Специальные функции

Специальные функции - это особые математические функции, которые имеют более или менее установленные имена и обозначения из-за их важности в математическом анализе , функциональном анализе , геометрии , физике или других приложениях.

Термин определяется консенсусом и, следовательно, не имеет общего формального определения, но Список математических функций содержит функции, которые обычно считаются специальными.

Таблицы специальных функций [ править ]

Многие специальные функции появляются как решения дифференциальных уравнений или интегралов от элементарных функций . Поэтому таблицы интегралов ^[1] обычно включают описания специальных функций, а таблицы специальных функций ^[2] включают наиболее важные интегралы; по крайней мере, интегральное представление специальных функций. Поскольку симметрия дифференциальных уравнений существенна как для физики и математики, теория специальных функций тесно связана с теорией групп Ли и алгебр Ли , а также некоторые темы в математической физике .

Механизмы символьных вычислений обычно распознают большинство специальных функций.

Обозначения, используемые для специальных функций [ править ]

Функции с установленными международными обозначениями - это синус ( ), косинус ( ), экспоненциальная функция ( ) и функция ошибок ( или ).${\ displaystyle \ sin}$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle {\rm {erf}}}$${\displaystyle {\rm {erfc}}}$

Некоторые специальные функции имеют несколько обозначений:

• Натуральный логарифм может быть обозначен , , , или в зависимости от контекста.${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \log _{e}}$${\displaystyle {\rm {Log}}}$
• Касательная функция может быть обозначена , или ( используется в основном в русском и болгарском литературе).${\displaystyle \tan }$${\displaystyle {\rm {Tan}}}$${\displaystyle {\rm {tg}}}$${\displaystyle {\rm {tg}}}$
• Арктангенс может быть обозначен , , , или .${\displaystyle \arctan }$${\displaystyle {\rm {atan}}}$${\displaystyle {\rm {arctg}}}$${\displaystyle \tan ^{-1}}$
• Функции Бесселя можно обозначить
  • ${\displaystyle ~J_{n}(x),~}$
  • ${\displaystyle ~{\rm {besselj}}(n,x),~}$
  • ${\displaystyle ~{\rm {BesselJ}}[n,x].~}$

Индексы часто используются для обозначения аргументов, обычно целых чисел. В некоторых случаях в качестве разделителя используется точка с запятой (;) или даже обратная косая черта (\). В этом случае перевод на алгоритмические языки допускает двусмысленность и может привести к путанице.

Верхние индексы могут указывать не только на возведение в степень, но и на модификацию функции. Примеры (особенно с тригонометрическими функциями и гиперболическими функциями ) включают:

• ${\displaystyle ~\cos ^{3}(x)~}$ обычно указывает ${\displaystyle ~(\cos(x))^{3}~}$
• ${\displaystyle ~\cos ^{2}(x)~}$обычно , но никогда${\displaystyle ~(\cos(x))^{2}~}$${\displaystyle ~\cos(\cos(x))~}$
• ${\displaystyle ~\cos ^{-1}(x)~}$обычно означает , а не ; это обычно вызывает наибольшую путаницу, поскольку интерпретация с этим значением экспоненты несовместима с другими.${\displaystyle ~\arccos(x)~}$${\displaystyle ~(\cos(x))^{-1}~}$

Оценка специальных функций [ править ]

Большинство специальных функций рассматриваются как функции комплексной переменной. Они аналитичны ; описаны особенности и разрезы; известны дифференциальные и интегральные представления, доступно разложение в ряд Тейлора или асимптотический ряд . Кроме того, иногда существуют отношения с другими специальными функциями; сложная специальная функция может быть выражена в терминах более простых функций. Для оценки могут использоваться различные представления; Самый простой способ оценить функцию - разложить ее в ряд Тейлора. Однако такое представление может сходиться медленно или не сходиться вовсе. В алгоритмических языках рациональные приближения обычно используются, хотя они могут плохо себя вести в случае сложных аргументов.

История специальных функций [ править ]

Классическая теория [ править ]

Хотя тригонометрию можно систематизировать - как это было ясно уже опытным математикам восемнадцатого века (если не раньше), - поиск полной и единой теории специальных функций продолжается с девятнадцатого века. Вершиной теории специальных функций в период 1800–1900 гг. Была теория эллиптических функций ; трактаты, которые были по существу законченными, такие как трактаты Таннери и Молка , могли быть написаны как справочники по всем основным тождествам теории. Они были основаны на методах комплексного анализа .

