Кубическое уравнение

График кубической функции с 3 действительными корнями (где кривая пересекает горизонтальную ось при y = 0 ). Показанный случай имеет две критических точки . Здесь функция f ( x ) = ( x ³ + 3 x ² - 6 x - 8) / 4 .

В алгебре , А кубическое уравнение одной переменной является уравнением вида

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$

в котором а не равно нулю.

Решения этого уравнения называется корнями по кубической функции , определенной в левой части уравнения. Если все коэффициенты a , b , c и d кубического уравнения являются действительными числами , то оно имеет по крайней мере один действительный корень (это верно для всех полиномиальных функций нечетной степени ). Все корни кубического уравнения можно найти следующими способами:

• алгебраически , то есть они могут быть выражены кубической формулой, включающей четыре коэффициента, четыре основных арифметических операции и корни n- й степени (радикалы) . (Это также верно для квадратных (вторая степень) и квартичных (четвертая степень) уравнений, но не для уравнений высших степеней по теореме Абеля – Руффини .)
• тригонометрически
• численные приближения корней могут быть найдены с использованием алгоритмов поиска корней, таких как метод Ньютона .

Коэффициенты не обязательно должны быть действительными числами. Многое из того, что описано ниже, действительно для коэффициентов в любом поле с характеристиками, отличными от 2 и 3. Решения кубического уравнения не обязательно принадлежат тому же полю, что и коэффициенты. Например, некоторые кубические уравнения с рациональными коэффициентами имеют корни, которые являются иррациональными (и даже не действительными) комплексными числами .

История [ править ]

Кубические уравнения были известны древним вавилонянам, грекам, китайцам, индийцам и египтянам. ^{[1] [2] [3]} Были найдены вавилонские (20–16 вв. До н.э.) клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней. ^{[4] [5]} Вавилоняне могли использовать таблицы для решения кубических уравнений, но нет никаких доказательств, подтверждающих это. ^[6] Проблема удвоения куба включает простейшее и старейшее из изученных кубических уравнений, решение для которого древние египтяне не верили. ^[7] В V веке до нашей эры Гиппократуменьшить эту проблему к нахождению двух средних пропорциональных между одной линии , а другой в два раза превышает его длину, но не может решить эту проблему с компасом и линейкой строительства , ^[8] задача , которая в настоящее время известно , что невозможно. Методы решения кубических уравнений появляются в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во 2 веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в 3 веке. ^[2] В III веке нашей эры греческий математик Диофант нашел целочисленные или рациональные решения для некоторых двумерных кубических уравнений ( диофантовых уравнений ). ^{[3] [9]} Гиппократ , Менехмы и Архимед , как полагают, приблизиться к решению задачи удвоения куба с помощью пересекающейся конических сечений , ^[8] , хотя историки , таких как Ревиел Нец спору ли греки думали о кубических уравнениях или просто проблемах , которые могут привести к кубическому уравнения. Некоторые другие, такие как Т.Л. Хит , который перевел все работы Архимеда , не согласны, выдвигая доказательства того, что Архимед действительно решал кубические уравнения, используя пересечения двух коник , но также обсуждали условия, при которых корни равны 0, 1 или 2. ^[10]

В VII веке астроном-математик из династии Тан Ван Сяотун в своем математическом трактате под названием « Цзигу Суаньцзин» систематически установил и численно решил 25 кубических уравнений вида x ³ + px ² + qx = N , 23 из них с p , q ≠ 0 , и два из них с q = 0 . ^[11]

В XI веке персидский поэт-математик Омар Хайям (1048–1131) добился значительных успехов в теории кубических уравнений. В своей ранней работе он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения, и заявил, что его нельзя решить с помощью компаса и линейки. Он также нашел геометрическое решение . ^{[12] [13]} В своей более поздней работе « Трактат о демонстрации проблем алгебры» он написал полную классификацию кубических уравнений с общегеометрическими решениями, найденными посредством пересекающихся конических сечений . ^{[14] [15]}

В XII веке индийский математик Бхаскара II безуспешно пытался решить кубические уравнения. Однако он привел один пример кубического уравнения: x ³ + 12 x = 6 x ² + 35 . ^[16] В XII веке другой персидский математик, Шараф ад-Дин ат-Туси ( 1135–1213 ), написал Аль-Мухадалат ( Трактат об уравнениях ), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов. кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. Он использовал то , что позже будет известно как « Руффини - Горнера метод» вчисленно аппроксимировать корень кубического уравнения. Он также использовал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. ^[17] Он понимал важность дискриминанта кубического уравнения для поиска алгебраических решений некоторых типов кубических уравнений. ^[18]

В своей книге Flos Леонардо де Пиза, также известный как Фибоначчи (1170–1250), смог точно аппроксимировать положительное решение кубического уравнения x ³ + 2 x ² + 10 x = 20 . Записав вавилонскими цифрами, он дал результат 1,22,7,42,33,4,40 (эквивалентно 1 + 22/60 + 7/60 ²  + 42/60 ³  + 33/60 ⁴  + 4/60 ⁵  + 40/60 ⁶ ), что имеет относительную погрешность около 10 ⁻⁹ . ^[19]

В начале 16 века итальянский математик Сципионе дель Ферро (1465–1526) нашел метод решения класса кубических уравнений, а именно уравнений вида x ³ + mx = n . Фактически, все кубические уравнения могут быть приведены к этой форме, если позволить m и n быть отрицательными, но отрицательные числа ему тогда не были известны. Дель Ферро держал свои достижения в секрете до самой смерти, когда он сказал об этом своему ученику Антонио Фьору.

