Перекрестное соотношение

Точки A , B , C , D и A ′, B ′, C ′, D ′ связаны проективным преобразованием, поэтому их перекрестные отношения ( A , B ; C , D ) и ( A ′, B ′; C ′ , D ′) равны.

В геометрии , то двойное отношение , также называемый двойной коэффициент и ангармонический отношение , это число , связанное со списком четырех коллинеарных точек, в частности , точек на проективной прямой . Для четырех точек A , B , C и D на линии их поперечное отношение определяется как

${\ Displaystyle (А, В; С, D) = {\ гидроразрыва {AC \ cdot BD} {BC \ cdot AD}}}$

где ориентация линии определяет знак каждого расстояния, а расстояние измеряется в проекции в евклидово пространство . (Если один из четырех точек точки линии на бесконечности, то два расстояния , связанное с этой точкой, удаляется из формулы.) Точка D является гармонический сопряженным из C относительно A и B точно , если поперечное соотношение четверка равна -1, что называется гармоническим отношением . Таким образом, кросс-отношение можно рассматривать как измерение четверного отклонения от этого отношения; отсюда и название ангармонического отношения .

Поперечное отношение сохраняется дробно-линейными преобразованиями . По сути, это единственный проективный инвариант четверки коллинеарных точек; это лежит в основе его важности для проективной геометрии .

Перекрестное отношение было определено в глубокой древности, возможно, уже Евклидом , и было рассмотрено Паппом , который отметил его ключевое свойство инвариантности. Он широко изучался в 19 веке. ^[1]

Варианты этой концепции существуют для четверки совпадающих прямых на проективной плоскости и четверки точек на сфере Римана . В модели Кэли-Клейн из гиперболической геометрии , расстояние между точками выражаются в терминах некоторого двойного отношения.

Терминология и история [ править ]

D представляет собой гармонически сопряженная из C относительно A и B , так что поперечное соотношение ( , В , С , D ) равно -1.

Папп Александрийский неявно использовал понятия, эквивалентные перекрестному соотношению, в своем Сборнике: Книга VII . Среди первых пользователей Pappus были Исаак Ньютон , Мишель Часлес и Роберт Симсон . В 1986 году Александр Джонс сделал перевод оригинала Паппа, а затем написал комментарий о том, как леммы Паппа соотносятся с современной терминологией. ^[2]

Современное использование поперечного отношения в проективной геометрии началось с Лазара Карно в 1803 году с его книгой Géométrie de Position . Используемый термин был le rapport anharmonique (Fr: ангармонический коэффициент). Немецкие геометры называют это das Doppelverhältnis (нем. Двойное отношение).

Если заданы три точки на прямой, четвертая точка, которая делает поперечное отношение равным минус единице, называется проективным гармоническим сопряжением . В 1847 году Карл фон Штаудт назвал построение четвертой точки метанием ( Wurf ) и использовал эту конструкцию для демонстрации арифметики, неявной в геометрии. Его « Алгебра бросков» предлагает подход к численным предложениям, обычно принимаемым как аксиомы, но доказанным в проективной геометрии. ^[3]

Английский термин «перекрестное соотношение» был введен в 1878 году Уильямом Кингдоном Клиффордом . ^[4]

Определение [ править ]

Кросс-отношение четверки различных точек на реальной прямой с координатами z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,  z ₄ определяется выражением

${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {3} -z_ {1}) (z_ {4} -z_ {2} )} {(z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} -z_ {1})}}.}.$

Его также можно записать как «двойное соотношение» двух соотношений деления троек баллов:

${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {z_ {3} -z_ {1}} {z_ {3} -z_ {2}} }: {\ frac {z_ {4} -z_ {1}} {z_ {4} -z_ {2}}}.}$

Перекрестное отношение обычно распространяется на случай, когда один из z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,  z ₄ равен бесконечности, это делается путем удаления соответствующих двух разностей из формулы. Например:${\ Displaystyle (\ infty);}$

${\ displaystyle (\ infty, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {3} - \ infty) (z_ {4} -z_ {2})} {( z_ {3} -z_ {2}) (z_ {4} - \ infty)}} = {\ frac {(z_ {4} -z_ {2})} {(z_ {3} -z_ {2}) }}.}$

В обозначениях евклидовой геометрии , если точки A , B , C , D лежат на одной прямой, их поперечное отношение равно:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}},}$

где каждое из расстояний подписано в соответствии с последовательной ориентацией линии.

