Проективное гармоническое сопряжение

D является гармонически сопряженной C WRT A и B .
A , D , B , C образуют гармонический диапазон.
KLMN - это полный четырехугольник, его порождающий.

В проективной геометрии , то гармоническая сопряженная точка Ап упорядоченная тройка точек на вещественной проективной линии определяется следующей конструкции:

Даны три коллинеарные точки A , B , C, пусть L - точка, не лежащая на их соединении, и пусть любая прямая, проходящая через C, пересекает LA , LB в M , N соответственно. Если и ВМ пересекаются в точке К , а ЛК встречает AB в D , то D называется гармонической конъюгат из C относительно A , B . ^[1]

Точка D не зависит от того, что точка L берется изначально, ни от того, что линия , проходящая через C используется для поиска M и N . Этот факт следует из теоремы Дезарга .

В реальной проективной геометрии гармоническое сопряжение также может быть определено в терминах поперечного отношения как  ( A , B ; C , D ) = −1 .

Критерий перекрестного отношения [ править ]

Эти четыре точки иногда называют гармоническим диапазоном (на реальной проективной прямой), поскольку обнаружено, что D всегда делит отрезок AB внутри в той же пропорции, что и C делит AB снаружи . То есть:

${\ displaystyle {AC}: {BC} = {AD}: {DB} \ ,.}$

Если эти сегменты теперь наделены обычной метрической интерпретацией действительных чисел, они будут подписаны и образуют двойную пропорцию, известную как перекрестное отношение (иногда двойное отношение ).

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{AD}}\left/{\frac {BC}{-DB}}\right.,}$

для которого гармонический диапазон характеризуется значением -1. Поэтому мы пишем:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{AD}}\cdot {\frac {BD}{BC}}=-1.}$

Значение кросс-отношения в целом не является уникальным , так как оно зависит от порядка выбора сегментов (а таких вариантов может быть шесть). Но для гармонического диапазона, в частности, есть только три значения кросс-отношения: {-1, 1/2, 2}, поскольку -1 является самообратным, поэтому замена последних двух точек просто возвращает каждое из этих значений, но не дает новое значение, известное как гармоническое поперечное отношение .

В терминах двойного отношения, учитывая точки a и b на аффинной прямой, коэффициент деления ^[2] точки x равен

${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}$

Обратите внимание, что когда a < x < b , тогда t ( x ) отрицательно, а за пределами интервала - положительно. Поперечное соотношение ( c , d ; a , b ) = t ( c ) / t ( d ) - это соотношение коэффициентов деления или двойное соотношение. Установка двойного отношения на минус один означает, что когда t ( c ) + t ( d ) = 0 , то c и d являются гармоническими сопряженными по отношению ка и б . Таким образом, критерий коэффициента деления состоит в том, чтобы они были аддитивно обратными .

Гармоническое деление отрезка прямой - это частный случай определения круга Аполлонием .

В некоторых школьных исследованиях конфигурация гармонического диапазона называется гармоническим делением .

От середины [ править ]

Середина и бесконечность гармонически сопряжены.

Когда x - середина отрезка от a до b , тогда

${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}$

По критерию перекрестного отношения гармоническое сопряжение x будет y, когда t ( y ) = 1 . Но нет конечного решения для y на прямой, проходящей через a и b . Тем не менее,

${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$

таким образом мотивируя включение бесконечно удаленной точки на проективной прямой. Эта бесконечно удаленная точка служит гармоническим сопряжением средней точки x .

Из полного четырехугольника [ править ]

Другой подход к гармоническому сопряжению основан на концепции полного четырехугольника, такого как KLMN на приведенной выше диаграмме. По четырем точкам у полного четырехугольника есть пары противоположных сторон и диагоналей. В выражении гармонических конъюгатов HSM Coxeter диагонали считаются парой противоположных сторон:

D является гармоническим сопряжением C относительно A и B , что означает, что существует четырехугольник IJKL такой, что одна пара противоположных сторон пересекается в A , а вторая пара в B , а третья пара пересекает AB в C и D. . ^[3]

Это был Карл фон Staudt , что впервые использовал гармонический конъюгат в качестве основы для проективной геометрии , не зависящего от метрических соображений:

... Штаудту удалось освободить проективную геометрию от элементарной геометрии. В своей Geometrie der Lage Staudt ввел гармоническую четверку элементов независимо от концепции поперечного отношения, следуя чисто проективному маршруту, используя полный четырехугольник или четырехугольник. ^[4]

${\displaystyle P_{1}=A,\ P_{2}=S,}$
${\displaystyle P_{3}=B,\ P_{4}=Q,D=M;}$
(игнорируйте зеленый M).

Чтобы увидеть полный четырехугольник, применяемый для получения средней точки, рассмотрим следующий отрывок из Дж. У. Янга:

Если две произвольные прямые AQ и AS проводятся через A, а прямые BS и BQ проходят через B параллельно AQ и AS соответственно, прямые AQ и SB пересекаются, по определению, в точке R на бесконечности, а AS и QB пересекаются на определение в бесконечно удаленной точке P. Полный четырехугольник PQRS тогда имеет две диагональные точки в точках A и B , а оставшаяся пара противоположных сторон проходит через M.и бесконечно удаленная точка на AB . Точка М тогда по построению гармонически сопряженной точки на бесконечности на AB по отношению к A и B . С другой стороны, то, что M является серединой отрезка AB, следует из известного утверждения о том, что диагонали параллелограмма ( PQRS ) делят друг друга пополам. ^[5]

Четвертичные отношения [ править ]

Четыре упорядоченных точки на проективном диапазоне называются гармоническими точками, если на плоскости есть тетрастигм , так что первая и третья точки являются кодотами, а две другие точки находятся на соединителях третьего кодо. ^[6]

Если точка p не находится на прямой с гармоническими точками, соединения точки p с точками являются гармоническими прямыми . Аналогичным образом , если ось пучка плоскостей является перекосом к прямому с гармоническими точками, плоскости на точках гармонические плоскости . ^[6]

Набор из четырех в таком соотношении был назван гармонической четверкой . ^[7]

Проективные коники [ править ]

Коника на проективной плоскости - это кривая C, которая обладает следующим свойством: если P - точка не на C , и если переменная прямая, проходящая через P, пересекает C в точках A и B , то переменная гармонически сопряженная с P относительно A и B проводят линию. Точка Р называется полюсом этой линии гармонических конъюгат, и эта линия называется полярная линией из P относительно конические. См. Статью Полярный и полярный для более подробной информации.

Инверсивная геометрия [ править ]

В случае, когда коника является окружностью, на расширенных диаметрах окружности гармонические сопряжения относительно окружности являются обратными по окружности . Этот факт следует из одной из теорем Смогоржевского: ^[8]

Если окружности k и q взаимно ортогональны, то прямая, проходящая через центр k и пересекающая q , делает это в точках, симметричных относительно  k .

То есть, если прямая представляет собой расширенный диаметр k , то пересечения с q являются гармонически сопряженными.

Тетрады Галуа [ править ]

В геометрии Галуа над полем Галуа GF ( q ) прямая имеет q + 1 точек, где ∞ = (1,0). На этой линии четыре точки образуют гармоническую тетраду, когда две гармонично разделяют другие. Условие

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

характеризует гармонические тетрады. Внимание к этим тетрадам привело Жан Dieudonne к его разграничению некоторых случайных изоморфизмов в проективном линейной группе PGL (2, д ) при д = 5, 7 и 9. ^[9]

Если q = 2 ⁿ , то гармоническое сопряжение C является самим собой. ^[10]

Итерированные проективные гармонические сопряжения и золотое сечение [ править ]

Позвольте быть три разных точки на реальной проективной прямой. Рассмотрим бесконечную последовательность точек, где - гармоническое сопряжение относительно для Эта последовательность сходится. ^[11]${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{n},}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle P_{n-3}}$${\displaystyle P_{n-1},P_{n-2}}$${\displaystyle n>2.}$

Для конечного предела имеем ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

где это золотое сечение , то есть для больших . Для бесконечного предела имеем${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

Для доказательства рассмотрим проективный изоморфизм

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

с

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

Ссылки [ править ]

• Хуан Карлос Альверес (2000) Проективная геометрия , см. Главу 2: Реальная проективная плоскость, раздел 3: Гармонические четверки и теорема фон Штаудта.
• Роберт Лахлан (1893 г.) «Элементарный трактат о современной чистой геометрии» , ссылка на монографии Корнельского университета по исторической математике.
• Бертран Рассел (1903) Основы математики , стр. 384.
• Рассел, Джон Уэлсли (1905). Чистая геометрия . Кларендон Пресс.