В 1530 году Никколо Тарталья (1500–1557) получил две задачи кубических уравнений от Зуанне да Кой и объявил, что может их решить. Вскоре ему бросил вызов Фиор, что привело к известному состязанию между ними. Каждый участник должен был внести определенную сумму денег и предложить сопернику ряд задач. Тот, кто решит больше проблем в течение 30 дней, получит все деньги. Тарталья получил вопросы в форме x ³ + mx = n , для которых он разработал общую методику. Fior получил вопросы в виде x ³ + mx ² = n., которое оказалось для него слишком сложным, и Тарталья выиграл конкурс.

Позже Джероламо Кардано (1501–1576) убедил Тарталью раскрыть свой секрет решения кубических уравнений. В 1539 году Тарталья сделал это только при условии, что Кардано никогда не раскроет это и что, если он действительно напишет книгу о кубиках, он даст Тарталье время для публикации. Несколько лет спустя Кардано узнал о предшествующей работе дель Ферро и опубликовал метод дель Ферро в своей книге Ars Magna.в 1545 году, что означает, что Кардано дал Тарталье шесть лет на публикацию своих результатов (с признательностью Тартальи за независимое решение). В обещании Кардано Тартальи говорилось, что он не будет публиковать работу Тартальи, и Кардано чувствовал, что публикует работу дель Ферро, чтобы обойти это обещание. Тем не менее, это привело к вызову Кардано из Тартальи, который Кардано отрицал. Вызов был в конечном итоге принят учеником Кардано Лодовико Феррари (1522–1565). Ferrari выступила на соревнованиях лучше, чем Тарталья, и Тарталья потерял и свой престиж, и свой доход. ^[20]

Кардано заметил, что метод Тартальи иногда требует от него извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Он даже включил вычисление с этими комплексными числами в Ars Magna , но на самом деле не понял этого. Рафаэль Бомбелли подробно изучил этот вопрос ^[21] и поэтому часто считается первооткрывателем комплексных чисел.

Франсуа Виет (1540–1603) независимо вывел тригонометрическое решение для кубики с тремя действительными корнями, а Рене Декарт (1596–1650) расширил работы Виете. ^[22]

Факторизация [ править ]

Если коэффициенты кубического уравнения являются рациональными числами , можно получить эквивалентное уравнение с целыми коэффициентами, умножив все коэффициенты на общее кратное их знаменателей. Такое уравнение

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0,}$

с целыми коэффициентами, называется приводимой, если многочлен в левой части является произведением многочленов более низких степеней. По лемме Гаусса , если уравнение приводимо, можно предположить, что множители имеют целые коэффициенты.

Найти корни приводимого кубического уравнения проще, чем решить общий случай. Фактически, если уравнение приводимо, один из множителей должен иметь степень один и, таким образом, иметь вид

${\ displaystyle qx-p}$

с д и р является взаимно простыми числами . Тест рационального корня позволяет найти q и p , исследуя конечное число случаев (потому что q должно быть делителем a , а p должно быть делителем d ).

Таким образом, один корень равен, а другие корни являются корнями другого множителя, который может быть найден полиномиальным делением в длину . Этот другой фактор ${\ displaystyle \ textstyle x_ {1} = {\ frac {p} {q}},}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {q}} x ^ {2} + {\ frac {bq + ap} {q ^ {2}}} x + {\ frac {cq ^ {2} + bpq + ap ^ {2}} {д ^ {3}}}}$

(Коэффициенты кажутся не целыми числами, но должны быть целыми числами, если p / q является корнем.)

Тогда другие корни являются корнями этого квадратичного многочлена и могут быть найдены с помощью формулы квадратичного уравнения .

Углубленный кубический[ редактировать ]

Кубики формы

${\ displaystyle t ^ {3} + pt + q}$

говорят, что они в депрессии. Они намного проще, чем общие кубики, но являются фундаментальными, потому что изучение любой кубики может быть сведено простой заменой переменной к изучению депрессивной кубики.

Позволять

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$

- кубическое уравнение. Изменение переменной

${\ displaystyle x = t - {\ frac {b} {3a}}}$

приводит к кубике, у которой нет члена в t ² . После деления на один получает подавленное кубическое уравнение

${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}}$

В корнях исходного уравнения связаны с корнями углубленного уравнения соотношений ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}$

${\displaystyle x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},}$

для .${\displaystyle i=1,2,3}$

Дискриминантность и природа корней [ править ]

С помощью дискриминанта можно определить природу (действительную или нет, отличную или нет) корней кубики без их явного вычисления .