Те же формулы могут применяться к четырем различным комплексным числам или, в более общем плане, к элементам любого поля , а также могут быть расширены, как указано выше, на случай, когда одним из них является символ ∞.

Свойства [ править ]

Отношение четырех коллинеарных точек A , B , C , D можно записать как

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{CB}}:{\frac {AD}{DB}}}$

где описывает отношение, с которым точка C делит отрезок прямой AB , и описывает отношение, с которым точка D делит тот же отрезок прямой. Затем поперечное отношение появляется как отношение соотношений, описывающих, как две точки C , D расположены относительно отрезка AB . Пока точки A , B , C и D различны, перекрестное отношение ( A , B ; C , D ) будет ненулевым действительным числом. Мы легко можем сделать вывод, что${\displaystyle {\frac {AC}{CB}}}$${\displaystyle {\frac {AD}{DB}}}$

• ( A , B ; C , D ) <0 тогда и только тогда, когда одна из точек C , D лежит между точками A , B, а другая - нет.
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ↔ D ≠ E

Шесть перекрестных соотношений [ править ]

Четыре точки можно заказать за 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 способа, но есть только шесть способов разбить их на две неупорядоченные пары. Таким образом, четыре точки могут иметь только шесть различных перекрестных отношений, которые связаны следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda \\[6pt]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda \\[6pt]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }}\\[6pt]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }}\\[6pt]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}$

См. Ниже ангармоническую группу .

Проективная геометрия [ править ]

Поперечное отношение является проективным инвариантом в том смысле, что оно сохраняется при проективных преобразованиях проективной прямой.

В частности, если четыре точки лежат на прямой L в R ^2, то их перекрестное отношение является четко определенной величиной, потому что любой выбор начала координат и даже шкалы на линии приведет к одинаковому значению перекрестного отношения. соотношение.

Кроме того, пусть { L _i | 1 ≤ я ≤ 4} четыре различных линии в плоскости , проходящей через ту же точку Q . Тогда любая линия L , не проходящий через Q пересекает эти строки в четырех различных точек Р _я (если L является параллельным к L _я то соответствующая точка пересечения «на бесконечности»). Оказывается, что поперечное отношение этих точек (взятых в фиксированном порядке) не зависит от выбора прямой L и, следовательно, является инвариантом набора четырех прямых { L _i }.

Это можно понять следующим образом: если L и L ′ - две прямые, не проходящие через Q, то перспективное преобразование из L в L ′ с центром Q является проективным преобразованием, которое переводит четверку { P _i } точек на L в четверка { P _i ′} точек на L ′.

Следовательно, инвариантность поперечного отношения относительно проективных автоморфизмов прямой влечет (фактически эквивалентна) независимость поперечного отношения четырех коллинеарных точек { P _i } на прямых { L _i } от выбора строки, содержащей их.

Определение в однородных координатах [ править ]

Если четыре коллинеарных точки представлены в однородных координатах векторами a ,  b ,  c ,  d такими, что c = a + b и d = ka + b , то их перекрестное отношение равно  k . ^[5]

Роль в неевклидовой геометрии [ править ]

Артур Кэли и Феликс Кляйн нашли применение перекрестного отношения в неевклидовой геометрии . Учитывая неособый коническую C в реальном проективной плоскости , его стабилизатор G _С в проективной группы G = PGL (3, R ) действует транзитивно на точках в интерьере C . Однако существует инвариант действия G _C на парах точек. Фактически, каждый такой инвариант можно выразить как функцию соответствующего поперечного отношения. ^{[ цитата необходима]}

