Полярный и полярный

Полярная линия д к точке Q относительно окружности радиуса г с центром в точке O . Точка Р является точкой инверсии из Q ; полярный является линия , проходящая через P , которая перпендикулярна к линии , содержащей O , P и Q .

В геометрии , то полюс и полярный соответственно точка и линия , которые имеют уникальные взаимные отношения по отношению к данной конической секции .

Для данного круга возвратно-поступательное движение в круге означает преобразование каждой точки на плоскости в свою полярную линию и каждой прямой на плоскости в свой полюс.

Свойства [ править ]

Полюс и полярник обладают рядом полезных свойств:

• Если точка P лежит на прямой L , то полюс л из линии л лежит на полярном р точки Р .
• Если точка P движется по прямой l , ее полюс p вращается вокруг полюса L прямой l .
• Если от полюса к коническому сечению можно провести две касательные линии, то его полярная линия проходит через обе точки касания.
• Если точка лежит на коническом сечении, ее полярность - это касательная через эту точку к коническому сечению.
• Если точка P лежит на своей собственной полярной линии, то P находится на коническом сечении.
• Каждая линия имеет по отношению к невырожденному коническому сечению ровно один полюс.

Частный случай кругов [ править ]

Полюс прямой L в окружности C - это точка P, которая является инверсией в C точки Q на L , ближайшей к центру окружности. С другой стороны , полярная линия (или полярный ) точки Р в круге C является линия L такую , что его ближайшая точка Q к центру окружности является инверсией из Р в С .

Если точка А лежит на полярной линии д другой точке Q , то Q лежит на полярной линии а из A . В более общем плане , поляры всех точек на линии д должна проходить через ее полюса Q .

Отношения между полюсами и полярами взаимны. Таким образом, если точка А лежит на полярной линии д точечного Q , то точка Q должна лежать на полярной линии а точки А . Две полярные линии a и q не обязательно должны быть параллельны.

Существует еще одно описание полярной линии в точке Р в том случае, если она лежит вне окружности C . В этом случае есть две прямые, проходящие через P, которые касаются окружности , а полярная линия P - это линия, соединяющая две точки касания (здесь не показаны). Это показывает , что полюс и полярные линии являются понятием в проективной геометрии на плоскости и обобщают с любым неособым коническим в месте окружности С .

Взаимность и проективная двойственность [ править ]

Иллюстрация двойственности между точками и линиями и двойного значения слова «инцидентность». Если две строки через и к проходят через одну точку Q , то полярный д из Q соединяет полюса A и K линий и K соответственно.

Представления о полюсе и его полярной линии были развиты в проективной геометрии . Например, полярную линию можно рассматривать как набор проективных гармонических сопряжений данной точки, полюса, относительно коники. Операция замены каждой точки ее полярностью и наоборот называется полярностью.

Полярность является корреляция , которая также является инволюция .

Общие конические сечения [ править ]

Линия p - это полярная линия, ведущая к точке P , от l к L и m к M.

p - полярная линия до точки P  ; m - полярная линия к M

Понятия полюса, полярности и возвратно-поступательного движения можно обобщить с кругов на другие конические сечения, которые являются эллипсом , гиперболой и параболой . Это обобщение возможно, потому что конические сечения являются результатом возвратно-поступательного движения круга в другом круге, и соответствующие свойства, такие как угол падения и поперечное отношение , сохраняются при всех проективных преобразованиях .