Дискриминант [ править ]

Дискриминант из полинома является функцией его коэффициентов, равен нулю тогда и только тогда , когда многочлен имеет кратный корень , или, если оно делится на квадрат непостоянной полинома. Другими словами, дискриминант отличен от нуля тогда и только тогда, когда многочлен не содержит квадратов .

Если r ₁ , r ₂ , r ₃ - три корня (не обязательно различные и не действительные ) кубики, то дискриминант${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$

${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$

Дискриминант депрессивной кубики равен ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$

${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$

Дискриминант общей кубики равен ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$

Это произведение и дискриминант соответствующей депрессивной кубики. Отсюда следует, что один из этих двух дискриминантов равен нулю тогда и только тогда, когда другой также равен нулю, и, если коэффициенты действительны , два дискриминанта имеют одинаковый знак. Таким образом, одна и та же информация может быть получена из любого из этих двух дискриминантов.${\displaystyle a^{4}}$

Чтобы доказать предыдущие формулы, можно использовать формулы Виета, чтобы выразить все в виде полиномов от r ₁ , r ₂ , r ₃ и a . Затем доказательство приводит к проверке равенства двух многочленов.

Природа корней [ править ]

Если коэффициенты полинома - действительные числа, а дискриминант не равен нулю, возможны два случая:${\displaystyle \Delta }$

• Если кубика имеет три различных действительных корня${\displaystyle \Delta >0,}$
• Если кубика имеет один действительный корень и два невещественных комплексно-сопряженных корня.${\displaystyle \Delta <0,}$

Это можно доказать следующим образом. Во-первых, если r является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то его комплексное сопряжение также является корнем. Таким образом, нереальные корни, если они есть, встречаются как пары комплексно сопряженных корней. Поскольку кубический многочлен имеет три корня (не обязательно разные) по фундаментальной теореме алгебры , по крайней мере один корень должен быть вещественным.

Как указано выше, если r ₁ , r ₂ , r ₃ - три корня кубики , то дискриминант ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$

Если три корня действительны и различны, дискриминант является произведением положительных вещественных чисел, то есть ${\displaystyle \Delta >0.}$

Если только один корень, скажем, r ₁ , является вещественным, тогда r ₂ и r ₃ являются комплексно сопряженными, что означает, что r ₂ - r ₃ является чисто мнимым числом , и, таким образом, ( r ₂ - r ₃ ) ² является действительным и отрицательный. С другой стороны, r ₁ - r ₂ и r ₁ - r ₃ являются комплексно сопряженными, и их произведение вещественно и положительно. ^[23]Таким образом, дискриминант - это произведение одного отрицательного числа и нескольких положительных. То есть${\displaystyle \Delta <0.}$

Множественный корень [ править ]

Если дискриминант кубики равен нулю, кубика имеет кратный корень . Если, кроме того, его коэффициенты действительны, то все его корни действительны.

Дискриминант вдавленной кубики равен нулю, если если p также равно нулю, то p = q = 0 , а 0 - тройной корень кубики. Если и p ≠ 0 , то кубика имеет простой корень${\displaystyle \;t^{3}+pt+q\;}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0\;.}$${\displaystyle \;4p^{3}+27q^{2}=0\;,}$

${\displaystyle t_{1}={\frac {\,3q\,}{p}}}$

и двойной корень

${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {\,3q\,}{2p}}~.}$

Другими словами,

${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {\,3q\,}{2p}}\right)^{2}\;.}$

Этот результат можно доказать, расширив последнее произведение, или получить, решив довольно простую систему уравнений, полученную из формул Виета .

Используя редукцию депрессивной кубики , эти результаты могут быть распространены на общую кубику. Это дает: если дискриминант кубики равен нулю, то${\displaystyle \;ax^{3}+bx^{2}+cx+d\;}$

• либо, если кубика имеет тройной корень${\displaystyle b^{2}=3ac\;,}$

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{\,3a\,}}~,}$

и

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{\,3a\,}}\right)^{3}}$

• или, если кубика имеет двойной корень${\displaystyle \;b^{2}\neq 3ac\;,}$

${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{\,2(b^{2}-3ac)\,}}~,}$

и простой корень,

${\displaystyle x_{1}={\frac {\,4abc-9a^{2}d-b^{3}\,}{a(b^{2}-3ac)}}~.}$

и поэтому

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\,\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)^{2}~.}$

Характеристика 2 и 3 [ править ]

Приведенные выше результаты справедливы , если коэффициенты принадлежат к области от характерных кроме 2 или 3, но они должны быть модифицированы для характеристики 2 или 3, из - за вовлеченные подразделения по 2 и 3.

Редукция к депрессивной кубике работает для характеристики 2, но не для характеристики 3. Однако в обоих случаях проще установить и сформулировать результаты для общей кубики. Основным инструментом для этого является тот факт, что кратный корень является общим корнем многочлена и его формальной производной . В этих характеристиках, если производная не является константой, она имеет единственный корень, будучи линейным в характеристике 3, или квадрат линейного полинома в характеристике 2. Это позволяет вычислить кратный корень, а третий корень может быть выведен из сумма корней, которая определяется формулами Виета .