Гиперболическая геометрия [ править ]

Явно, пусть коника будет единичной окружностью . Для любых двух точек P , Q внутри единичной окружности. Если линия , соединяющая их пересекает окружность в двух точках, X и Y , а точки, в порядке, X , P , Q , Y . Тогда гиперболическое расстояние между P и Q в модели Кэли-Клейна в гиперболической плоскости может быть выражена как

${\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log \left({\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right)\right|}$

(коэффициент, равный половине, необходим для получения кривизны -1). Так как двойное отношение инвариантно относительно проективных преобразований, отсюда следует , что гиперболическое расстояние инвариантно относительно проективных преобразований, сохраняющих конический C .

Наоборот, группа G действует транзитивно на множестве пар точек ( p , q ) в единичном круге на фиксированном гиперболическом расстоянии.

Позже, отчасти под влиянием Анри Пуанкаре , перекрестное отношение четырех комплексных чисел на окружности было использовано для гиперболических метрик. Нахождение на окружности означает, что четыре точки являются изображением четырех реальных точек при преобразовании Мёбиуса , и, следовательно, поперечное отношение является действительным числом. Модель полуплоскости Пуанкаре и модель диска Пуанкаре - это две модели гиперболической геометрии на комплексной проективной прямой .

Эти модели являются примерами метрик Кэли – Клейна .

Ангармоническая группа и четырехгруппа Клейна [ править ]

Перекрестное отношение может быть определено любым из этих четырех выражений:

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).\,}$

Они отличаются следующими перестановками переменных (в обозначении цикла ):

${\displaystyle 1,\ (A,B)(C,D),\ (A,C)(B,D),\ (A,D)(B,C).}$

Мы можем рассмотреть перестановки четырех переменных в качестве действия в симметрической группы S ₄ на функции четырех переменных. Так как выше четырех перестановок оставить двойное отношение неизменном виде, они образуют стабилизатор K поперечного коэффициента под этим действием, и это индуцирует эффективное действие на фактор - группы на орбите двойного отношения. Четыре перестановки в K образуют реализацию четырехгруппы Клейна в S ₄ , а фактор-группа изоморфна симметрической группе S ₃ .${\displaystyle S_{4}/K}$${\displaystyle S_{4}/K}$

Таким образом, другие перестановки четырех переменных изменяют перекрестное отношение, чтобы дать следующие шесть значений, которые являются орбитой группы из шести элементов :${\displaystyle S_{4}/K\cong S_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }}\\[6pt](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda \\[6pt](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

Как функции от λ , это примеры преобразований Мёбиуса , которые при композиции функций образуют группу Мебиуса PGL (2, Z ) . Шесть преобразований образуют подгруппу, известную как ангармоническая группа , снова изоморфная S ₃ . Это элементы кручения ( эллиптические преобразования ) в PGL (2, Z ) . А именно, , и имеют порядок 2 с соответствующими фиксированными точками -1, 1/2 и 2 (а именно, орбита гармонического двойного отношения). Между тем, элементы и имеют порядок 3 в PGL (2,${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$${\displaystyle 1-\lambda \,}$${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$${\displaystyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$Z ) , и каждый фиксирует оба значения«наиболее симметричного» перекрестного отношения.${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$

Ангармоническая группа порождается λ ↦ 1 / λ и λ ↦ 1 - λ . Его действие на {0, 1, ∞} дает изоморфизм с S ₃ . Он также может быть реализован в виде шести упомянутых преобразований Мёбиуса ^[6], которые дают проективное представление S 3 над любым полем (поскольку оно определяется с помощью целочисленных элементов) и всегда является точным / инъективным (поскольку никакие два члена не отличаются только 1 / −1). Над полем с двумя элементами проективная прямая имеет только три точки, поэтому это представление является изоморфизмом и исключительным изоморфизмом . В характеристике 3 это стабилизирует точку${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2)}$${\displaystyle -1=[-1:1]}$, что соответствует орбите гармонического поперечного отношения, состоящей только из одной точки, поскольку . Над полем с 3 элементами проективная прямая имеет только 4 точки и , таким образом, представление является в точности стабилизатором гармонического поперечного отношения, в результате чего вложение равно стабилизатору точки .${\displaystyle 2=1/2=-1}$${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,3)}$${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$${\displaystyle -1}$

