Сферический колпачок

Пример сферического колпачка синего цвета (и еще одного красного).

3D модель сферического колпачка.

В геометрии , сферическая крышка или сферический купол представляет собой часть сферы или из шара отрезана плоскостью . Это тоже сферический сегмент одного основания, т. Е. Ограниченный единой плоскостью. Если плоскость проходит через центр сферы, так что высота колпачка равна радиусу сферы, сферический колпачок называется полусферой .

Объем и площадь [ править ]

Объем сферического колпачка , а площадь криволинейной поверхности могут быть вычислены с использованием комбинаций

• Радиус сферы${\displaystyle r}$
• Радиус основания кепки${\displaystyle a}$
• Высота кепки${\displaystyle h}$
• Полярный угол между лучами от центра сферы до вершины колпачка (полюсных) и край диска , образующий основание колпачка${\displaystyle \theta }$

	Использование и${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$	Использование и${\displaystyle a}$${\displaystyle h}$	Использование и${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$
Объем	${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$ [1]	${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}}$
Площадь	${\displaystyle A=2\pi rh}$[1]	${\displaystyle A=\pi (a^{2}+h^{2})}$	${\displaystyle A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}$

Если обозначает широту в географических координатах , то .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,}$

Отношения между и актуальны до тех пор, пока . Например, красная часть иллюстрации также является сферической крышкой, для которой .${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 0\leq h\leq 2r}$${\displaystyle h>r}$

Формулы, в которых используются и, могут быть переписаны с использованием радиуса основания крышки вместо использования теоремы Пифагора :${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,}$

так что

${\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.}$

Подстановка этого в формулы дает:

${\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,}$

${\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.}$

Получение площади поверхности интуитивно из объема сферического сектора [ править ]

Обратите внимание , что в стороне от Исчисления аргумента , основанный ниже, площадь сферического колпачка может быть получена из объема в сферическом секторе , интуитивный аргумент, ^[2] , как${\displaystyle V_{sec}}$

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

Интуитивный аргумент основан на суммировании общего объема сектора бесконечно малых треугольных пирамид . Используя формулу объема пирамиды (или конуса) , где - бесконечно малая площадь каждого пирамидального основания (расположенного на поверхности сферы), а - высота каждой пирамиды от ее основания до вершины (в центре сферы) . Поскольку каждый в пределе постоянен и эквивалентен радиусу сферы, сумма бесконечно малых пирамидальных оснований будет равна площади сферического сектора, и: ${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h'}$${\displaystyle h'}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

Получение объема и площади поверхности с помощью расчетов [ править ]

Вращение зеленой области создает сферическую шапку с высотой и радиусом сферы .${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$

Формулы объема и площади можно получить, исследуя вращение функции

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

для , используя формулы, поверхность вращения для площади и тело вращения для объема. Площадь${\displaystyle x\in [0,h]}$

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

Производная от is${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

и поэтому

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

Формула площади, следовательно,

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

Объем

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

Приложения [ править ]

Объемы объединения и пересечения двух пересекающихся сфер [ править ]

Объем объединения двух пересекающихся сфер радиусов и равен ^[3]${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

куда

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

- сумма объемов двух изолированных сфер, а

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

сумма объемов двух сферических крышек, образующих их пересечение. Если - расстояние между центрами двух сфер, исключение переменных и приводит к ^{[4] [5]}${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

Объем сферической крышки с изогнутым основанием [ править ]

Объем сферической крышки с изогнутым основанием можно рассчитать, рассматривая две сферы радиусом и , разделенные некоторым расстоянием и у которых их поверхности пересекаются в точке . То есть кривизна основания происходит от сферы 2. Таким образом, объем - это разница между колпачком сферы 2 (с высотой ) и колпачком сферы 1 (с высотой ),${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x=h}$${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

Эта формула действительна только для конфигураций, удовлетворяющих требованиям и . Если сфера 2 очень большая и , следовательно, и , что имеет место для сферической крышки с основанием, имеющим пренебрежимо малую кривизну, приведенное выше уравнение равно объему сферической крышки с плоским основанием, как и ожидалось.${\displaystyle 0<d<r_{2}}$${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$${\displaystyle d\gg h}$${\displaystyle r_{2}\approx d}$

Области пересекающихся сфер [ править ]

Рассмотрим две пересекающиеся сферы радиусов и , центры которых разделены расстоянием . Они пересекаются, если${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

По закону косинусов полярный угол сферической шапки на сфере радиуса равен${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

Используя это, площадь поверхности сферической крышки на сфере радиуса равна${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

Площадь поверхности, ограниченная параллельными дисками [ править ]