Отличие от других характеристик состоит в том, что в характеристике 2 формула двойного корня включает квадратный корень, а в характеристике 3 формула тройного корня включает кубический корень.

Формула Кардано [ править ]

Джероламо Кардано опубликовал первую формулу для решения кубических уравнений, приписывая ее Сципионе дель Ферро . Формула применима к депрессивным кубикам, но, как показано в § Углубленные кубики , она позволяет решать все кубические уравнения.

Результат Кардано таков: если

${\displaystyle x^{3}+px+q=0}$

является кубическим уравнением, в котором p и q являются действительными числами , и тогда уравнение имеет вещественный корень${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

См. § Выведение корней ниже, где описаны несколько методов получения этого результата.

Как показано в § Природа корней , в данном случае два других корня не являются действительными комплексно сопряженными числами. Позже было показано (Кардано не знал комплексных чисел ), что два других корня получаются путем умножения любого из кубических корней на примитивный кубический корень из единицы, а другого кубического корня на${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$${\displaystyle {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$

Если есть три действительных корня, но теория Галуа позволяет доказать, что при отсутствии рационального корня корни не могут быть выражены алгебраическим выражением, содержащим только действительные числа. Следовательно, в этом случае уравнение не может быть решено с учетом времени Кардано. Таким образом, этот падеж был назван casus unducibilis , что на латыни означает неприводимый падеж .${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$

В случае casus irducibilis формула Кардано все еще может использоваться, но при использовании кубических корней необходимо соблюдать осторожность. Первый метод состоит в том, чтобы определить символы и как представляющие основные значения корневой функции (то есть корень, имеющий наибольшую действительную часть). С этим соглашением формула Кардано для трех корней остается в силе, но не является чисто алгебраической, поскольку определение главной части не является чисто алгебраическим, поскольку оно включает неравенства для сравнения действительных частей. Кроме того, использование главного корня куба может дать неверный результат, если коэффициенты не являются действительными комплексными числами. Более того, если коэффициенты принадлежат другому полю , главный корень куба вообще не определен.${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$

Второй способ сделать формулу Кардано всегда правильной - это отметить, что произведение двух кубических корней должно быть - p / 3 . Это приводит к тому, что корень уравнения

${\displaystyle C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

В этой формуле символы и обозначают любой квадратный корень и любой кубический корень. Остальные корни уравнения получаются либо изменением кубического корня, либо, что то же самое, умножением кубического корня на примитивный кубический корень из единицы, то есть${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Эта формула для корней всегда верна, за исключением случая, когда p = q = 0 , при условии, что если p = 0 , квадратный корень выбирается так, чтобы C ≠ 0 . Однако в этих случаях формула бесполезна, поскольку корни можно выразить без кубического корня. Точно так же формула бесполезна и в других случаях, когда кубический корень не нужен, то есть когда и когда кубический многочлен не является неприводимым .${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0}$

Эта формула также верно , когда р и д принадлежит к какой - либо области в характеристике , кроме 2 или 3.

Общая кубическая формула [ править ]

Кубическая формула для корней общего кубического уравнения (с ≠ 0 )

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

может быть выведен из любого варианта формулы Кардано путем сведения к угнетенной кубической . Вариант , который представлен здесь справедливо не только для реальных коэффициентов, но также и для коэффициентов через , Ь , с , д , принадлежащих к любой области в характеристике различных 2 и 3.

Формула довольно сложна, поэтому стоит разбить ее на более мелкие формулы.

Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d,\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}},}$

где символы и интерпретируются как любой квадратный корень и любой кубический корень соответственно. Знак « ± » перед квадратным корнем означает « + » или « - »; выбор почти произвольный, и его изменение равносильно выбору другого квадратного корня. Однако, если выбор дает C = 0 , тогда должен быть выбран другой знак. Тогда один из корней${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$

${\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}}$

Два других корня можно получить, изменив выбор кубического корня в определении C , или, что то же самое, умножив C на примитивный кубический корень из единицы , то есть–1 ± √ –3/2. Другими словами, три корня

${\displaystyle x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}}$

где ξ =–1 + √ –3/2.

Что касается особого случая кубической формы с углублением, эта формула применима, но бесполезна, когда корни могут быть выражены без кубических корней.

Стоит отметить, что Δ₀ и Δ₁ можно найти, взяв равнодействующие между кубикой наверху и ее производными. Δ₁ равно -1 / (8a) умноженному на результат между кубикой и ее второй производной. Δ₀ равно -1 / (12a) умноженному на результат между первой и второй производными кубического многочлена.

