Гиперболический угол

Гиперболический угол - это фигура, окруженная двумя лучами и гиперболической дугой. Заштрихованный сектор находится в стандартном положении, если a = 1

В математике , гиперболический угол является геометрической фигурой , которая определяет гиперболический сектор . Отношение гиперболического угла к гиперболе аналогично отношению «обычного» угла к окружности .

Величина гиперболического угла - это площадь соответствующего сектора гиперболы xy = 1. Эта гипербола является прямоугольной с большой полуосью , аналогичной величине кругового угла, соответствующего площади кругового сектора в круг с радиусом .${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Гиперболический угол используется в качестве независимой переменной для гиперболических функций sinh, cosh и tanh, потому что эти функции могут основываться на гиперболических аналогиях с соответствующими круговыми тригонометрическими функциями, рассматривая гиперболический угол как определяющий гиперболический треугольник . Таким образом, параметр становится одним из самых полезных в исчислении от реальных переменных.

Определение [ править ]

Рассмотрим прямоугольную гиперболу и (по соглашению) обратите особое внимание на ветвь .${\ displaystyle \ textstyle \ {(x, {\ frac {1} {x}}): x> 0 \}}$ ${\ displaystyle x> 1}$

Сначала определите:

• Гиперболический угол в стандартном положении представляет собой угол в между лучом до и луча к , где .${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (1,1)}$${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$${\displaystyle x>1}$
• Величина этого угла - это площадь соответствующего гиперболического сектора , который оказывается равным .${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

Обратите внимание, что из-за роли натурального логарифма :

• В отличие от кругового угла, гиперболический угол неограничен (потому что он неограничен); это связано с тем, что гармонический ряд неограничен.${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• Формула для величины угла предполагает, что для гиперболический угол должен быть отрицательным. Это отражает тот факт, что, как определено, угол направлен .${\displaystyle 0<x<1}$

Наконец, расширите определение гиперболического угла до угла, который образует любой интервал на гиперболе. Предположим , что положительные действительные числа такие, что и , так что и являются точками на гиперболе, и определяют интервал на ней. Затем отображение сжатия отображает угол в стандартный позиционный угол . По результату Грегуара де Сент-Винсент , гиперболические сектора, определяемые этими углами, имеют одинаковую площадь, которая принимается за величину угла. Эта величина есть .${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle ab=cd=1}$${\displaystyle c>a>1}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle (c,d)}$${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

Сравнение с круговым углом [ править ]

Единичная гипербола имеет сектор с площадью, равной половине гиперболического угла

Круговой угол против гиперболического

Единичная окружность имеет круговой сектор с площадью половины окружности угла в радианах. Аналогично, единичная гипербола имеет гиперболический сектор с площадью, равной половине гиперболического угла.${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

Существует также проективное разрешение между круговым и гиперболическим случаями: обе кривые являются коническими сечениями и, следовательно, рассматриваются как проективные области в проективной геометрии . Если задана исходная точка на одном из этих диапазонов, другие точки соответствуют углам. Базовая для науки идея сложения углов соответствует сложению точек на одном из этих диапазонов следующим образом:

Круговые углы могут быть геометрически охарактеризованы тем свойством, что если две хорды P ₀ P ₁ и P ₀ P ₂ соединяют углы L ₁ и L ₂ в центре окружности, их сумма L ₁ + L ₂ представляет собой угол, образованный хордой. PQ , где PQ должен быть параллелен P ₁ P ₂ .

Ту же конструкцию можно применить и к гиперболе. Если в качестве P ₀ взять точку (1, 1) , P ₁ - точку ( x ₁ , 1 / x ₁ ) , а P ₂ - точку ( x ₂ , 1 / x ₂ ) , то условие параллельности требует, чтобы Q - точка ( x ₁ x ₂ , 1 / x ₁ 1 / x ₂ ) . Таким образом, имеет смысл определить гиперболический угол из P₀ в произвольную точку на кривой как логарифмическую функцию значения точки x . ^{[1] [2]}

В то время как в евклидовой геометрии устойчивое движение в ортогональном направлении к лучу из начала координат очерчивает круг, в псевдоевклидовой плоскости, устойчиво движущейся перпендикулярно лучу из начала координат, образуется гипербола. В евклидовом пространстве множитель данного угла указывает равные расстояния по окружности, в то время как он отображает экспоненциальные расстояния на гиперболической линии. ^[3]

И круговой, и гиперболический угол представляют собой примеры инвариантной меры . Дуги с угловой величиной на окружности генерируют меру на определенных измеримых наборах на окружности, величина которой не меняется при повороте или вращении окружности . Для гиперболы поворот осуществляется с помощью отображения сжатия , а значения гиперболических углов остаются неизменными, когда плоскость сжимается отображением

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ), где r > 0.