Расчет полярности точки [ править ]

Общее коническое сечение можно записать как уравнение второй степени в декартовых координатах ( x , y ) плоскости

${\ Displaystyle A_ {xx} x ^ {2} + 2A_ {xy} xy + A_ {yy} y ^ {2} + 2B_ {x} x + 2B_ {y} y + C = 0 \,}$

где A _xx , A _xy , A _yy , B _x , B _y и C - константы, определяющие уравнение. Для такого конического сечения полярная линия, ведущая к заданной полюсной точке (ξ, η), определяется уравнением

${\ Displaystyle Dx + Ey + F = 0 \,}$

где D , E и F - аналогичные константы, зависящие от координат полюсов (ξ, η)

${\ displaystyle {\ begin {align} D & = A_ {xx} \ xi + A_ {xy} \ eta + B_ {x} \\ E & = A_ {xy} \ xi + A_ {yy} \ eta + B_ {y } \\ F & = B_ {x} \ xi + B_ {y} \ eta + C \, \ end {align}}}$

Расчет полюса линии [ править ]

Полюс линии относительно невырожденного конического участка ${\displaystyle Dx+Ey+F=0}$

${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0\,}$

можно рассчитать в два этапа.

Сначала вычислите числа x, y и z из

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{bmatrix}}^{-1}\cdot {\begin{bmatrix}D\\E\\F\end{bmatrix}}}$

Теперь полюс - это точка с координатами ${\displaystyle \left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)}$

Таблицы полярно-полярных отношений [ править ]

• Соотношение полюсов и полюсов для эллипса
• Полярно-полярное соотношение для гиперболы
• Полюс-полярное соотношение для параболы

конический	уравнение	полярная точка ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$
круг	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}}$
эллипс	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
гипербола	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$
парабола	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle y+y_{0}=2ax_{0}x}$

конический	уравнение	полюс прямой ux + vy = w
круг	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle ({\frac {r^{2}u}{w}},\;{\frac {r^{2}v}{w}})}$
эллипс	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle ({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {b^{2}v}{w}})}$
гипербола	${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$	${\displaystyle ({\frac {a^{2}u}{w}},\;{\frac {-b^{2}v}{w}})}$
парабола	${\displaystyle y=ax^{2}}$	${\displaystyle ({\frac {-u}{2av}},\;{\frac {-w}{v}})}$

Через полный четырехугольник [ править ]

Учитывая четыре точки, образующие полный четырехугольник , линии, соединяющие точки, пересекаются еще в трех диагональных точках. Принимая во внимание точку Z не на коническом C , сделать два секущих из Z через C пересечения в точках , B , D и E . Тогда эти четыре точки образуют полный четырехугольник с Z в одной из диагональных точек. Линия, соединяющая две другие диагональные точки, является полярной точкой Z , а Z - полюсом этой линии. ^[1]

Приложения [ править ]

Поляки и поляры были определены Джозефом Диасом Жергонном и играют важную роль в его решении проблемы Аполлония . ^[2]

В плоской динамике полюс - это центр вращения, полюс - это силовая линия, а коника - это матрица массы-инерции. ^[3] Отношение полюс к полюсу используется для определения центра удара плоского твердого тела. Если полюс является точкой шарнира, то полюс является ударной линией, как описано в теории плоского винта .

См. Также [ править ]

• Двойной многоугольник
• Двойной многогранник
• Полярная кривая
• Проективная геометрия
• Проективные гармонические сопряжения

Библиография [ править ]

• Джонсон Р.А. (1960). Расширенная евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга . Нью-Йорк: Dover Publications. С. 100–105.
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967). Возвращение к геометрии . Вашингтон : MAA . стр.  132 -136, 150. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Грей JJ (2007). Миры из ничего: курс истории геометрии в XIX веке . Лондон: Springer Verlag. С.  21 . ISBN 978-1-84628-632-2.
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 43–45. LCCN  59014456 . Версия в мягкой обложке, опубликованная Dover Publications, имеет ISBN 978-0-486-41147-7 . 
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. С.  190–191 . ISBN 0-14-011813-6.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме поляков и полярников .

• Интерактивная анимация с несколькими полюсами и полюсами в Cut-the-Knot
• Интерактивная анимация с одним полюсом и его полярностью
• Интерактивное 3D с цветными множественными полюсами / полюсами - открытый исходный код
• Вайсштейн, Эрик В. «Полярный» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Взаимное движение» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсионный полюс» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Обратная кривая» . MathWorld .
• Учебник по математике-изобилию