Двойной многогранник

Двойник куба - это октаэдр . Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра соответствуют друг другу.

В геометрии любой многогранник связан со второй двойственной фигурой, где вершины одного соответствуют граням другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. ^[1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также являются геометрическими многогранниками. ^[2] Начиная с любого заданного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.

Двойственность сохраняет симметрии многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные также принадлежат симметрическому классу. Таким образом, правильные многогранники - (выпуклая) Платоновы тело и (звезда) Кеплер-Пуансо многогранники - образует дуальные пары, где регулярная тетраэдр является автодуальной . Двойственный к изогональному многограннику, имеющий эквивалентные вершины, является изоэдром, имеющим эквивалентные грани. Сопряженное с isotoxal многогранника (имеющего эквивалентные ребра) также isotoxal.

Двойственность тесно связана с взаимностью или полярностью , геометрическим преобразованием, которое, когда применяется к выпуклому многограннику, реализует двойственный многогранник как другой выпуклый многогранник.

Виды двойственности [ править ]

Двойник к платоновому телу можно построить, соединив центры граней. В общем, это создает только топологический двойник .
Образы из " Harmonices Mundi " Кеплера (1619)

Есть много видов двойственности. Наиболее подходящими для элементарных многогранников являются полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

Полярное возвратно-поступательное движение [ править ]

Двойственный многогранник часто определяется в терминах полярного возвратно-поступательного движения относительно сферы. Здесь каждая вершина (полюс) связана с плоскостью грани (полярной плоскостью или просто полярной), так что луч от центра к вершине перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. ^[3] ${\ displaystyle P}$

Когда сфера имеет радиус и центрирована в начале координат, т. Е. Определяется уравнением и является выпуклым многогранником, то ее полярный двойник определяется как ${\ displaystyle r}$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},$ $P$

P^{\circ }=\{q\in \mathbb {R} ^{3}\mid q\cdot p\leq r^{2}{\text{ for all }}p\in P\}

где обозначает стандартное скалярное произведение из и . $q\cdot p$ $q$ $p$

Обычно, когда в конструкции двойного объекта не указана сфера, используется единичная сфера, что имеется в виду в приведенных выше определениях. ^[4] $r=1$

Для каждой грани, описываемой линейным уравнением $P$

x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},

у двойственного многогранника будет вершина . Аналогично, каждая вершина соответствует грани , а каждое ребро соответствует ребру . Соответствие между вершинами, ребрами и гранями и обращает включение. Например, если ребро содержит вершину, соответствующее ребро будет содержаться в соответствующей грани. $P^{\circ }$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $P$ $P^{\circ }$ $P$ $P^{\circ }$ $P$ $P^{\circ }$ $P$ $P^{\circ }$

Для симметричных многогранников с очевидным центром тяжести многогранник и сферу обычно делают концентрическими, как в конструкции Дормана Люка, описанной ниже. Если присутствует несколько осей симметрии, они обязательно будут пересекаться в одной точке, и это обычно считается центроидом. В противном случае обычно используется описанная сфера, вписанная сфера или средняя сфера (одна со всеми краями в качестве касательных).

Однако можно вращать многогранник по любой сфере, и результирующая форма двойственного будет зависеть от размера и положения сферы; как сфера, так и двойственная форма. Выбор центра сферы достаточен для определения двойственного с точностью до подобия.

Если многогранник в евклидовом пространстве имеет элемент, проходящий через центр сферы, соответствующий элемент его двойственного уходит в бесконечность. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления требуемой «плоскости на бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и заявляют, что двойственного не существует. Между тем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные объекты способом, пригодным для создания моделей (некоторой конечной части).

Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездные многогранники, когда мы стремимся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. ^[5] Из-за проблем с определением геометрической двойственности невыпуклых многогранников, Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.

Канонические двойники [ править ]

Каноническое двойственное соединение кубооктаэдра (светлый) и ромбический додекаэдр (темный). Пары ребер встречаются в их общей средней сфере .

Любой выпуклый многогранник может быть преобразован в каноническую форму , в которой единичная средняя сфера (или межсфера) существует касательно каждого ребра и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма уникальна с точностью до конгруэнций.