Тригонометрические и гиперболические решения [ править ]

Тригонометрическое решение для трех действительных корней [ править ]

Когда кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три действительных корня, формулы, выражающие эти корни через радикалы, включают комплексные числа. Теория Галуа позволяет доказать, что, когда три корня действительны и ни один из них не является рациональным ( casus unducibilis ), нельзя выразить корни в терминах действительных радикалов. Тем не менее, чисто реальные выражения решений могут быть получены с использованием тригонометрических функций , в частности, в терминах косинусов и арккосинусов . ^[24] Точнее, корни депрессивной кубической

${\displaystyle t^{3}+p\,t+q=0}$

являются ^[25]

${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {\,p\,}{3}}\;}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\,\arccos \left({\frac {\,3q\,}{2p}}\,{\sqrt {{\frac {-3\;}{p}}\,}}\,\right)-{\frac {\,2\pi k\,}{3}}\,\right]\qquad {\text{for}}~k=0,1,2\;.}$

Эта формула принадлежит Франсуа Виету . ^[22] Это чисто реально, когда уравнение имеет три действительных корня (то есть ). В противном случае он все еще верен, но включает сложные косинусы и арккосинусы, когда есть только один действительный корень, и бессмысленный (деление на ноль), когда p = 0) .${\displaystyle 4\,p^{3}+27\,q^{2}<0\,}$

Эту формулу можно напрямую преобразовать в формулу для корней общего кубического уравнения, используя обратную подстановку, описанную в § Углубленная кубическая . Это можно доказать следующим образом:

Исходя из уравнения t ³ + pt + q = 0 , положим t = u cos θ . Идея состоит в том, чтобы выбрать u, чтобы уравнение совпадало с тождеством 

${\displaystyle 4\,\cos ^{3}\theta -3\,\cos \theta -\cos(\,3\theta \,)=0\;.}$

Для этого выберите и разделите уравнение на. Это дает ${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {\,p\,}{3}}\;}}\,,}$${\displaystyle {\frac {\;u^{3}\,}{4}}\,.}$

${\displaystyle 4\,\cos ^{3}\theta -3\,\cos \theta -{\frac {\,3q\,}{2p}}\,{\sqrt {{\frac {-3\;}{p}}\,}}=0\;.}$

Комбинируя с указанным выше тождеством, получаем

${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {\,3q\,}{2p}}{\sqrt {{\frac {-3\;}{p}}\,}}\;,}$

и корни таким образом

${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {\,-{\frac {\,p\,}{3}}\;}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\,\arccos \left({\frac {\,3q\,}{2p}}\,{\sqrt {{\frac {-3\;}{p}}\,}}\right)-{\frac {\,2\pi k\,}{3}}\right]\qquad {\text{for}}~k=0,1,2\;.}$

Гиперболическое решение для одного действительного корня [ править ]

Когда существует только один действительный корень (и p ≠ 0 ), этот корень можно аналогичным образом представить с помощью гиперболических функций , как ^{[26] [27]}

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0\;,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0\;.\end{aligned}}}$

Если p ≠ 0 и неравенства справа не выполняются (случай трех действительных корней), формулы остаются в силе, но содержат комплексные величины.

Когда p = ± 3 , указанные выше значения t ₀ иногда называют кубическим корнем Чебышева. ^[28] Точнее, значения, включающие косинусы и гиперболические косинусы, определяют, когда p = −3 , ту же аналитическую функцию, обозначенную C _1/3 ( q ) , которая является правильным кубическим корнем Чебышева. Значение, включающее гиперболические синусы, аналогично обозначается S _1/3 ( q ) , когда p = 3 .

Геометрические решения [ править ]

Решение Омара Хайяма [ править ]

Для решения кубического уравнения x ³ + m ² x = n, где n > 0 , Омар Хайям построил параболу y = x ² / m , круг с диаметром отрезка [0, n / m ² ] на положительная ось x и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения окружности и параболы над точкой x-ось. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной линии и оси x (см. Рисунок).

Простое современное доказательство состоит в следующем. Умножение уравнения на x / м ² и перегруппировка членов дает

${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$

В левой части находится значение y ² на параболе. Уравнение круга: y ² + x ( x -п/м ²) = 0 , правая часть - это значение y ² на окружности.

Решение с трисектором угла [ править ]

Кубическое уравнение с действительными коэффициентами может быть решено геометрически с помощью циркуля, линейки и трисектора угла тогда и только тогда, когда оно имеет три действительных корня. ^{[29] : Thm. 1}

Кубическое уравнение может быть решено с помощью построения циркуля и линейки (без трисектора) тогда и только тогда, когда оно имеет рациональный корень. Это означает, что старые задачи о трисекции угла и удвоении куба , поставленные древнегреческими математиками , не могут быть решены с помощью построения циркуля и линейки.

Геометрическая интерпретация корней [ править ]

Три настоящих корня [ править ]

Тригонометрическое выражение корней Виэта в случае трех действительных корней поддается геометрической интерпретации в терминах круга. ^{[22] [30]} Когда кубика записана в сокращенной форме ( 2 ) , t ³ + pt + q = 0 , как показано выше, решение может быть выражено как

${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$

Вот угол в единичной окружности; принимая${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$1/3этого угла соответствует извлечению кубического корня из комплексного числа; добавление - k2 π/3для k = 1, 2 находит другие кубические корни; и умножение косинусов этих результирующих углов на поправку на масштаб.${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$

Для случая без депрессии ( 1 ) (показанного на прилагаемом графике) описанный ранее случай с депрессией получается путем определения t таким образом, что x = t -б/3 атак что t = x +б/3 а. Графически это соответствует простому смещению графика по горизонтали при переключении между переменными t и x без изменения угловых соотношений. Этот сдвиг перемещает точку перегиба и центр круга на ось y . Следовательно, сумма корней уравнения по t равна нулю.

