В математике , композиция функций является операцией , которая принимает два функции е и г и производит функцию час такое , что ч ( х ) = г ( е ( х )) . В этой операции, функция г будет применяться к результату применения функции п к й . То есть, функции F : X → Y и G : Y → Z имеют в составедля получения функции , которая отображает й в X к г ( п ( х )) в Z .
Интуитивно, если z является функцией y , а y является функцией x , то z является функцией x . Полученный композит функция обозначается г ∘ F : X → Z , определяемое ( г ∘ е ) ( х ) = г ( е ( х )) для всех х в X . [nb 1] Обозначение g ∘ f читается как « g, круг f », « g round f », « g about f », « g, составленный с f », « g после f », « g после f », » g of f »,« f, затем g »или« g на f ». Интуитивно составление функций - это процесс объединения, в котором выход функции f подает вход функции g .
Композиция функций - это частный случай композиции отношений , иногда также обозначаемый как. [1] В результате все свойства композиции отношений верны для композиции функций, [2] хотя композиция функций имеет некоторые дополнительные свойства.
Составление функций отличается от умножения функций и имеет совершенно другие свойства; [3], в частности, композиция функций не коммутативна .
Примеры
- Композиция функций на конечном множестве: если f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} и g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , тогда g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , как показано на фигура.
- Композиция функций на бесконечном множестве : если f : ℝ → ℝ (где ℝ - множество всех действительных чисел ) задается формулой f ( x ) = 2 x + 4, а g : ℝ → ℝ задается g ( x ) = x 3 , тогда:
- ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x )) = f ( x 3 ) = 2 x 3 + 4 , и
- ( г ∘ е ) ( х ) знак равно г ( е ( х )) = г (2 х + 4) = (2 х + 4) 3 .
- Если высота самолета в момент времени t равна a ( t ) , а давление воздуха на высоте x равно p ( x ) , то ( p ∘ a ) ( t ) - это давление вокруг самолета в момент времени t .
Характеристики
Композиция функций всегда ассоциативна - свойство, унаследованное от композиции отношений . [2] То есть, если f , g и h составны, то f ∘ ( g ∘ h ) = ( f ∘ g ) ∘ h . [4] Поскольку круглые скобки не меняют результат, они обычно опускаются.
В строгом смысле композиция g ∘ f имеет смысл только в том случае, если область значений f совпадает с областью определения g ; в более широком смысле достаточно, чтобы первое было подмножеством второго. [nb 2] Более того, часто удобно неявно ограничить область определения f , так что f производит только значения в области g . Например, композиция g ∘ f функций f : ℝ → (−∞, + 9], определенная формулами f ( x ) = 9 - x 2 и g : [0, + ∞) →, определенная формулойможно определить на интервале [−3, + 3] .
Говорят, что функции g и f коммутируют друг с другом, если g ∘ f = f ∘ g . Коммутативность - это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто при особых обстоятельствах. Например, | х | + 3 = | х + 3 | только когда x ≥ 0 . На картинке показан еще один пример.
Композиция взаимно-однозначных функций всегда взаимно однозначна. Точно так же композиция on- функций всегда находится на. Отсюда следует, что композиция двух биекций также является биекцией. Обратная функция композиции (предполагается , обратит) обладает тем свойством , что ( е ∘ г ) -1 = г -1 ∘ ф -1 . [5]
Производные композиций, включающих дифференцируемые функции, могут быть найдены с помощью цепного правила . Высшие производные таких функций даются формулой Фаа ди Бруно . [4]
Композиция моноидов
Предположим, что у одной есть две (или более) функции f : X → X , g : X → X, имеющие одну и ту же область определения и область значений; их часто называют преобразованиями . Тогда можно составить цепочку преобразований, составленных вместе, например, f ∘ f ∘ g ∘ f . Такие цепи имеют алгебраическую структуру из в моноиде , называется преобразование моноид или (гораздо реже) а состав моноид . В общем, моноиды преобразования могут иметь чрезвычайно сложную структуру. Одним из ярких примеров является кривая де Рама . Множество всех функций F : X → X называется полугруппа полного преобразования [6] или симметричная полугруппа [7] на X . (Фактически можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определить операцию полугруппы как левую или правую композицию функций. [8] )
Если преобразования биективны (и, следовательно, обратимы), то набор всех возможных комбинаций этих функций образует группу преобразований ; и один говорит, что группа порождается этими функциями. Фундаментальный результат в теории групп, теорема Кэли , по существу утверждает, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы перестановок (с точностью до изоморфизма ). [9]
Множество всех биективных функций f : X → X (называемых перестановками ) образует группу по отношению к композиции функций. Это симметричная группа , также иногда называемая композиционной группой .