Если мы будем перемещать такой канонический многогранник относительно его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также должен быть каноническим. Это каноническая двойственная пара, и вместе они образуют каноническую двойственную пару. ^[6]

Топологическая двойственность [ править ]

Даже когда пару многогранников нельзя получить взаимным движением друг от друга, их можно назвать двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , с сохранением заболеваемости. Такие пары многогранников по-прежнему топологически или абстрактно двойственны.

Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-скелет многогранника), вложенный в топологическую сферу, поверхность многогранника. Тот же граф можно спроецировать, чтобы сформировать диаграмму Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный ребрами и вершинами двойственного многогранника, является его двойственным графом . В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, вложенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют дуальный граф.

Абстрактный многогранник определенного вида частично упорядоченное множество (посет) элементы, такие , что смежности, или соединения между элементами множеств соответствуют смежностям между элементами (грани, кромки и т.д.) многогранником. Каждый такой poset имеет двойное poset, образованное изменением всех отношений порядка. Если позет визуализируется как диаграмма Хассе , двойное позет может быть визуализировано, просто перевернув диаграмму Хассе вверх ногами. Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственный многогранник не может быть реализован геометрически.

Строительство Дормана Люка [ править ]

Для однородного многогранника грань двойного многогранника может быть найдена по фигуре вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана Люка . ^[7]

В качестве примера на иллюстрации ниже показана фигура вершины (красная) кубооктаэдра , используемая для получения грани (синяя) ромбического додекаэдра .

Перед началом построения фигура вершины ABCD получается путем разрезания каждого связного ребра (в данном случае) его середины.

Затем продолжается строительство Дормана Люка:

Нарисуйте фигуру вершины ABCD
Нарисуйте описанную окружность (касательную к каждому углу A , B , C и D ).
Рисовать линии по касательной к окружности в каждом углу А , В , С , Д .
Отметьте точки E , F , G , H , где каждая касательная линия пересекает соседнюю касательную.
Многоугольник EFGH - это грань двойственного многогранника.

В этом примере размер вершины фигуры был выбран таким образом, чтобы его описанная окружность лежала на межсфере кубооктаэдра, который также становится межсферой двойного ромбического додекаэдра.

Конструкцию Дормана Люка можно использовать только в том случае, если многогранник имеет такую межсферу, а фигура вершины - циклическая. Например, это можно применить к однородным многогранникам .

Самодвойственные многогранники [ править ]

Топологически самодвойственный многогранник - это многогранник, двойственный многогранник которого имеет точно такую же связь между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе.

Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодвойственный, но и его полярный обратный элемент относительно определенной точки, обычно его центроид, является аналогичной фигурой. Например, двойник правильного тетраэдра - это другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .

Каждый многоугольник топологически самодвойственен (у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются двойственностью), но в целом не будет геометрически самодвойственным (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет правильную форму, которая геометрически самодвойственна своей межсфере: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнции меняются местами.

Точно так же каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован посредством эквивалентного геометрически самодвойственного многогранника, его канонического многогранника , обратного относительно центра средней сферы .

Геометрически самодвойственных многогранников бесконечно много. Самым простым бесконечным семейством являются канонические пирамиды из n сторон. Еще одно бесконечное семейство, удлиненные пирамиды , состоит из многогранников, которые можно примерно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы (с тем же числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды с обрезанной вершиной) под призмой порождает еще одно бесконечное семейство и так далее.

Есть много других выпуклых самодуальных многогранников. Например, есть 6 разных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами. ^[8]

Самодуальный ^{[ требуется пояснение ]} невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году. ^[9]^[10]^[11] Были найдены и другие невыпуклые самодвойственные многогранники при определенных определениях невыпуклых многогранники и их двойники. ^{[ требуется разъяснение ]}

Семья пирамид
3	4	5	6

Семейство вытянутых пирамид
3	4	5

Семейство уменьшенных трапецоэдров
3	4	5	6	7

Двойные многогранники и мозаики [ править ]

Двойственность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойственными многоугольниками .

Вершины одного многогранника соответствуют ( n - 1) -мерным элементам или фасетам другого, а j точек, которые определяют ( j - 1) -мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, чтобы дать ( n - j ) -мерный элемент. Аналогичным образом можно определить двойственность n- мерной мозаики или соты .

В общем случае фасеты двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных величин регулярного и однородного многогранников двойные грани будут полярными обратными фигуре вершины оригинала. Например, в четырех измерениях вершина 600-ячейки - это икосаэдр ; двойственный 600-элементный - это 120-элементный , чьи грани являются додекаэдрами , которые являются двойственными икосаэдру.