Один настоящий корень [ править ]

В декартовой плоскости [ править ]

Когда график кубической функции строится в декартовой плоскости , если есть только один действительный корень, это абсцисса ( координата x ) горизонтального пересечения кривой (точка R на рисунке). Кроме того, ^{[31] [32] [33],} если комплексно сопряженные корни записываются как g ± hi , то действительная часть g является абсциссой точки касания H касательной к кубике, проходящей через точку пересечения x R точки кубическая (то есть знаковая длина RM, отрицательная на рисунке). Мнимые части ± чявляются квадратными корнями из тангенса угла между этой касательной и горизонтальной осью. ^{[ требуется разъяснение ]}

В комплексной плоскости [ править ]

Имея один действительный и два комплексных корня, три корня могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости, как и два корня производной кубики. Между всеми этими корнями существует интересная геометрическая связь.

Точки на комплексной плоскости, представляющие три корня, служат вершинами равнобедренного треугольника. (Треугольник является равнобедренным, потому что один корень находится на горизонтальной (действительной) оси, а два других корня, являясь комплексно сопряженными, появляются симметрично выше и ниже действительной оси.) Теорема Мардена гласит, что точки, представляющие корни производной от кубическая являются очагами в эллипс Штейнера треугольника-уникального эллипса, касательной к треугольнику в серединах его сторон. Если угол при вершине на действительной оси меньше, чемπ/3тогда большая ось эллипса лежит на действительной оси, как и его фокусы и, следовательно, корни производной. Если этот угол больше, чемπ/3, большая ось вертикальна, а ее фокусы - корни производной - комплексно сопряжены. И если этот уголπ/3, треугольник равносторонний, эллипс Штейнера - это просто вписанная окружность треугольника, его фокусы совпадают друг с другом в центре, который лежит на действительной оси, и, следовательно, производная имеет повторяющиеся действительные корни.

Группа Галуа [ править ]

Учитывая кубический неприводимый многочлен над полем к о характеристике , отличной от 2 и 3, то группа Галуа над к является группа из полевых автоморфизмов , что исправление к наименьшего расширения K ( поле разложения ). Поскольку эти автоморфизмы должны переставлять корни многочленов, эта группа является либо группой S ₃ всех шести перестановок трех корней, либо группой A ₃ трех круговых перестановок.

Дискриминант Δ кубики - это квадрат

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),}$

где a - старший коэффициент кубики, а r ₁ , r ₂ и r ₃ - три корня кубики. Как изменение знака при обмене двумя корнями, фиксируется группой Галуа, только если группа Галуа равна A ₃ . Другими словами, группа Галуа является A ₃ тогда и только тогда, когда дискриминант является квадратом элемента k .${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

Поскольку большинство не являются целыми числами квадратов, при работе над полем Q из рациональных чисел , то группа Галуа большинства неприводимых кубических многочленов является группа S ₃ с шестью элементами. Примером группы Галуа A ₃ с тремя элементами является p ( x ) = x ³ - 3 x - 1 , дискриминант которого равен 81 = 9 ² .

Вывод корней [ править ]

В этом разделе собраны несколько методов вывода формулы Кардано .

Метод Кардано [ править ]

Этот метод разработан Сципионе дель Ферро и Тарталья , но назван в честь Джероламо Кардано, который впервые опубликовал его в своей книге Ars Magna (1545).

Этот метод применим к депрессивной кубике t ³ + pt + q = 0 . Идея состоит в том, чтобы ввести две переменные u и v такие, что u + v = t, и подставить их в пониженную кубику, получив

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$

Здесь Кардано наложил условие 3 uv + p = 0 . Это удаляет третий член в предыдущем равенстве, что приводит к системе уравнений

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$

Зная сумму и произведение u ³ и v ³ , можно сделать вывод, что они являются двумя решениями квадратного уравнения

${\displaystyle (x-u^{3})(x-v^{3})=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}=0,}$

так

${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0,}$

Дискриминант этого уравнения ( при условии, что он положительный) реальными решениями этого уравнения (после деления на 4 под квадратным корнем) следующие:${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$

${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$

Итак (без ограничения общности выбора u или v):

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$

Поскольку u + v = t , сумма кубических корней этих решений является корнем уравнения. То есть

${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$

является корнем уравнения; это формула Кардано.

Это хорошо работает, если, но, если квадратный корень в формуле не является действительным. Поскольку комплексное число имеет три кубических корня, использование формулы Кардано без осторожности даст девять корней, в то время как кубическое уравнение не может иметь более трех корней. Впервые это разъяснил Рафаэль Бомбелли в своей книге «Алгебра» (1572 г.). Решение состоит в том, чтобы использовать тот факт, что uv =${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$- п/3, то есть v =- п/3 ты. Это означает, что необходимо вычислить только один кубический корень, что приводит ко второй формуле, приведенной в формуле § Кардано .