В симметрической полугруппе (всех преобразований) можно также найти более слабое, неединственное понятие обратного (называемого псевдообратным), потому что симметрическая полугруппа является регулярной полугруппой . [10]
Функциональные возможности
Если Y ⊆ X , то f : X → Y может составить само с собой; это иногда обозначается как f 2 . Это:
- ( е ∘ е ) (х) = е ( е ( х )) = е 2 ( х )
- ( е ∘ е ∘ е ) (x) = f ( f ( f ( x ))) = f 3 ( x )
- ( е ∘ е ∘ f ∘ f ) (x) = f ( f ( f ( f ( x )))) = f 4 ( x )
В более общем смысле, для любого натурального числа n ≥ 2 , n- я функциональная мощность может быть определена индуктивно с помощью f n = f ∘ f n −1 = f n −1 ∘ f , обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманном [ цитата необходима ] [ 11] [12] и Джон Фредерик Уильям Гершель . [13] [11] [14] [12] Повторная композиция такой функции с самой собой называется повторяющейся функцией .
- По соглашению, е 0 определяются как тождественное отображение на й «ы домена, ид X .
- Если даже Y = X и f : X → X допускает обратную функцию f −1 , отрицательные функциональные мощности f - n определяются для n > 0 как инвертированная мощность обратной функции: f - n = ( f −1 ) n . [13] [11] [12]
Примечание: если f принимает свои значения в кольце (в частности, для действительного или комплексного значения f ), существует риск путаницы, поскольку f n также может означать n- кратное произведение f , например f 2 ( x ). = е ( х ) · е ( х ) . [12] Для тригонометрических функций обычно подразумевается последнее, по крайней мере, для положительных показателей. [12] Например, в тригонометрии этот верхний индекс обозначает стандартное возведение в степень при использовании с тригонометрическими функциями : sin 2 ( x ) = sin ( x ) · sin ( x ) . Однако для отрицательных показателей степени (особенно -1) он, тем не менее, обычно относится к обратной функции, например, tan −1 = arctan ≠ 1 / tan .
В некоторых случаях, когда для данной функции f уравнение g ∘ g = f имеет единственное решение g , эту функцию можно определить как функциональный квадратный корень из f , а затем записать как g = f 1/2 .
В более общем смысле, когда g n = f имеет единственное решение для некоторого натурального числа n > 0 , тогда f m / n можно определить как g m .
При дополнительных ограничениях эту идею можно обобщить так, чтобы количество итераций стало непрерывным параметром; в этом случае такая система называется потоком , заданным через решения уравнения Шредера . Итерированные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталов и динамических систем .
Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики [ необходима цитата ] предпочитают использовать ∘ для обозначения композиционного значения, записывая f ∘ n ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, в f ∘3 ( x ) означает f ( f ( f ( x ))) . С той же целью f [ n ] ( x ) использовал Бенджамин Пирс [15] [12], тогда как Альфред Прингсхайм и Жюль Молк предложили вместо этого n f ( x ) . [16] [12] [nb 3]
Альтернативные обозначения
Многие математики, особенно в теории групп , опускать символ композиции, написание гса для г ∘ е . [17]
В середине 20-го века некоторые математики решили, что написание « g ∘ f » для обозначения «сначала применить f , затем применить g » слишком запутанно, и решили изменить обозначения. Они пишут « xf » вместо « f ( x ) » и « ( xf ) g » для « g ( f ( x )) ». [18] Это может быть более естественным и кажется более простым, чем написание функций слева в некоторых областях - например, в линейной алгебре , когда x является вектором-строкой, а f и g обозначают матрицы, а композиция осуществляется путем умножения матриц . Эта альтернативная нотация называется постфиксной нотацией . Порядок важен, потому что композиция функций не обязательно коммутативна (например, умножение матриц). Последовательные преобразования, применяемые и составляющие справа, согласуются с последовательностью чтения слева направо.
Математики, использующие постфиксную нотацию, могут написать « fg », что означает сначала применить f, а затем применить g , в соответствии с порядком, в котором символы встречаются в постфиксной записи, таким образом делая запись « fg » неоднозначной. Специалисты по информатике могут написать для этого « f ; g » [19], тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить левый оператор композиции от точки с запятой в тексте, в нотации Z символ ⨾ используется для левой композиции отношения . [20] Поскольку все функции являются бинарными отношениями , правильно использовать точку с запятой [жирная] и для композиции функций (см. Статью о композиции отношений для получения дополнительной информации об этой нотации).
Оператор композиции
Для данной функции g оператор композиции C g определяется как тот оператор, который отображает функции в функции как
Операторы композиции изучаются в области теории операторов .
В языках программирования
Композиция функций появляется в той или иной форме во многих языках программирования .
Многомерные функции
Для многомерных функций возможна частичная композиция . Функция, возникающая при замене некоторого аргумента x i функции f на функцию g , называется композицией f и g в некоторых контекстах компьютерной инженерии и обозначается f | х я = г
Когда g - простая константа b , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или кофактор . [21]
В общем, композиция многомерных функций может включать несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивной рекурсивной функции . Для f , n -арной функции и n m -арных функций g 1 , ..., g n , композиция f с g 1 , ..., g n является m -арной функцией
- .
Это иногда называют обобщен композит из е с г 1 , ..., г н . [22] Частичная композиция только в одном аргументе, упомянутом ранее, может быть реализована из этой более общей схемы, установив все функции аргумента, кроме одной, которая должна быть соответствующим образом выбранными функциями проекции . Здесь г 1 , ..., г п можно рассматривать как единый вектор / кортеж значной функции в этой обобщенной схеме, и в этом случае это именно стандартное определение функции композиции. [23]
Набор финитарных операций на некотором базовом множестве X называется клоном, если он содержит все проекции и замкнут относительно обобщенной композиции. Обратите внимание , что клон обычно содержит операции различных арностей . [22] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; Говорят, что функция f арности n коммутирует с функцией g арности m, если f является гомоморфизмом, сохраняющим g , и наоборот, т.е. [22]
- .
Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно так для двоичной операции (или операции с более высокой степенью арности). Бинарная операция (или операция с более высокой степенью арности), которая коммутирует сама с собой, называется медиальной или энтропийной . [22]
Обобщения
Композицию можно обобщить на произвольные бинарные отношения . Если R ⊆ X × Y и S ⊆ Y × Z две бинарные отношения, то их состав R ∘ S есть отношение определяется как {( х , г ) ∈ X × Z : ∃ у ∈ Y . ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ S } . Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональных отношений ), композиция функций удовлетворяет определению композиции отношения. Маленький кружок R ∘ S использовался для инфиксной записи композиции отношений , а также функций. Когда используется для представления композиции функций однако последовательность текста инвертирована, чтобы соответствующим образом проиллюстрировать различные последовательности операций.
Таким же образом определяется композиция для частичных функций, и у теоремы Кэли есть аналог, называемый теоремой Вагнера – Престона . [24]
Категория множеств с функциями как морфизмов является Прототипом категории . Фактически, аксиомы категории основаны на свойствах (а также определении) композиции функций. [25] Структуры, задаваемые композицией, аксиоматизированы и обобщены в теории категорий с концепцией морфизма как теоретико-категориальной замены функций. Обратный порядок композиции в формуле ( f ∘ g ) −1 = ( g −1 ∘ f −1 ) применяется для композиции отношений с использованием обратных соотношений и, таким образом, в теории групп . Эти структуры образуют категории кинжалов .
Типография
Символ композиции ∘ кодируется как U + 2218 ∘ RING OPERATOR (HTML ∘
· &compfn, &SmallCircle
); см. статью о символах степени, чтобы узнать, как выглядят похожие символы Unicode. В TeX это написано \circ
.
Смотрите также
- Паутинный сюжет - графический прием функциональной композиции
- Комбинаторная логика
- Кольцо композиции , формальная аксиоматизация операции композиции
- Поток (математика)
- Функциональная композиция (информатика)
- Функция случайной величины , распределение функции случайной величины
- Функциональная декомпозиция
- Функциональный квадратный корень
- Функция высшего порядка
- Бесконечные композиции аналитических функций
- Итерированная функция
- Лямбда-исчисление
Заметки
- ^ Некоторые авторывместо этогоиспользуют f ∘ g : X → Z , определяемую формулой ( f ∘ g ) ( x ) = g ( f ( x )) . Это обычное дело, когда используется постфиксная нотация , особенно если функции представлены показателями, как, например, при изучении групповых действий . См. Dixon, John D .; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок . Springer. п. 5 . ISBN 0-387-94599-7.
- ^ Строгий смысл используется, например , в теории категорий , где отношение подмножества явно моделируется функцией включения .
- ^ Нотацию n f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907)для обозначения функциональных композиций не следует путать с обозначением n x Рудольфа фон Биттера Рукера (1982), введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном Луи Гудстайн (1947) для тетрации , или собозначением корней n x перед надстрочным индексом Дэвида Паттерсона Эллермана (1995).
Рекомендации
- ^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ а б Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета . п. 232. ISBN. 978-1-139-45097-3.
- ^ «3.4: Состав функций» . Математика LibreTexts . 2020-01-16 . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Композиция» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ Роджерс, Нэнси (2000). Обучение разуму: введение в логику, множества и отношения . Джон Вили и сыновья . С. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.
- ^ Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп . Американское математическое общество . п. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
- ^ Грийе, Пьер А. (1995). Полугруппы: Введение в теорию структуры . CRC Press . п. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
- ^ Дёмёси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория сетей автоматов: введение . СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
- ^ Картер, Натан (2009-04-09). Визуальная теория групп . MAA. п. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
- ^ Ганюшкин Александр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические полугруппы конечных преобразований: Введение . Springer Science & Business Media . п. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
- ^ а б в Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода различий» . Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продается J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано 4 августа 2020 года . Проверено 4 августа 2020 . [1] (NB. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
- ^ Б с д е е г Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Итерированные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Полномочия тригонометрических функций». История математических обозначений . 2 (3-е исправленное издание 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания Open Court . С. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 .
[…] §473. Итерированные логарифмы […] Здесь мы отмечаем символизм, использованный Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Энциклопедии : « 2 log b a = log b (log b a ),…, k +1 log b a = log b ( k log b а ) ". [а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций sin −1 x , tan −1 x и т. Д. Были опубликованы им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит ( стр. 10 ): «Это обозначение cos . −1 e не следует понимать как обозначение 1 / cos. E , но то, что обычно записывается таким образом, arc (cos. = E ) ». Он допускает, что некоторые авторы используют cos. m A вместо (cos. A ) m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , мы должны писать sin. 2 х за грех. грех. х , журнал. 3 х для бревна. бревно. бревно. х . Подобно тому, как мы пишем d - n V = ∫ n V, мы можем писать аналогично sin. −1 x = дуга (sin. = X ), лог. −1 х . = С х . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f n ( x ), f - n ( x ), sin. −1 x и т. Д. ", Как он тогда предположил впервые. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стало известно о работе немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tg −1 и т. Д., А также, похоже, он совсем не осведомлен об обратном исчислении функций, к которому она приводит. " Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, кажется, санкционируют ее универсальное принятие». [b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции. - […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы снять главное возражение против них; Пирс писал: «cos [-1] x », «log [-1] x ». [c] […] §537. Степени тригонометрических функций. - Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных обозначения , а именно (sin x ) 2 , sin x 2 , sin 2 x . Преобладающее обозначение в настоящее время - sin 2 x , хотя первое, вероятно, будет неправильно истолковано. В случае греха 2 x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin x · sin x ; во-вторых, [d] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации намного меньше, чем в случае log 2 x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются при анализе. […] Обозначение sin n x вместо (sin x ) n широко использовалось и сейчас является преобладающим. […]
(xviii + 367 + 1 страница, включая 1 страницу дополнений) (NB. ISBN и ссылка для перепечатки 2-го издания компанией Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.) - ^ а б Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «Об одном замечательном применении теоремы Котеса» . Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Дж. И У. Николь, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. DOI : 10,1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .
- ^ Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). IV . п. 229.
- ^ Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Я (новое изд.). Бостон, США. п. 203.
- ^ Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых математических наук и приложений (на французском языке). Я . п. 195. Часть I.
- ^ Иванов, Олег А. (2009-01-01). Оживление математики: Руководство для учителей и студентов . Американское математическое общество . С. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
- ^ Галлье, Жан (2011). Дискретная математика . Springer. п. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.
- ^ Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для вычислительной науки (PDF) . п. 6. Архивировано из оригинального (PDF) 04.03.2016 . Проверено 23 августа 2014 .(NB. Это обновленная и бесплатная версия книги, первоначально опубликованной Prentice Hall в 1990 году как ISBN 978-0-13-120486-7 .)
- ^ ISO / IEC 13568: 2002 (E), стр. 23
- ^ Брайант, Р. Э. (август 1986 г.). «Алгоритмы логической минимизации для синтеза СБИС» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . С-35 (8): 677–691. DOI : 10.1109 / tc.1986.1676819 . S2CID 10385726 .
- ^ а б в г Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы . CRC Press . стр. 79 -80, 90 -91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
- ^ Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений . Джон Вили и сыновья . п. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
- ^ Липскомб, С. (1997). Симметричные обратные полугруппы . Математические обзоры и монографии AMS. п. XV. ISBN 0-8218-0627-0.
- ^ Хилтон, Питер; Ву, Ель-Чианг (1989). Курс современной алгебры . Джон Вили и сыновья . п. 65. ISBN 978-0-471-50405-4.
Внешние ссылки
- "Составная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- « Композиция функций » Брюса Этвуда, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.