Самодвойственные многогранники и мозаики [ править ]

Квадратный паркет , {4,4}, самодвойствен, как показан эти красные и синие замощения

Apeirogonal плиточного бесконечного порядка , {∞, ∞} красного цвета, а его двойная позиция в синем

Первичный класс самодвойственных многогранников - это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственные, многогранники вида {a, a}, 4-многогранники вида {a, b, a}, 5-многогранники вида {a, b, b, a }, так далее.

Самодвойственные правильные многогранники:

Все правильные многоугольники , {a}.
Правильный тетраэдр : {3,3}
В общем, все регулярные n - симплексы , {3,3, ..., 3}
Обычный 24-элементный в 4-х измерениях, {3,4,3}.
Большая 120-элементный {5,5 / 2,5} и гранд звездообразный 120-клеток {5 / 2,5,5 / 2}

Самодуальные (бесконечные) правильные евклидовы соты :

Апейрогон : {∞}
Квадратная плитка : {4,4}
Кубические соты : {4,3,4}
В общем, все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3, ..., 3,4}.

Самодуальные (бесконечные) регулярные гиперболические соты:

Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p, p}.
Паракомпактное гиперболическое замощение: {∞, ∞}
Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}
Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}

См. Также [ править ]

Обозначения многогранника Конвея
Двойной многоугольник
Самодуальный граф
Самодвойственный многоугольник

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

^ Веннингер (1983) , "Основные понятия о звездчатости и двойственности", стр. 1.
^ Грюнбаум (2003)
^ Cundy & Rollett (1961) , 3.2 Двойственность, стр 78-79. Веннингер (1983) , стр. 3-5. (Обратите внимание, что обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)
↑ Barvinok (2002) , стр. 143.
^ См., Например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к выводу своих бесконечных двойников.
^ Грюнбаум (2007) , теорема 3.1, стр. 449.
^ Cundy & Rollett (1961) , стр. 117; Веннингер (1983) , стр. 30.
^ 3D-модели Java в симметриях канонических самодуальных многогранников , основанные на статье Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрая генерация плоских графов PDF [1]
↑ Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.
^ Мост Нью-Джерси; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , Vol. A 30, часть 4 июля 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.
^ Брюкнер, М .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte , Teubner, Leipzig, 1900.

Библиография [ править ]

Канди, Х. Мартин ; Rollett, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
Гайлюнас, П .; Sharp, J. (2005), "Двойственность многогранников", Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 36 (6): 617-642, DOI : 10,1080 / 00207390500064049 , S2CID 120818796.
Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», В Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Festschrift Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, 25 , Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi : 10.1007 / 978-3- 642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
Грюнбаум, Бранко (2007), "Графы многогранников, многогранники в виде графов", Дискретная математика , 307 (3-5): 445-463, DOI : 10.1016 / j.disc.2005.09.037 , ЛВП : 1773/2276 , MR 2287486.
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical Fantasy, New York: Springer, pp. 211–216, doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8, Руководство по ремонту 3077226.
Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, Руководство по ремонту 0730208.
Барвинок, Александр (2002), Курс выпуклости , Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , "Двойной многогранник" , MathWorld
Вайсштейн, Эрик В. , «Двойная тесселяция» , MathWorld
Вайсштейн, Эрик В. , «Самодуальный многогранник» , MathWorld

[1] Веннингер (1983) , "Основные понятия о звездчатости и двойственности", стр. 1.

[2] Грюнбаум (2003)

[3] Cundy & Rollett (1961) , 3.2 Двойственность, стр 78-79. Веннингер (1983) , стр. 3-5. (Обратите внимание, что обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)

[4] Barvinok (2002) , стр. 143.

[5] См., Например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к выводу своих бесконечных двойников.

[6] Грюнбаум (2007) , теорема 3.1, стр. 449.

[7] Cundy & Rollett (1961) , стр. 117; Веннингер (1983) , стр. 30.

[8] 3D-модели Java в симметриях канонических самодуальных многогранников , основанные на статье Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрая генерация плоских графов PDF [1]

[9] Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.

[10] Мост Нью-Джерси; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , Vol. A 30, часть 4 июля 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.

[11] Брюкнер, М .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte , Teubner, Leipzig, 1900.

[1]