Пирамида (геометрия)

Правые пирамиды с регулярным основанием
Обозначения многогранника Конвея	Да нет
Символ Шлефли	() ∨ { n }
Лица	n треугольников , 1 n -угольник
Края	2 п
Вершины	п + 1
Группа симметрии	C n v , [1, n ], (* nn ), порядок 2 n
Группа вращения	C n , [1, n ] + , ( nn ), порядок n
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый

1- скелет пирамиды - это колесный граф

В геометрии , А пирамиды являются полиэдром образован путем соединения многоугольного основания и точки, называемой вершиной . Каждый край основания и вершина образуют треугольник, называемый боковой гранью . Это твердое тело конической формы с многоугольным основанием. Пирамида с n- сторонним основанием имеет n + 1 вершину, n + 1 грань и 2 n ребра. Все пирамиды самодвойственны .

У правой пирамиды вершина находится прямо над центром тяжести ее основания. Непрямые пирамиды называются наклонными пирамидами . Правильная пирамида имеет правильный многоугольник базу и, как правило , подразумевается , чтобы быть правая пирамида . ^{[1] [2]}

Если не указано иное, пирамида обычно считается правильной квадратной пирамидой , как и физические пирамидальные структуры. Треугольник -На пирамида чаще называется тетраэдр .

Среди наклонных пирамид, таких как острые и тупые треугольники , пирамида может быть названа острой, если ее вершина находится выше внутренней части основания, и тупой, если ее вершина находится выше внешней стороны основания. У прямоугольной пирамиды вершина находится над краем или вершиной основания. В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основной.

Пирамиды - это класс призматоидов . Пирамиды можно объединить в бипирамиды , добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.

Правые пирамиды с правильным основанием [ править ]

Правая пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника с симметрией C _{n v} или [1, n ] с порядком 2 n . Ему может быть присвоен расширенный символ Шлефли () ∨ { n }, представляющий точку (), соединенную (ортогональное смещение) с правильным многоугольником {n}. Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур. ^[3]

Тригональная или треугольная пирамида со всеми равносторонними треугольниками граней становится регулярным тетраэдром , один из многогранников . Случай с более низкой симметрией треугольной пирамиды - C _3v , который имеет основание равностороннего треугольника и 3 одинаковые стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут состоять из правильных выпуклых многоугольников, и в этом случае они являются телами Джонсона .

Если все ребра квадратной пирамиды (или любой выпуклый многогранник) являются касательной к сфере так, чтобы среднее положение касательных точек находятся в центре сферы, то пирамида называется каноническими , и она образует половину правильный октаэдр .

Пирамиды с основанием шестиугольника и выше должны состоять из равнобедренных треугольников. Гексагональная пирамида с равносторонними треугольниками будет полностью плоской фигурой, а семиугольная или выше треугольники вообще не пересекаются.

Правые звездные пирамиды [ править ]

Правые пирамиды с правильным основанием звездообразного многоугольника называются звездными пирамидами . ^[4] Например, пентаграммическая пирамида имеет основание пентаграммы и 5 пересекающихся сторон треугольника.

Правые пирамиды с неправильным основанием [ править ]

Право пирамида может быть названа как () ∨P, где () является точкой апекса, ∨ является объединение оператора, и P представляет собой базовый полигон.

Равнобедренный треугольник вправо тетраэдр можно записать в виде () ∨ [() ∨ {}] как объединение с точки до равнобедренного треугольника основание, как [() ∨ ()] ∨ {} или {} ∨ {} как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, двуугольный дисфеноид , содержащий 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет симметрию C _{1v в} двух разных ориентациях основания и вершины и C _2v в полной симметрии.

Прямоугольная правая пирамида , записывается в виде () ∨ [{} × {}], и ромбические пирамиды , как () ∨ [{} + {}], оба имеют симметрии C _2v .

Объем [ править ]

Объем пирамиды (также любой конус) является , где Ь является площадь основания и ч высота от основания до вершины. Это работает для любого многоугольника, правильного или неправильного, и любого местоположения вершины, при условии, что h измеряется как расстояние по перпендикуляру от плоскости, содержащей основание. В 499 AD Aryabhata , математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , использовал этот метод в Aryabhatiya (раздел 2.6).${\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} bh}$