Другие корни уравнения могут быть получены изменением кубического корня или, что то же самое, умножением кубического корня на каждый из двух примитивных кубических корней из единицы , которые равны${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Замена Виеты [ править ]

Подстановка Виета - это метод, предложенный Франсуа Виетом (Виета - его латинское имя) в тексте, опубликованном посмертно в 1615 году, который непосредственно обеспечивает вторую формулу метода Кардано и позволяет избежать проблемы вычисления двух разных кубических корней. ^[34]

Начиная с угнетенной кубики t ³ + pt + q = 0 , замена Виета имеет вид t = w -п/3 нед. ^[35]

Подстановка t = w -п/3 нед превращает угнетенную кубику в

${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$

Умножая на w ³ , получаем квадратное уравнение относительно w ³ :

${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$

Позволять

${\displaystyle W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}$

- любой ненулевой корень этого квадратного уравнения. Если ж ₁ , ж ₂ и ш ₃ являются тремя кубическими корнями из W , то корни оригинала депрессии кубические являются ш ₁ -п/3 нед ₁, w ₂ -п/3 нед ₂, а w ₃ -п/3 нед ₃. Другой корень квадратного уравнения: Это означает, что изменение знака квадратного корня меняет местами w _i и -${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.}$п/3 ж _ядля i = 1, 2, 3 и, следовательно, не меняет корни. Этот метод не работает, только когда оба корня квадратного уравнения равны нулю, то есть когда p = q = 0 , и в этом случае единственный корень депрессивной кубики равен 0 .

Метод Лагранжа [ править ]

В своей статье Réflexions sur la résolution algébrique des équations («Мысли об алгебраическом решении уравнений») ^[36] Жозеф Луи Лагранж представил новый метод решения уравнений низкой степени единообразным образом, с надеждой, что он сможет обобщить это для более высоких степеней. Этот метод хорошо работает для уравнений кубической и четвертой степени , но Лагранжу не удалось применить его к уравнению пятой степени , поскольку он требует решения резольвентного полинома не ниже шестой степени. ^{[37] [38] [39]} За исключением того, что решить задачу раньше никому не удавалось, это было первым признаком отсутствия алгебраической формулы для степеней 5 и выше. Позднее это было доказано и названо теоремой Абеля – Руффини . Тем не менее современные методы решения уравнений пятой степени основаны в основном на методе Лагранжа. ^[39]

В случае кубических уравнений метод Лагранжа дает то же решение, что и метод Кардано. Метод Лагранжа может быть применен непосредственно к общему кубическому уравнению ax ³ + bx ² + cx + d = 0 , но вычисления проще с депрессивным кубическим уравнением, t ³ + pt + q = 0 .

Основная идея Лагранжа заключалась в том, чтобы работать с дискретным преобразованием Фурье корней, а не с самими корнями. Точнее, пусть ξ - примитивный корень третьей степени из единицы , то есть такое число, что ξ ³ = 1 и ξ ² + ξ + 1 = 0 (при работе в пространстве комплексных чисел у человека есть, но эта сложная интерпретация не является используется здесь). Обозначая x ₀ , x ₁ и x ₂ три корня кубического уравнения, которое необходимо решить, пусть${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$

- дискретное преобразование Фурье корней. Если s ₀ , s ₁ и s ₂ известны, корни могут быть восстановлены из них с помощью обратного преобразования Фурье, состоящего из обращения этого линейного преобразования; то есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$

По формулам Виета известно , что s ₀ равно нулю в случае вдавленной кубики и -б/адля общей кубики. Итак, необходимо вычислить только s ₁ и s ₂ . Они не являются симметричными функциями корней (замена x ₁ и x ₂ также меняет местами s ₁ и s ₂ ), но некоторые простые симметричные функции s ₁ и s ₂ также симметричны по корням решаемого кубического уравнения. Таким образом, эти симметричные функции могут быть выражены через (известные) коэффициенты исходной кубики, и это позволяет в конечном итоге выразить s _i как корни многочлена с известными коэффициентами.

В случае кубического уравнения такими симметричными многочленами являются P = s ₁ s ₂ и S = s ₁ ³ + s ₂ ³ (см. Ниже). Отсюда следует, что s ₁ ³ и s ₂ ³ являются двумя корнями квадратного уравнения z ² - Sz + P ³ = 0 . Таким образом, решение уравнения может быть завершено точно так же, как в методе Кардано, с s ₁ и s ₂ вместо u.и v .

В случае вдавленной кубики x ₀ =1/3( s ₁ + s ₂ ) и s ₁ s ₂ = −3 p , тогда как в методе Кардано мы положили x ₀ = u + v и uv = -1/3стр . Таким образоммы имеем, вплоть до обмена U и V , ев ₁ = 3 ¯u и ев ₂ = 3 об . Другими словами, в этом случае метод Кардано и метод Лагранжа вычисляют в точности одни и те же вещи с точностью до трех во вспомогательных переменных, причем основное различие состоит в том, что метод Лагранжа объясняет, почему эти вспомогательные переменные появляются в задаче.