Исключительные орбиты [ править ]

Для определенных значений λ будет большая симметрия и, следовательно, будет меньше шести возможных значений перекрестного отношения. Эти значения λ соответствуют неподвижным точкам действия S ₃ на сфере Римана (заданным указанными выше шестью функциями); или, что то же самое, те точки с нетривиальным стабилизатором в этой группе перестановок.

Первый набор неподвижных точек - это {0, 1, ∞}. Однако кросс-отношение никогда не может принять эти значения, если точки A , B , C и D различны. Эти значения являются предельными значениями при сближении одной пары координат:

${\displaystyle (Z,B;Z,D)=(A,Z;C,Z)=0}$

${\displaystyle (Z,Z;C,D)=(A,B;Z,Z)=1}$

${\displaystyle (Z,B;C,Z)=(A,Z;Z,D)=\infty .}$

Второй набор неподвижных точек - {−1, 1/2, 2}. Эта ситуация является тем, что классически называется гармоническим поперечным отношением , и возникает в проективных гармонических сопряжениях . В реальном случае других исключительных орбит нет.

В сложном случае наиболее симметричное поперечное отношение имеет место, когда . Тогда это единственные два значения перекрестного отношения, и на них действуют в соответствии со знаком перестановки.${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$

Трансформационный подход [ править ]

Кросс-отношение инвариантно относительно проективных преобразований линии. В случае сложной проективной прямой или сферы Римана эти преобразования известны как преобразования Мёбиуса . Общее преобразование Мёбиуса имеет вид

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

Эти преобразования образуют группу, действующую на сфере Римана , группу Мёбиуса .

Проективная инвариантность кросс-отношения означает, что

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

Кросс-отношение реально тогда и только тогда, когда четыре точки либо коллинеарны, либо совмещены , что отражает тот факт, что каждое преобразование Мёбиуса отображает обобщенные окружности в обобщенные окружности.

Действие группы Мёбиуса просто транзитивно на множестве троек различных точек сферы Римана: для любой упорядоченной тройки различных точек ( z ₂ , z ₃ , z ₄ ) существует единственное преобразование Мёбиуса f ( z ), который отображает его в тройку (1, 0, ∞) . Это преобразование удобно описать с помощью кросс-отношения: поскольку ( z , z ₂ , z ₃ , z ₄ ) должны равняться ( f ( z), 1; 0, ∞) , которая, в свою очередь, равна f ( z ), получаем

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

Альтернативное объяснение инвариантности кросс-отношения основано на том факте, что группа проективных преобразований линии порождается переводами, гомотетиями и мультипликативной инверсией. Разности z _j - z _k инвариантны относительно сдвигов

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

где является постоянным в области заземления F . Кроме того, коэффициенты деления инвариантны относительно гомотетии

${\displaystyle z\mapsto bz}$

для ненулевой постоянной Ь в F . Следовательно, кросс-отношение инвариантно относительно аффинных преобразований .

Чтобы получить четко определенное отображение инверсии

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

аффинная прямая должна быть дополнена бесконечно удаленной точкой , обозначенной ∞, образующей проективную прямую P ¹ ( F ). Каждое аффинное отображение f  : F → F может быть однозначно продолжено до отображения P ¹ ( F ) в себя, которое фиксирует бесконечно удаленную точку. Карта T меняет местами 0 и ∞. Проективная группа порождается T и аффинными отображениями продолжаются на P ¹ ( F ). В случае F = C , комплексной плоскости , это приводит кГруппа Мебиуса . Поскольку кросс-отношение также инвариантно относительно T , оно инвариантно относительно любого проективного отображения P ¹ ( F ) в себя.