История [ править ]

Квадратурная из гиперболы является оценкой площади гиперболического сектора . Можно показать, что она равна соответствующей площади против асимптоты . Впервые квадратура была осуществлена Грегуаром де Сент-Винсентом в 1647 году в его знаменательном Opus geometryum quadrature Ciri et sectionum coni . Как выразился историк,

[Он сделал] квадратуру гиперболы до ее асимптот , и показал , что , как площадь увеличилась в арифметических рядах в абсциссах увеличились в геометрической прогрессии . ^[4]

А. А. де Сараса интерпретировал квадратуру как логарифм, и поэтому геометрически определенный натуральный логарифм (или «гиперболический логарифм») понимается как площадь под y = 1 / x справа от x = 1 . В качестве примера трансцендентной функции логарифм более известен, чем его мотиватор - гиперболический угол. Тем не менее, гиперболический угол играет роль, когда теорема Сен-Винсента продвигается с отображением сжатия .

Круговая тригонометрия была расширена до гиперболы Августом Де Морганом в его учебнике « Тригонометрия и двойная алгебра» . ^[5] В 1878 году WK Клиффорда используется гиперболический угол , чтобы параметризовать в блок гиперболу , описывая его как «квази- гармонического движения ».

В 1894 году Александр Макфарлейн распространил свое эссе «Воображаемое алгебры», в котором для создания гиперболических версоров использовались гиперболические углы , в своей книге « Статьи по анализу пространства» . ^[6] В следующем году Бюллетень Американского математического общества опубликовал схему гиперболических функций Меллена У. Хаскелла . ^[7]

Когда Людвик Зильберштейн писал свой популярный в 1914 году учебник по новой теории относительности , он использовал концепцию скорости, основанную на гиперболическом угле a , где tanh a = v / c , отношение скорости v к скорости света . Он написал:

Стоит упомянуть, что единице скорости соответствует огромная скорость, составляющая 3/4 скорости света; более точно мы имеем v = (0,7616) c для a = 1 .

[...] скорость a = 1 , [...] следовательно, будет представлять скорость 0,76  c, которая немного превышает скорость света в воде.

Зильберштейн также использует концепцию угла параллельности Π ( a ) Лобачевского, чтобы получить cos Π ( a ) = v / c . ^[8]

Воображаемый круговой угол [ править ]

Гиперболический угол часто представляется как воображаемое число . Таким образом, если x - действительное число и i ² = −1 , то

${\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x)\quad {\text{and}}\quad \sin(ix)=i\sinh(x)}$

так что гиперболические функции ch и sh могут быть представлены через круговые функции. Но эти тождества не возникают из круга или вращения, скорее, их можно понять в терминах бесконечных рядов . В частности, выражение, выражающее экспоненциальную функцию ( ), состоит из четных и нечетных членов, первые составляют функцию ch ( ), а вторые - функцию sh ( ). Бесконечный ряд для косинуса получается из cosh путем преобразования его в чередующийся ряд , а ряд для синуса получается из преобразования sin в чередующийся ряд. Вышеупомянутые тождества используют число i, чтобы удалить переменный множитель (−1) ⁿ${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}$${\displaystyle \textstyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$${\displaystyle \textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$от членов ряда, чтобы восстановить полные половины экспоненциального ряда. Тем не менее, в теории голоморфных функций функции гиперболического синуса и косинуса включены в комплексные функции синуса и косинуса.

См. Также [ править ]

• Превосходный угол

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

В Викибуке Исчисление есть страница на тему: Гиперболический угол.

• Джанет Хайне Барнетт (2004) «Входите, в центре сцены: ранняя драма гиперболических функций», доступная в (а) Mathematics Magazine 77 (1): 15–30 или (б) в главе 7 книги Эйлера в 300 , Р. Э. Брэдли, Л.А. Д'Антонио, редакторы CE Sandifer, Математическая ассоциация Америки ISBN  0-88385-565-8 .
• Артур Кеннелли (1912) Применение гиперболических функций к задачам электротехники
• Уильям Мюллер, Исследование предвычисления , § Число е, гиперболическая тригонометрия .
• Джон Стиллвелл (1998). Упражнение с числами и геометрией 9.5.3, стр. 298, Springer-Verlag ISBN 0-387-98289-2 .