Круговой сегмент

В геометрии , A круговой сегмент (символ: ⌓ ) представляет собой область из круга , который является «отрезать» от остальной части окружности с помощью секущего или аккорда . Более формально круговой сегмент - это область двумерного пространства , ограниченная дугой (по соглашению менее радиан) окружности и хордой, соединяющей концы дуги.

Формулы [ править ]

Круговой сегмент (зеленый) заключен между секущей / хордой (пунктирная линия) и дугой, конечные точки которой равны хорде (дуга, показанная над зеленой областью).

Пусть R - радиус дуги, образующей часть периметра сегмента, θ - центральный угол, соединяющий дугу, в радианах , c - длина хорды , s - длина дуги , h - стрела ( высота ) сегмента и a площадь сегмента.

Обычно указываются или измеряются длина и высота хорды, а иногда длина дуги как часть периметра, а неизвестными значениями являются площадь, а иногда и длина дуги. Их нельзя рассчитать просто по длине и высоте хорды, поэтому обычно сначала рассчитываются две промежуточные величины, радиус и центральный угол.

Радиус и центральный угол [ править ]

Радиус:

${\ displaystyle R = {\ tfrac {h} {2}} + {\ tfrac {c ^ {2}} {8h}}}$^[1]

Центральный угол

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ tfrac {c} {2R}}}$

Чтобы преобразовать углы в градусы, используйте вместо в формулах.${\ Displaystyle \ альфа = {\ tfrac {\ theta} {2 \ pi}}}$${\ displaystyle \ theta}$

Длина и высота хорды [ править ]

Длину и высоту хорды можно вычислить на основе радиуса и центрального угла следующим образом:

Длина хорды

${\ displaystyle c = 2R \ sin {\ tfrac {\ theta} {2}} = R {\ sqrt {2 (1- \ cos \ theta)}}}$

Сагитта

${\displaystyle h=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)}$

Длина и площадь дуги [ править ]

Длина дуги, исходя из знакомой геометрии круга, равна

${\displaystyle s={\theta }R}$

Площадь a кругового сегмента равна площади кругового сектора за вычетом площади треугольной части (используя формулу двойного угла, чтобы получить уравнение в терминах):

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

К сожалению, это трансцендентная функция от, и поэтому никакая алгебраическая формула в терминах них не может быть сформулирована. Но можно сказать, что по мере того, как центральный угол становится меньше (или, поочередно, увеличивается радиус), площадь a быстро и асимтотически приближается . Если - хорошее приближение.${\displaystyle a}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$${\displaystyle \theta <<1,a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

Когда центральный угол приближается к π, площадь сегмента сходится к площади полукруга , поэтому хорошим приближением является смещение дельты от последней области: ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$для h> 0,75 R

И т.д. [ править ]

Периметр p равен длине дуги плюс длина хорды,

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

Пропорционально всей площади диска у вас есть${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

Приложения [ править ]

Формулу площади можно использовать при расчете объема частично заполненного цилиндрического резервуара, лежащего горизонтально.

При проектировании окон или дверей с закругленными краями c и h могут быть единственными известными значениями и могут использоваться для расчета R для настройки компаса чертежника.

По фрагментам можно восстановить полные размеры всего круглого объекта, измерив длину дуги и длину хорды фрагмента.

Для проверки положения отверстий на круговом массиве. Особенно полезно для проверки качества обработанных изделий.

Для вычисления площади или центроида плоской формы, содержащей круглые сегменты.

См. Также [ править ]

• Хорда (геометрия)
• Сферический колпачок
• Круговой сектор

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Круговой сегмент» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

• Определение кругового сегмента с интерактивной анимацией
• Формулы для площади кругового сегмента С интерактивной анимацией