С того времени можно было предположить, что теория аналитических функций , которая уже объединила тригонометрические и экспоненциальные функции , является фундаментальным инструментом. В конце века также очень подробно обсуждались сферические гармоники .

Изменяющиеся и фиксированные мотивации [ править ]

Конечно, стремление к широкой теории, включающей как можно больше известных специальных функций, имеет интеллектуальную привлекательность, но стоит отметить и другие мотивы. Долгое время специальные функции относились к сфере прикладной математики ; приложения к физическим наукам и технике определили относительную важность функций. Во времена, когда еще не было электронных компьютеров , окончательным дополнением к специальной функции было вычисление вручную расширенных таблиц ее значений . Это был капиталоемкий процесс, предназначенный для обеспечения доступа к функции путем поиска , как и для знакомых таблиц логарифмов . В таком случае значение теории могло бы быть двумя:

• для численного анализа , обнаружения бесконечных рядов или других аналитических выражений, позволяющих быстро производить вычисления; и
• приведение как можно большего числа функций к данной функции.

Напротив, можно сказать, есть подходы, типичные для интересов чистой математики : асимптотический анализ , аналитическое продолжение и монодромия в комплексной плоскости , а также открытие принципов симметрии и другой структуры, скрывающейся за фасадом бесконечных рядов формул. На самом деле реального противоречия между этими подходами нет.

Двадцатый век [ править ]

В двадцатом веке наблюдалось несколько волн интереса к теории специальных функций. Классический учебник Уиттакера и Ватсона (1902) стремился объединить теорию с помощью комплексных переменных ; Г.Н. Уотсон фолиант Трактат по теории функций Бесселя раздвигает методы, насколько это возможно для одного важного типа, в частности , допущенный асимптотик для изучения.

Более поздний проект рукописей Бейтмана под редакцией Артура Эрдейи попытался стать энциклопедическим и возник в то время, когда на первый план выходили электронные вычисления, а табулирование перестало быть главной проблемой.

Современные теории [ править ]

Современная теория ортогональных многочленов имеет определенную, но ограниченную область применения. Гипергеометрические ряды превратились в сложную теорию, нуждающуюся в более позднем концептуальном оформлении. Группы Ли , и в частности их теория представлений , объясняют, что вообще может быть сферической функцией ; начиная с 1950 г. существенные части классической теории можно было переформулировать в терминах групп Ли. Кроме того, работа над алгебраической комбинаторикой также возродила интерес к более старым частям теории. Гипотезы Яна Г. Макдональда помогли открыть большие и активные новые области с типичным привкусом специальных функций. Разностные уравненияначали занимать свое место помимо дифференциальных уравнений в качестве источника специальных функций.

Специальные функции в теории чисел [ править ]

В теории чисел традиционно изучались некоторые специальные функции, такие как конкретные ряды Дирихле и модульные формы . В нем отражены почти все аспекты теории специальных функций, а также некоторые новые, например, вышедшие из теории чудовищного самогона .

Исследователи [ править ]

См. Также [ править ]

• Список математических функций
• Список специальных функций и эпонимов

Ссылки [ править ]

• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард ; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-62321-6. Руководство по ремонту  1688958 .

Внешние ссылки [ править ]

• Национальный институт стандартов и технологий Министерства торговли США. Цифровая библиотека математических функций NIST . Архивировано 13 декабря 2018 года.
• Вайсштейн, Эрик В. «Специальная функция» . MathWorld .
• Онлайн-калькулятор , Онлайн-калькулятор для научных расчетов с более чем 100 функциями (> = 32 цифры, многие сложные) (немецкий язык)
• Специальные функции в EqWorld: The World of Mathematical Equations
• Специальные функции и многочлены Жерара Т Хофта и Стефана Ноббенхейса (8 апреля 2013 г.)
• Численные методы для специальных функций , А. Гил, Дж. Сегура, Н. М. Темме (2007).
• Р. Джаганнатан, (P, Q) -Специальные функции
• Специальные функции вики