Карл Георг Кристиан фон Штаудт

Карл Г.К. фон Штаудт
Карл фон Штаудт (1798 - 1867)
Родился	24 января 1798 г. ( 1798-01-24 ) Вольный имперский город Ротенбург (современный Ротенбург-об-дер-Таубер , Германия )
Умер	1 июня 1867 г. (69 лет) ( 1867-07 ) Эрланген
Национальность	Немецкий
Альма-матер	Университет Эрлангена
Известен	Алгебра бросков теорема фон Штаудта-Клаузена
Научная карьера
Поля	Астрономия Математика
Докторант	Гаусс
Влияния	Гаусс
Под влиянием	Эдуардо Торроха Кабалье Коррадо Сегре Марио Пиери

Карл Георг Христиан фон Штаудт (24 января 1798 - 1 июня 1867) был немецким математиком, который использовал синтетическую геометрию в качестве основы для арифметики.

Жизнь и влияние

Карл родился в Вольном имперском городе Ротенбург, который сейчас в Германии называется Ротенбург-об-дер-Таубер . С 1814 г. учился в гимназии в Аусбахе. Он учился в Геттингенском университете с 1818 по 1822 год, где учился у Гаусса, который был директором обсерватории. Штаудт предоставил эфемериды для орбит Марса и астероида Паллада . Когда в 1821 году наблюдалась комета Николет-Понса, он предоставил элементы ее орбиты . Эти достижения в астрономии принесли ему докторскую степень в Университете Эрлангена в 1822 году.

Профессиональная карьера Штаудта началась в качестве преподавателя средней школы в Вюрцбурге до 1827 года, а затем в Нюрнберге до 1835 года. В 1832 году он женился на Жанетте Дрешлер. У них были сын Эдуард и дочь Матильда, но Жанетт умерла в 1848 году.

Книга Geometrie der Lage (1847) была вехой в проективной геометрии . Как писал Бурау (1976):

Штаудт был первым, кто применил полностью строгий подход. Все без исключения его предшественники по-прежнему говорили о расстояниях, перпендикулярах, углах и других объектах, которые не играют никакой роли в проективной геометрии. ^[1]

Кроме того, в этой книге (стр. 43) полный четырехугольник используется для «построения четвертой гармоники, связанной с тремя точками на прямой», проективно сопряженной гармоники .

Действительно, в 1889 году Марио Пиери перевел фон Штаудта, прежде чем написать его I Principii della Geometrie di Posizione Composti в un Systema Logico-deduttivo (1898). В 1900 году Шарлотта Скотт из Bryn Mawr College перефразировала большую часть работ фон Штаудта на английском языке для The Mathematical Gazette . ^[2] Когда Вильгельм Блашке опубликовал свой учебник « Проективная геометрия» в 1948 году, портрет молодого Карла был помещен напротив Форворта .

В своих трех томах Beiträge zur Geometrie der Lage, опубликованных с 1856 по 1860 годы, Штаудт вышел за рамки реальной проективной геометрии и перешел к сложному проективному пространству .

В 1922 году Х. Ф. Бейкер писал о работе фон Штаудта:

Это был фон Штаудт, для которого устранение идей дистанции и конгруэнтности было сознательной целью, если бы также признание важности этого могло быть значительно отложено, если бы не работа Кэли и Кляйн по проективной теории расстояния. . Обобщенные и объединенные с последующей диссертацией Римана, тома фон Штаудта должны рассматриваться как фундамент того, чем с геометрической стороны может стать теория относительности в физике. ^[3]

Фон Штаудт также известен своим взглядом на конические сечения и соотношение полюсов и полюсов :

Фон Штаудт сделал важное открытие: связь, устанавливаемая коникой между полюсами и полюсами, на самом деле более фундаментальна, чем сама коника, и может быть установлена ​​независимо. Затем эту «полярность» можно использовать для определения коники совершенно симметричным и непосредственно самодвойственным образом: коника - это просто геометрическое место точек, лежащих на их полюсах, или огибающая линий, проходящих через их полюса. . Трактовка фон Штаудта с квадриками аналогична в трех измерениях. ^[4]

Алгебра бросков

В 1857 году, во втором Beiträge , