Гиперболические функции

В математике , гиперболические функции являются аналогами обычных тригонометрических функций , но определяются с помощью гиперболы , а не круг . Точно так же, как точки (cos t , sin t ) образуют круг с единичным радиусом , точки (cosh t , sinh t ) образуют правую половину единичной гиперболы . Кроме того, так же, как производные sin ( t ) и cos ( t ) равны cos ( t )и –sin ( t ) , производные sinh ( t ) и ch ( t ) равны ch ( t ) и + sinh ( t ) .

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии . Они также встречаются в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную связь ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая теорию электромагнетизма , теплопередачу , гидродинамику и специальную теорию относительности .

Основные гиперболические функции: ^{[1] [2]}

• гиперболический синус "зЬ" ( / с ɪ ŋ , š ɪ п tʃ , ʃ aɪ п / ), ^[3]
• гиперболический косинус "сп" ( / к ɒ ʃ , к oʊ ʃ / ), ^[4]

из которых получены: ^[5]

• гиперболического тангенса "TANH" ( / т æ ŋ , т æ п tʃ , θ æ п / ), ^[6]
• гиперболической косеканс "CSCH" или "cosech" ( / к oʊ с ɛ tʃ , к oʊ ʃ ɛ к / ^[4] )
• гиперболической секущей "сечь" ( / с ɛ tʃ , ʃ ɛ к / ), ^[7]
• гиперболический котангенс "COTH" ( / к ɒ & thetas ; , к oʊ & thetas ; / ), ^{[8] [9]}

соответствующие производным тригонометрическим функциям.

В обратных гиперболических функциях являются: ^[1]

• гиперболический синус области «arsinh» (также обозначаемый «sinh ⁻¹ », «asinh» или иногда «arcsinh») ^{[10] [11] [12]}
• гиперболический косинус площади "arcosh" (также обозначается "ch − ¹ ", "acosh" или иногда "arccosh")
• и так далее.

Луч, проходящий через единичную гиперболу x ² - y ² = 1 в точке (ch a , sh a ) , где a - это удвоенная площадь между лучом, гиперболой и осью x . Для точек на гиперболе ниже оси x площадь считается отрицательной (см. Анимированную версию со сравнением с тригонометрическими (круговыми) функциями).

Гиперболические функции принимают вещественный аргумент, называемый гиперболическим углом . Размер гиперболического угла в два раза больше площади его гиперболического сектора . Гиперболические функции могут быть определены в терминах катетов прямоугольного треугольника, покрывающего этот сектор.

В комплексном анализе гиперболические функции возникают как мнимые части синуса и косинуса. Гиперболический синус и гиперболический косинус - целые функции . В результате другие гиперболические функции мероморфны во всей комплексной плоскости.

По теореме Линдемана – Вейерштрасса гиперболические функции имеют трансцендентное значение для любого ненулевого алгебраического значения аргумента. ^[13]

Гиперболические функции были введены в 1760-е годы независимо Винченцо Риккати и Иоганн Генрих Ламберт . ^[14] Риккати использовал Sc. и Cc. ( sinus / cosinus circare ) для обозначения круговых функций и Sh. и гл. ( sinus / cosinus hyperbolico ) для обозначения гиперболических функций. Ламберт принял имена, но изменил аббревиатуры на те, которые используются сегодня. ^[15] Сокращения sh , ch , th , cth также используются в настоящее время в зависимости от личных предпочтений.

Определения [ править ]

Существуют различные эквивалентные способы определения гиперболических функций.

Экспоненциальные определения [ править ]

В терминах экспоненциальной функции : ^{[2] [5]}

• Гиперболический синус: нечетная часть экспоненциальной функции, то есть

  ${\ displaystyle \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}$

• Гиперболический косинус: четная часть экспоненциальной функции, то есть

  ${\ displaystyle \ cosh = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}.$

• Гиперболический тангенс:

  ${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$

• Гиперболический котангенс: при x ≠ 0 ,

  ${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}$

• Гиперболический секанс:

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}}$

• Гиперболический косеканс: для й ≠ 0 ,

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}}$

Определения дифференциальных уравнений [ править ]

Гиперболические функции могут быть определены как решения дифференциальных уравнений : гиперболический синус и косинус являются единственными решениями ( s , c ) системы

${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}$

такие, что s (0) = 0 и c (0) = 1 .

(Начальные условия необходимы, потому что каждая пара функций формы решает два дифференциальных уравнения.) ${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1}$${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$

Sinh (x) и ch (x) также являются единственным решением уравнения f  ″ ( x ) = f  ( x ) , таким что f  (0) = 1 , f  ′ (0) = 0 для гиперболического косинуса и f  (0) = 0 , f  ′ (0) = 1 для гиперболического синуса.

Сложные тригонометрические определения [ править ]

Гиперболические функции также могут быть выведены из тригонометрических функций со сложными аргументами:

• Гиперболический синус: ^[2]

  ${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}$

• Гиперболический косинус: ^[2]

  ${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}$

• Гиперболический тангенс:

  ${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}$

• Гиперболический котангенс:

  ${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}$

• Гиперболический секанс:

  ${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}$

• Гиперболический косеканс:

  ${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}$

где i - мнимая единица с i ² = −1 .

Приведенные выше определения связаны с экспоненциальными определениями через формулу Эйлера (см. § Гиперболические функции для комплексных чисел ниже).

Домены и диапазоны [ править ]

Функция	Домен	Классифицировать
${\displaystyle \sinh x}$	ℝ	ℝ
${\displaystyle \cosh x}$	ℝ	[1, ∞)
${\displaystyle \tanh x}$	ℝ	(-1, 1)
${\displaystyle \coth x}$	ℝ - {0}	(-∞, -1) ∪ (1, ∞)
${\displaystyle \operatorname {sech} x}$	ℝ	(0, 1]
${\displaystyle \operatorname {csch} x}$	ℝ - {0}	ℝ - {0}

ℝ - это набор всех действительных чисел . ^[16]

Характеристика свойств [ править ]

Гиперболический косинус [ править ]

Можно показать, что площадь под кривой гиперболического косинуса (на конечном интервале) всегда равна длине дуги, соответствующей этому интервалу: ^[17]

${\displaystyle {\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}}$

Гиперболический тангенс [ править ]

Гиперболический тангенс - это (единственное) решение дифференциального уравнения f  ′ = 1 - f  ² , где f  (0) = 0 .

Полезные отношения [ править ]

Гиперболические функции удовлетворяют многим тождествам, все они по форме похожи на тригонометрические тождества . На самом деле, правила Осборна ^[18] утверждает , что один может преобразовать любой тригонометрические функции для , , или и в гиперболической идентичности, дополнив его полностью в терминах интегральных степеней синусов и косинусов, изменение синуса в зп и косинуса к дубинкой, и меняя знак каждого члена, содержащего произведение двух знаков.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle 3\theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

Нечетные и четные функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}}$

Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$

Таким образом, ch x и sech x - четные функции ; остальные - нечетные функции .

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$

Гиперболический синус и косинус удовлетворяют:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}}$

последний из которых похож на тригонометрическое тождество Пифагора .

У одного также есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}}$

для других функций.

Суммы аргументов [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

особенно

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$

Также:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

Формулы вычитания [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$

Также: ^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$

Формулы половинного аргумента [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$

где sgn - знаковая функция .

Если x ≠ 0 , то ^[20]

${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$

Квадратные формулы [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\frac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$

Неравенства [ править ]

В статистике полезно следующее неравенство: ^[21]${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}}$

Это можно доказать, почленно сравнивая ряды Тейлора этих двух функций.

Обратные функции как логарифмы [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geqslant 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$

Производные [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$

Вторые производные [ править ]

Каждая из функций sinh и ch равна своей второй производной , то есть:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x\,}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$

Все функции с этим свойством являются линейными комбинациями из зпа и дубинки , в частности, экспоненциальные функции и .${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle e^{-x}}$

Стандартные интегралы [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C=a^{-1}\ln \left|\operatorname {csch} (ax)-\coth(ax)\right|+C\end{aligned}}}$

Следующие интегралы можно доказать с помощью гиперболической замены :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$

где C - постоянная интегрирования .

Выражения ряда Тейлора [ править ]

Можно явно выразить ряд Тейлора в нуле (или ряд Лорана , если функция не определена в нуле) вышеуказанных функций.

${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$

Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Так как функция зп х является нечетным , только нечетными индексы для й происходят в ряде Тейлора.

${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$

Этот ряд сходится для любого комплексного значения x . Поскольку функция ch x является четной , в ее ряд Тейлора входят только четные показатели для x .

Сумма рядов sinh и ch является бесконечным рядным выражением экспоненциальной функции .

Следующие серии сопровождаются описанием подмножества их области сходимости , где ряд сходится, а его сумма равна функции.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$

куда:

${\displaystyle B_{n}\,}$является п - го числа Бернулли

${\displaystyle E_{n}\,}$- n- е число Эйлера

Сравнение с круговыми функциями [ править ]

Гиперболические функции представляют собой расширение тригонометрии за пределы круговых функций . Оба типа зависят от аргумента : кругового или гиперболического угла .

Поскольку площадь кругового сектора с радиусом r и углом u (в радианах) равна r ² u / 2, она будет равна u, когда r = √ 2 . На диаграмме такая окружность касается гиперболы xy = 1 в точке (1,1). Желтый сектор обозначает площадь и угловую величину. Точно так же желтый и красный секторы вместе обозначают площадь и величину гиперболического угла .

Катеты двух прямоугольных треугольников с гипотенузой на луче, определяющем углы, имеют длину √ 2 раза больше круговой и гиперболической функций.

Гиперболический угол является инвариантной мерой по отношению к отображению сжатия , так же как круговой угол инвариантен относительно вращения. ^[22]

Функция Гудермана дает прямую связь между круговыми функциями и гиперболическими функциями, не содержащими комплексных чисел.

График функции a  ch ( x / a ) - это цепная линия, кривая, образованная однородной гибкой цепью, свободно свисающей между двумя фиксированными точками под действием равномерного гравитации.

Связь с экспоненциальной функцией [ править ]

Разложение экспоненты на четную и нечетную части дает тождества

${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$

и

${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$

Первый аналогичен формуле Эйлера

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x.}$

Кроме того,

${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$

Гиперболические функции для комплексных чисел [ править ]

Поскольку экспоненциальная функция может быть определена для любого сложного аргумента, мы также можем расширить определения гиперболических функций до сложных аргументов. ФУНКЦИИ SINH  г и сп  г затем голоморфны .

Связь с обычными тригонометрическими функциями задается формулой Эйлера для комплексных чисел:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$

так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$

Таким образом, гиперболические функции периодичны относительно мнимой составляющей с периодом ( для гиперболического тангенса и котангенса).${\displaystyle 2\pi i}$${\displaystyle \pi i}$

Гиперболические функции на комплексной плоскости

${\displaystyle \operatorname {sinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {cosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {tanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {coth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с гиперболическими функциями .

• e (математическая константа)
• Теорема о равенстве вписанных окружностей , основанная на sinh
• Гиперболический рост
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов от гиперболических функций
• Спирали Пуансо
• Сигмовидная функция
• Модифицированный гиперболический тангенс Соболевой
• Тригонометрические функции

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Гиперболические функции" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Гиперболические функции в PlanetMath
• GonioLab : Визуализация единичного круга, тригонометрических и гиперболических функций ( Java Web Start )
• Веб-калькулятор гиперболических функций