В математике , элементарная функция является функцией от одной переменной ( как правило , реальный или комплекс ) , который определяется как взятие суммы , продукты и композиции из конечного множества многочлена , рациональной , тригонометрических , гиперболических и экспоненциальные функции, в том числе , возможно , их обратные функции (например, arcsin , log или x 1 / n ).[1]
Элементарные функции были введены Лиувилль в ряде работ от 1833 до 1841. [2] [3] [4] алгебраическая обработка элементарных функций была начата Джозефом Fels Ритт в 1930 годе . [5]
Примеры
Основные примеры
К элементарным функциям одной переменной x относятся:
- Постоянные функции : и т.п.
- Силовые функции : и т.п.
- Функция квадратного корня :
- n- е корневые функции : и т.п.
- Экспоненциальные функции :
- Логарифмы :
- Тригонометрические функции : и т.п.
- Обратные тригонометрические функции : и т.п.
- Гиперболические функции : и т.п.
- Обратные гиперболические функции : и т.п.
- Все функции, полученные сложением, вычитанием, умножением или делением конечного числа любой из предыдущих функций [6]
- Все функции, полученные путем составления конечного числа любой из ранее перечисленных функций
Некоторые элементарные функции одной комплексной переменной z , такие как а также , может быть многозначным .
Составные примеры
Примеры элементарных функций включают:
- Сложение, например ( x +1)
- Умножение, например (2 x )
- Полиномиальные функции
Последняя функция равна , обратный косинус , на всей комплексной плоскости .
Все одночлены , многочлены и рациональные функции элементарны. Кроме того, функция абсолютного значения для реального, также элементарен, так как может быть выражен как композиция степени и корня : .
Неэлементарные функции
Пример функции, не элементарный является функцией ошибки
факт, который может быть не сразу очевиден, но может быть доказан с помощью алгоритма Риша .
- См. Также примеры функций Лиувилля и Неэлементарного интеграла .
Закрытие
Непосредственно из определения следует, что множество элементарных функций замкнуто относительно арифметических операций и композиции. Элементарные функции замкнуты относительно дифференцирования . Они не закрываются лимитами и бесконечными суммами . Важно отметить, что элементарные функции не замыкаются при интегрировании , как показано теоремой Лиувилля , см. Неэлементарный интеграл . Функции Лиувилля определяются как элементарные функции и, рекурсивно, интегралы от функций Лиувилля.
Дифференциальная алгебра
Математическое определение элементарной функции или функции в элементарной форме рассматривается в контексте дифференциальной алгебры . Дифференциальная алгебра - это алгебра с дополнительной операцией дифференцирования (алгебраическая версия дифференцирования). Используя операцию вывода, можно записать новые уравнения и использовать их решения в расширениях алгебры. Начиная с полем из рациональных функций , два специальных типа трансцендентных расширений (Логарифм и экспоненциальные) может быть добавлен к области строительства башни , содержащую элементарные функции.
Дифференциальное поле F является поле F 0 (рациональные функции над рациональными числами Q , например) вместе с выводом картой U → ∂ U . (Здесь ∂ u - новая функция. Иногда используется обозначение u '.) Вывод отражает свойства дифференцирования, так что для любых двух элементов основного поля вывод является линейным.
и удовлетворяет правилу произведения Лейбница
Элемент h является константой, если ∂h = 0 . Если базовое поле превышает рациональные числа, следует проявлять осторожность при расширении поля, чтобы добавить необходимые трансцендентные константы.
Функция u дифференциального расширения F [ u ] дифференциального поля F является элементарной функцией над F, если функция u
- является алгебраическим над F , или
- является экспонентой , т. е. ∂ u = u ∂ a для a ∈ F , или
- это логарифм , то есть ∂ U = ∂ / а для более ∈ F .
(см. также теорему Лиувилля )
Смотрите также
- Выражение в закрытой форме
- Дифференциальная теория Галуа
- Алгебраическая функция
- Трансцендентальная функция
Заметки
- ^ Спивак, Майкл. (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон, Техас: Опубликовать или погибнуть. п. 359. ISBN. 0914098896. OCLC 31441929 .
- ^ Лиувиллевское 1833a .
- ^ Лиувиллевское 1833b .
- ^ Лиувиллевское 1833c .
- ^ Ритт 1950 .
- ^ Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр. 1985. с. 17. ISBN 0-486-64940-7.
Рекомендации
- Лиувилль, Жозеф (1833a). "Премьер-воспоминание о детерминации целостных образований" . Journal de l'École Polytechnique . Том XIV: 124–148.
- Лиувилль, Джозеф (1833b). "Второй меморандум о детерминации целостных образов" . Journal de l'École Polytechnique . Том XIV: 149–193.
- Лиувилль, Жозеф (1833c). "Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359.
- Ритт, Джозеф (1950). Дифференциальная алгебра . AMS .
- Розенлихт, Максвелл (1972). «Интеграция в конечном итоге». Американский математический ежемесячник . 79 (9): 963–972. DOI : 10.2307 / 2318066 . JSTOR 2318066 .
дальнейшее чтение
- Давенпорт, Дж. Х .: Что может означать «понимание функции». В: Kauers, M .; Кербер, М., Майнер, Р .; Виндштайгер, В .: К механизированным помощникам по математике. Springer, Берлин / Гейдельберг 2007, стр. 55-65. [1]
Внешние ссылки
- Элементарные функции в энциклопедии математики
- Вайсштейн, Эрик В. «Элементарная функция» . MathWorld .