Круговой сектор

Малый сектор закрашен зеленым, а большой - белым.

Круговой сектор или круговой сектор (символ: ⌔ ), представляет собой часть с диска заключены два радиусами и на дуге , где меньшая площадь известна как малый сектор и тем больше , являющиеся основной сектор. ^{[1] : 234} На схеме θ - это центральный угол , радиус окружности и длина дуги малого сектора.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle L}$

Сектор с центральным углом 180 ° называется полудиском и ограничен диаметром и полукругом . Секторам с другими центральными углами иногда присваиваются специальные имена, к ним относятся квадранты (90 °), секстанты (60 °) и октанты (45 °), которые происходят из сектора, составляющего одну 4-ю, 6-ю или 8-ю часть полного круга, соответственно. . Как ни странно, дугу квадранта также можно назвать квадрантом.

Угол, образованный соединением концов дуги с любой точкой окружности, не входящей в сектор, равен половине центрального угла. ^{[2] : 376}

Площадь [ править ]

Общая площадь круга равна π r ² . Площадь сектора можно получить, умножив площадь круга на отношение угла θ (выраженного в радианах) и 2 π (поскольку площадь сектора прямо пропорциональна его углу, а 2 π - это угол для весь круг, в радианах):

${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, {\ frac {\ theta} {2 \ pi}} = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}}$

Площадь сектора в единицах L может быть получена умножением общей площади π r ² на отношение L к общему периметру 2 π r .

${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} \, {\ frac {L} {2 \ pi r}} = {\ frac {rL} {2}}}$

Другой подход - рассматривать эту область как результат следующего интеграла:

${\ displaystyle A = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {r} dS = \ int _ {0} ^ {\ theta} \ int _ {0} ^ {r} { \ tilde {r}} \, d {\ tilde {r}} \, d {\ tilde {\ theta}} = \ int _ {0} ^ {\ theta} {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \, d {\ tilde {\ theta}} = {\ frac {r ^ {2} \ theta} {2}}}$

Преобразование центрального угла в градусы дает ^[3]

${\displaystyle A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}}$

Периметр [ править ]

Длина периметра сектора складывается из длины дуги и двух радиусов:

${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$

где θ в радианах.

Длина дуги [ править ]

Формула длины дуги: ^{[4] : 570}

${\displaystyle L=r\theta }$

где L представляет длину дуги, r представляет радиус круга, а θ представляет угол в радианах, образованный дугой в центре круга. ^{[5] : 79}

Если значение угла указано в градусах, то мы также можем использовать следующую формулу: ^[3]

${\displaystyle L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}}$

Длина хорды [ править ]

Длина хорды, образованной экстремальными точками дуги, определяется выражением

${\displaystyle C=2R\sin {\frac {\theta }{2}}}$

где C представляет длину хорды, R представляет радиус круга, а θ представляет угловую ширину сектора в радианах.

См. Также [ править ]

• Круговой сегмент - часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
• Коническое сечение

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Джерард, LJV, Элементы геометрии, в восьми книгах; или «Первый шаг в прикладной логике» (Лондон, Лонгманс, Грин, Ридер и Дайер , 1874 г.), стр. 285 .

• Лежандр AM , Элементы геометрии и тригонометрии , Чарльз Дэвис , изд. (Нью-Йорк: AS Barnes & Co. , 1858), стр. 119 .