Острые и тупые треугольники

Остроугольный треугольник (или остроугольный треугольник) представляет собой треугольник с тремя острыми углами (менее 90 °). Тупой треугольник (или тупой прямоугольный треугольник) представляет собой треугольник с одним тупым углом (более 90 °) и два углом острых. Поскольку сумма углов треугольника в евклидовой геометрии должна составлять 180 ° , ни один евклидов треугольник не может иметь более одного тупого угла.

Острый и тупой треугольники - это два разных типа наклонных треугольников - треугольники, которые не являются прямыми треугольниками, потому что у них нет угла 90 °.

Правильно	Тупой	Острый
	${\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}$
	Косой

Свойства [ править ]

Во всех треугольниках центр тяжести - пересечение медиан , каждая из которых соединяет вершину со средней точкой противоположной стороны, - и центр тяжести - центр круга, который касается всех трех сторон внутри, - находятся внутри треугольник. Однако, хотя ортоцентр и центр описанной окружности находятся внутри острого треугольника, они являются внешними по отношению к тупому треугольнику.

Ортоцентр - это точка пересечения трех высот треугольника , каждая из которых перпендикулярно соединяет сторону с противоположной вершиной . В случае острого треугольника все три этих сегмента полностью лежат внутри треугольника, поэтому они пересекаются внутри. Но для тупого треугольника высоты двух острых углов пересекают только продолжения противоположных сторон. Эти высоты полностью выходят за пределы треугольника, в результате чего их пересечение друг с другом (и, следовательно, с увеличенной высотой от тупоугольной вершины) происходит на внешней стороне треугольника.

Точно так же центр описанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис трех сторон , которая является центром окружности, проходящей через все три вершины, - попадает внутрь острого треугольника, но вне тупого треугольника.

Правый треугольник имеет место в промежутке между: и его Окружность и ее ортоцентр лежат на его границе.

В любом треугольнике любые два угла A и B, противоположные сторонам a и b соответственно, связаны согласно ^{[1] : p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.}$

Это означает, что самая длинная сторона тупого треугольника - это сторона, противоположная тупоугольной вершине.

Острый треугольник состоит из трех вписанных квадратов , каждая из которых одна сторона совпадает с частью стороны треугольника и с двумя другими вершинами квадрата на оставшихся двух сторонах треугольника. (В прямоугольном треугольнике два из них объединены в один и тот же квадрат, поэтому есть только два отдельных вписанных квадрата.) Однако в тупой треугольник вписан только один квадрат, одна из сторон которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. . ^{[2] : с. 115}

Все треугольники, у которых прямая Эйлера параллельна одной стороне, являются острыми. ^[3] Это свойство выполняется для стороны BC тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

Неравенства [ править ]

Стороны [ править ]

Если угол C тупой, то для сторон a , b и c имеем ^{[4] : p.1, # 74}

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

с левым неравенством, приближающимся к равенству в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180 °, а с правым неравенством приближается к равенству только когда тупой угол приближается к 90 °.

Если треугольник острый, то

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Высота [ править ]

Если C - наибольший угол, а h _c - высота от вершины C , то для острого треугольника ^{[4] : с.135, # 3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

с противоположным неравенством, если C тупой.

Медианы [ править ]

С самой длинной стороной c и медианами m _a и m _b с других сторон, ^{[4] : стр.136, № 3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

для острого треугольника, но с обратным неравенством для тупого треугольника.

Медиана m _c с самой длинной стороны больше или меньше радиуса описанной окружности для острого или тупого треугольника соответственно: ^{[4] : p.136, # 3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

для острых треугольников и наоборот для тупых.

Площадь [ править ]

Неравенство Оно для площади A ,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

верно для всех острых треугольников, но не для всех тупых треугольников.

Тригонометрические функции [ править ]

Для острого треугольника мы имеем, для углов , В , и С , ^{[4] : с.26, # 954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Для острого треугольника с описанной окружности R , ^{[4] : с.141, # 3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

и ^{[4] : p.155, # S25.}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Для острого треугольника, ^{[4] : с.115, # 2874.}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Для острого треугольника ^{[4] : p178, # 241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Для любого треугольника тождество тройной касательной утверждает, что сумма касательных углов равна их произведению. Поскольку острый угол имеет положительное значение касательной, а тупой - отрицательное, выражение для произведения касательных показывает, что

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

для острых треугольников, а для тупых - противоположное направление неравенства.

Имеем ^{[4] : с.26, № 958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

для острых треугольников и обратное для тупых.

Для всех острых треугольников, ^{[4] : с.40, # 1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Для всех острых треугольников с внутренним радиусом r и описанным радиусом R , ^{[4] : стр.53, # 1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Для острого треугольника с площадью K , ^{[4] : с.103, # 2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

Circumradius, inradius и exradii [ править ]

В остром треугольнике сумма радиуса описанной окружности R и внутреннего радиуса r меньше половины суммы кратчайших сторон a и b : ^{[4] : стр.105, # 2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

а для тупого треугольника справедливо обратное неравенство.

Для остроугольного треугольника с медианами m _a , m _b , m _c и радиусом описанной окружности R мы имеем ^{[4] : p.26, # 954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

а для тупого треугольника справедливо обратное неравенство.

Также острый треугольник удовлетворяет ^{[4] : p.26, # 954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

в терминах радиусов вневписанной окружности r _a , r _b и r _c , опять же с обратным неравенством, справедливым для тупого треугольника.

Для острого треугольника с полупериметром s , ^{[4] : с.115, №2874.}

${\displaystyle s-r>2R,}$

а для тупого треугольника верно обратное неравенство.

Для острого треугольника с площадью K , ^{[4] : с.185, # 291,6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Расстояния с участием центров треугольников [ править ]

Для острого треугольника расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H удовлетворяет ^{[4] : p.26, # 954}

${\displaystyle OH<R,}$

с обратным неравенством для тупого треугольника.

Для острого треугольника расстояние между центром вписанной окружности I и ортоцентром H удовлетворяет ^{[4] : стр.26, # 954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

где r - внутренний радиус , с обратным неравенством для тупого треугольника.

Расписанный квадрат [ править ]

Если один из вписанных квадратов острого треугольника имеет длину стороны x _a, а другой - длину стороны x _b, причем x _a < x _b , то ^{[2] : p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Два треугольника [ править ]

Если два тупых треугольника имеют стороны ( a, b, c ) и ( p, q, r ), причем c и r являются самыми длинными сторонами, то ^{[4] : p.29, # 1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

Примеры [ править ]

Треугольники со специальными названиями [ править ]

Калаби треугольник , который является единственным не равносторонний треугольник , для которых самый большой квадрат , который умещается в интерьере могут быть расположены в любом из трех различных способов, является тупым и равнобедренный с основанием углы 39.1320261 ... ° и третий угол 101.7359477 .. . °.

Равносторонний треугольник , с тремя углами 60 °, является острым.

Морел треугольник , образованный из любого треугольника по пересечениям его смежных угловых trisectors, равносторонний и , следовательно , острый.

Золотой треугольник является равнобедренным треугольником , в котором отношение дублированной стороны к базовой части равно золотому сечение . Он острый, с углами 36 °, 72 ° и 72 °, что делает его единственным треугольником с углами в пропорции 1: 2: 2. ^[5]

Семиугольная треугольник , со сторон , совпадающими со стороной, более короткой диагональю, и чем больше диагональю обычного семиугольника , тупая, с углами и${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$${\displaystyle 4\pi /7.}$

Треугольники с целыми сторонами [ править ]

Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон является острым, имеет стороны (13,14,15) и высоту со стороны 14 равную 12.

Треугольник наименьшего периметра с целыми сторонами в арифметической прогрессии и треугольник с наименьшим периметром целочисленных сторон с различными сторонами тупой: а именно, со сторонами (2, 3, 4).

Единственные треугольники, у которых один угол равен дважды другому и имеют целые стороны в арифметической прогрессии, являются острыми: а именно треугольник (4,5,6) и его кратные. ^[6]

Нет острых целочисленных треугольников с площадью = периметром , но есть три тупых треугольника со сторонами ^[7] (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17).

Наименьший целочисленный треугольник с тремя рациональными медианами является острым, со сторонами ^[8] (68, 85, 87).

Треугольники цапли имеют целые стороны и целую площадь. Косой треугольник Герона с наименьшим периметром острый, со сторонами (6, 5, 5). Два наклонных треугольника цапли, которые имеют наименьшую площадь, - острый со сторонами (6, 5, 5) и тупой со сторонами (8, 5, 5), площадь каждого из которых равна 12.

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Острый треугольник» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик У. «Тупой треугольник» . MathWorld .