Описание координат [ править ]

Если мы запишем комплексные точки как векторы и определим , и пусть будет скалярным произведением с , тогда действительная часть поперечного отношения будет выражаться как:${\displaystyle {\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}}$${\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Это инвариант специального двумерного конформного преобразования, такого как инверсия .${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}}$

Мнимая часть должна использовать двумерное векторное произведение ${\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}$

${\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Омография кольца [ править ]

Концепция поперечного отношения зависит только от кольцевых операций сложения, умножения и инверсии (хотя инверсия данного элемента в кольце не определена). Один подход к кросс-соотношению интерпретирует его как гомографию, которая берет три обозначенные точки на 0, 1 и бесконечность. При ограничениях, связанных с инверсиями, такое отображение можно сгенерировать с помощью кольцевых операций на проективной прямой над кольцом . Перекрестное отношение четырех баллов является оценкой этой гомографии в четвертой точке.

Дифференциально-геометрическая точка зрения [ править ]

Теория приобретает аспект дифференциального исчисления, когда четыре точки сближаются. Это приводит к теории производной Шварца и, в более общем смысле, проективных связностей .

Многомерные обобщения [ править ]

Кросс-отношение не обобщается простым способом на более высокие измерения из-за других геометрических свойств конфигураций точек, в частности коллинеарности - конфигурационные пространства более сложны, а различные k -наборы точек не находятся в общем положении .

В то время как проективная линейная группа проективной прямой является 3-транзитивной (любые три различные точки могут быть отображены в любые другие три точки) и действительно просто 3-транзитивной (существует единственное проективное отображение, переводящее любую тройку в другую тройку), Таким образом, перекрестное отношение является единственным проективным инвариантом набора из четырех точек, поэтому существуют основные геометрические инварианты в более высокой размерности. Проективная линейная группа n -пространства имеет ( n  + 1) ²  - 1 размерность (поскольку она${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$проективизация, удаляющая одно измерение), но в других измерениях проективная линейная группа является только 2-транзитивной - потому что три коллинеарных точки должны отображаться в три коллинеарных точки (что не является ограничением в проективной прямой) - и, таким образом, нет " обобщенное кросс-отношение », обеспечивающее уникальный инвариант n ² точек.

Коллинеарность - не единственное геометрическое свойство конфигураций точек, которое необходимо поддерживать - например, пять точек определяют конику , но шесть общих точек не лежат на конике, поэтому также определяется, лежит ли какой-либо набор из шести точек на конике. проективный инвариант. Можно изучать орбиты точек в общем положении - в строке «общее положение» эквивалентно различию, в то время как в более высоких измерениях это требует геометрических соображений, как обсуждалось, - но, как указано выше, это более сложно и менее информативно.

Однако существует обобщение на римановы поверхности положительного рода , использующее отображение Абеля – Якоби и тета-функции .

См. Также [ править ]

• Метрика Гильберта

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ларс Альфорс (1953,1966,1979) Комплексный анализ , 1-е издание, стр. 25; 2-е и 3-е издания, стр. 78, ISBN McGraw-Hill 0-07-000657-1 . 
• Виктор Бласйо (2009) « Систематическое движение Якоба Штайнера: кульминация классической геометрии », Mathematical Intelligencer 31 (1): 21–9.
• Джон Дж. Милн (1911) «Элементарный трактат о геометрии поперечного отношения с историческими примечаниями» , издательство Cambridge University Press .
• Дирк Струк (1953) Лекции по аналитической и проективной геометрии , стр. 7, Addison-Wesley .
• И. Р. Шафаревич и А. О. Ремизов (2012) Линейная алгебра и геометрия , Springer ISBN 978-3-642-30993-9 . 

Внешние ссылки [ править ]

• MathPages - Кевин Браун объясняет перекрестное соотношение в своей статье о мистической гексаграмме Паскаля.
• Кросс-пропорция при разрубании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Поперечное соотношение» . MathWorld .
• Ардила, Федерико. «Поперечное соотношение» (видео) . YouTube . Брэди Харан . Проверено 6 июля 2018 года .