Формулу можно формально доказать с помощью исчисления. По подобию линейные размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно увеличиваются от вершины к основанию. Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен , или , где h - высота, а y - перпендикулярное расстояние от плоскости основания до поперечного сечения. Так как площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату фигуры масштабного коэффициента, площадь поперечного сечения на высоту у есть , или так как оба б и ч постоянные, . Объем определяется интегралом${\ displaystyle 1 - {\ tfrac {y} {h}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {hy} {h}}}$${\ displaystyle b {\ tfrac {(hy) ^ {2}} {h ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {b} {ч ^ {2}}} (hy) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {b} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} (hy) ^ {2} \, dy = {\ frac {-b} {3h ^ {2 }}} (hy) ^ {3} {\ bigg |} _ {0} ^ {h} = {\ tfrac {1} {3}} bh.}$

Это же уравнение справедливо и для конусов с любым основанием. Это можно доказать с помощью аргумента, аналогичного приведенному выше; см. объем конуса .${\ displaystyle V = {\ tfrac {1} {3}} bh}$

Например, объем пирамиды, основанием которой является n- сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и высотой h, равен

${\ displaystyle V = {\ frac {n} {12}} hs ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {n}}.}$

Формула также может быть получена точно без исчисления для пирамид с прямоугольными основаниями. Рассмотрим единичный куб. Проведите линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это делит куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Из этого мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Затем разверните куб равномерно в трех направлениях на неравные величины, чтобы в результате были прямоугольные сплошные края a , b и c с твердым объемом abc . Каждая из шести пирамид внутри тоже расширяется. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc / 6. Поскольку пары пирамид имеют высоту a / 2, b / 2 и c / 2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Когда боковые треугольники равносторонние, формула объема имеет вид

${\ displaystyle V = {\ frac {1} {12}} ns ^ {3} \ cot \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) {\ sqrt {1 - {\ frac {1) } {4 \ sin ^ {2} {\ tfrac {\ pi} {n}}}}}}.}$

Эта формула применима только для n = 2, 3, 4 и 5; и он также охватывает случай n = 6, для которого объем равен нулю (т.е. высота пирамиды равна нулю). ^{[ необходима цитата ]}

Площадь [ править ]

Площадь поверхности пирамиды равна , где B - площадь основания, P - периметр основания и наклонная высота , где h - высота пирамиды, а r - внутренний радиус основания.${\ Displaystyle А = В + {\ tfrac {PL} {2}}}$ ${\ Displaystyle L = {\ sqrt {ч ^ {2} + г ^ {2}}}}$

Центроид [ править ]

Медиан пирамиды расположен на участке линии, соединяющей вершины центроида основания. Для твердой пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.

n -мерные пирамиды [ править ]

Двумерная пирамида - это треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершиной .

Четырехмерная пирамида называется многогранной пирамидой , построенной многогранником в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой за пределами этой гиперплоскости.

Аналогично строятся и многомерные пирамиды.

Семейство симплексов представляет пирамиды в любом измерении, возрастающем из треугольника , тетраэдра , 5-клеточного , 5-симплекса и т. Д. N-мерный симплекс имеет минимум n + 1 вершин , причем все пары вершин соединены ребрами , все тройки вершин, определяющих грани, всех четверок точек, определяющих тетраэдрические ячейки и т. д.

Многогранная пирамида [ править ]

В 4-мерной геометрии , A многогранных пирамиды являются 4-многогранник строится с помощью базовой многогранники клетки и апекса точки. Боковые грани представляют собой ячейки пирамиды, каждая из которых состоит из одной грани базового многогранника и вершины. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры вершинных графов , графов, образованных добавлением одной вершины (вершины) к плоскому графу (графу основания).

Регулярные 5-клеток (или 4- симплекс ) является примером четырехгранной пирамиды . Из однородных многогранников с описанными радиусами меньше 1 можно образовать многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершинами, e ребрами и f гранями может быть основанием многогранной пирамиды с v + 1 вершинами, e + v ребрами, f + e гранями и 1 + f ячейками.

Четырехмерная многогранная пирамида с осевой симметрией может быть визуализирована в трехмерном виде с помощью диаграммы Шлегеля - трехмерной проекции, которая помещает вершину в центр базового многогранника.

Любой выпуклый 4-многогранник можно разделить на многогранные пирамиды , добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде от каждой грани до центральной точки. Это может быть полезно для вычисления объемов.

Четырехмерный объем многогранной пирамиды составляет 1/4 объема базового многогранника, умноженного на его перпендикулярную высоту, по сравнению с площадью треугольника, равной 1/2 длины основания, умноженной на высоту и объем пирамиды. быть 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

См. Также [ править ]

• Бипирамида
• Конус (геометрия)
• Тригональная пирамида (химия)
• Frustum

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме пирамид (геометрия) .

• Вайсштейн, Эрик В. «Пирамида» . MathWorld .