Площадь криволинейной поверхности сферического сегмента, ограниченного двумя параллельными дисками, представляет собой разность площадей их соответствующих сферических крышек. Для сферы радиуса и крышек высотой и площадь равна${\displaystyle r}$${\displaystyle h_{1}}$${\displaystyle h_{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

или, используя географические координаты с широтой и , ^[6]${\displaystyle \phi _{1}}$${\displaystyle \phi _{2}}$

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

Например, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 6371 км, площадь поверхности Арктики (к северу от Полярного круга, на широте 66,56 ° по состоянию на август 2016 г. ^[7] ) составляет 2 π · 6371 ² | sin 90 ° - грех 66.56 ° | = 21,04 миллиона км ² , или 0,5 · | sin 90 ° - sin 66,56 ° | = 4,125% от общей площади поверхности Земли.

Эта формула также может быть использована для демонстрации того, что половина площади поверхности Земли находится между 30 ° южной широты и 30 ° северной широты в сферической зоне, которая охватывает все тропики .

Обобщения [ править ]

Сечения других твердых тел [ править ]

Шаровидные купола получают путем секционирования от части в сфероиде , так что результирующий купол круговая симметрии (имеющая ось вращения), а равно эллипсоидальный купол происходит от эллипсоида .

Гиперсферический колпачок [ править ]

Как правило, -мерный объем гиперсферической шапки высотой и радиусом в -мерном евклидовом пространстве определяется как: ^{[ необходима цитата ]} где ( гамма-функция ) определяется выражением .${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$

Формула для может быть выражена через объем единичного n-шара и гипергеометрическую функцию или регуляризованную неполную бета-функцию как${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}}$ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle I_{x}(a,b)}$

${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$,

а формулу площади можно выразить через площадь единичного n-шара как${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ ,

где .${\displaystyle 0\leq h\leq r}$

Ранее в ^[8] (1986, АН СССР) были выведены следующие формулы:, где ,${\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)}$${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt}$.

Для нечетных ${\displaystyle n=2k+1:}$

${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}}$.

Асимптотика [ править ]

В ^[9] показано, что если и , то где - интеграл стандартного нормального распределения .${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}}$${\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})}$${\displaystyle F()}$

Более количественная граница есть . Для больших заглавных букв (то есть когда as ) граница упрощается до .^[10]${\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}}$${\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}}$

См. Также [ править ]

• Круговой сегмент - аналогичный 2D объект
• Телесный угол - содержит формулу для крышек n-сфер.
• Сферический сегмент
• Сферический сектор
• Сферический клин

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ричмонд, Тимоти Дж. (1984). «Доступная для растворителя площадь поверхности и исключенный объем в белках: аналитическое уравнение для перекрывающихся сфер и последствия для гидрофобного эффекта». Журнал молекулярной биологии . 178 (1): 63–89. DOI : 10.1016 / 0022-2836 (84) 90231-6 . PMID  6548264 .
• Люстиг, Рольф (1986). «Геометрия четырех твердых сплавленных сфер в произвольной пространственной конфигурации». Молекулярная физика . 59 (2): 195–207. Bibcode : 1986MolPh..59..195L . DOI : 10.1080 / 00268978600102011 .
• Гибсон, KD; Шерага, Гарольд А. (1987). «Объем пересечения трех сфер неравного размера: упрощенная формула». Журнал физической химии . 91 (15): 4121–4122. DOI : 10.1021 / j100299a035 .
• Гибсон, KD; Шерага, Гарольд А. (1987). «Точный расчет объема и площади поверхности сплавленных молекул твердых сфер с неодинаковыми атомными радиусами». Молекулярная физика . 62 (5): 1247–1265. Bibcode : 1987MolPh..62.1247G . DOI : 10.1080 / 00268978700102951 .
• Петижан, Мишель (1994). «Об аналитическом расчете поверхностей и объемов Ван-дер-Ваальса: некоторые численные аспекты». Журнал вычислительной химии . 15 (5): 507–523. DOI : 10.1002 / jcc.540150504 .
• Грант, JA; Пикап, БТ (1995). «Гауссовское описание молекулярной формы». Журнал физической химии . 99 (11): 3503–3510. DOI : 10.1021 / j100011a016 .
• Буса, Ян; Дзурина, Юзеф; Айрян, Эдик; Айрян, Шура (2005). «ARVO: пакет fortran для расчета доступной для растворителя площади поверхности и исключенного объема перекрывающихся сфер с помощью аналитических уравнений». Компьютерная физика . 165 (1): 59–96. Bibcode : 2005CoPhC.165 ... 59В . DOI : 10.1016 / j.cpc.2004.08.002 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме сферических крышек .

• Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая крышка» . MathWorld . Вывод и некоторые дополнительные формулы.
• Онлайн-калькулятор объема и площади сферической крышки .
• Резюме сферических формул .