frac {1}{2}},x^{2}\right).}$

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок [ править ]

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определены в ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {i^{n}erfc} (z)&=\int _{z}^{\infty }\operatorname {i^{n-1}erfc} (\zeta )\,d\zeta \\\operatorname {i^{0}erfc} (z)&=\operatorname {erfc} (z)\\\operatorname {i^{1}erfc} (z)&=\operatorname {ierfc} (z)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} (z)\\\operatorname {i^{2}erfc} (z)&={\frac {1}{4}}\left[\operatorname {erfc} (z)-2z\operatorname {ierfc} (z)\right]\\\end{aligned}}}$

Общая рекуррентная формула

${\displaystyle 2n\operatorname {i^{n}erfc} (z)=\operatorname {i^{n-2}erfc} (z)-2z\operatorname {i^{n-1}erfc} (z)}$

У них есть степенной ряд

${\displaystyle i^{n}\operatorname {erfc} (z)=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$

откуда следуют свойства симметрии

${\displaystyle i^{2m}\operatorname {erfc} (-z)=-i^{2m}\operatorname {erfc} (z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$

а также

${\displaystyle i^{2m+1}\operatorname {erfc} (-z)=i^{2m+1}\operatorname {erfc} (z)+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$

Реализации [ править ]

Как реальная функция реального аргумента [ править ]

• В операционных системах, совместимых с Posix , заголовок math.h должен объявлять, а математическая библиотека libm должна предоставлять функции erf и erfc ( двойная точность ), а также их аналоги одинарной и расширенной точности erff , erfl и erfc , erfcl . ^[28]
• GNU Scientific Library предоставляет ERF , ERFC , журнал (ERF) и масштабируемые функции ошибок. ^[29]

Как сложная функция сложного аргумента [ править ]

• libcerf , числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет комплексные функции cerf , cerfc , cerfcx и реальные функции erfi , erfcx с точностью приблизительно 13–14 цифр на основе функции Фаддеева, реализованной в пакете MIT Faddeeva.

См. Также [ править ]

Связанные функции [ править ]

• Гауссовский интеграл по всей действительной прямой
• Функция Гаусса , производная
• Функция Доусона , перенормированная функция мнимой ошибки
• Интеграл Гудвина – Стэтона

Вероятно [ править ]

• Нормальное распределение
• Нормальная кумулятивная функция распределения , масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
• Пробит , обратная или квантильная функция нормального CDF
• Q-функция , хвостовая вероятность нормального распределения

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248

Внешние ссылки [ править ]

• MathWorld - Эрф
• Таблица интегралов функций ошибок