Вычисление S и P [ править ]

Непосредственное вычисление с использованием соотношений ξ ³ = 1 и ξ ² + ξ + 1 = 0 дает

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),\\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}$

Это показывает, что P и S являются симметричными функциями корней. Используя тождества Ньютона , их легко выразить через элементарные симметричные функции корней, давая

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},\end{aligned}}}$

где e ₁ = 0 , e ₂ = p и e ₃ = - q в случае углубленной кубики, а e ₁ = -б/а, e ₂ =c/аи e ₃ = -d/а, в общем случае.

Приложения [ править ]

Кубические уравнения возникают в различных других контекстах.

По математике [ править ]

• Трисекция угла и удвоение куба - две древние задачи геометрии , которые, как было доказано, нельзя решить с помощью линейки и компаса , поскольку они эквивалентны решению кубического уравнения.
• Теорема мардена утверждает , что фокусы в Эллипсе Штейнера любого треугольника можно найти, используя кубическую функцию, корни которого являются координатами в комплексной плоскости три вершин треугольника. Корни первой производной этой кубики являются комплексными координатами этих фокусов.
• Площадь регулярного семиугольника может быть выражено в терминах корней кубического. Кроме того, отношения длинной диагонали к стороне, стороны к короткой диагонали и отрицательного значения короткой диагонали к длинной диагонали удовлетворяют определенному кубическому уравнению. Кроме того, отношение inradius к описанной окружности в виде семиугольного треугольника является одним из решений кубического уравнения. Значения тригонометрических функций углов, связанных с удовлетворением кубических уравнений.${\displaystyle 2\pi /7}$
• Учитывая косинус (или другую тригонометрическую функцию) произвольного угла, косинус одной трети этого угла является одним из корней кубики.
• Решение общего уравнения четвертой степени основывается на решении его резольвентной кубики .
• В собственных значениях из 3 × 3 матрицы являются корнями кубического многочлена , который является характеристическим полиномом матрицы.
• Характеристическое уравнение матрицы А коэффициентов постоянных третьего порядка линейного дифференциального уравнения или разностного уравнения представляет собой кубическое уравнение.
• Точки пересечения кубической кривой Безье и прямой могут быть вычислены с использованием прямого кубического уравнения, представляющего кривую Безье.

В других науках [ править ]

• В аналитической химии , то уравнение Шарело , который может быть использован , чтобы найти рН буферных растворов , может быть решено с помощью кубического уравнения.
• В термодинамиках , уравнение состояния (которые имеют отношение давления, объем и температура веществ) имеют кубическое в объеме.
• Кинематические уравнения, включающие линейные скорости ускорения, являются кубическими.
• Скорость сейсмических волн Рэлея является решением кубического уравнения волны Рэлея .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Guilbeau, Lucye (1930), "История решения кубического уравнения", Математика Новости Письмо , 5 (4): 8-12, DOI : 10,2307 / 3027812 , JSTOR  3027812

Дальнейшее чтение [ править ]

• Энглин, WS; Ламбек, Иоахим (1995), «Математика в эпоху Возрождения» , The Heritage of Thales , Springers, pp. 125–131, ISBN 978-0-387-94544-6Гл. 24.
• Рия, Т. (ноябрь 1997 г.), "Кубики, хаоса и метод Ньютона", Математическая газета , Математическая ассоциация , 81 (492): 403-408, DOI : 10,2307 / 3619617 , ISSN  0025-5572 , JSTOR  3619617
• Даннет, Р. (ноябрь 1994), "Ньютон-Рафсон и кубический", Математическая газета , Математическая ассоциация , 78 (483): 347-348, DOI : 10,2307 / 3620218 , ISSN  0025-5572 , JSTOR  3620218
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1
• Митчелл, DW (ноябрь 2007), "Решение кубика при решении треугольников", Математическая Gazette , Математическая ассоциация , 91 : 514-516, DOI : 10,1017 / S0025557200182178 , ISSN  0025-5572
• Митчелл, DW (ноябрь 2009), "Полномочие ф как корни кубиков", Математическая газета , Математическая ассоциация , 93 , DOI : 10,1017 / S0025557200185237 , ISSN  0025-5572
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 5.6 Квадратичные и кубические уравнения» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Rechtschaffen, Эдгар (июль 2008), "Реальные корни кубиков: Явная формула для квазирешений", Математическая газета , Математическая ассоциация , 92 : 268-276, DOI : 10,1017 / S0025557200183147 , ISSN  0025-5572
• Zucker, IJ (июль 2008), "кубическое уравнение - это новый взгляд на неприводимом случае", Математическая газета , Математическая ассоциация , 92 : 264-268, DOI : 10,1017 / S0025557200183135 , ISSN  0025-5572

Внешние ссылки [ править ]

• «Формула Кардано» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• История квадратных, кубических и четвертых уравнений в архиве MacTutor .
• 500 лет НЕ учить КУБИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ. С чем, по их мнению, ты не справишься? - Видео на YouTube от Mathologer об истории кубических уравнений и решении Кардано, а также о решении Феррари уравнений четвертой степени.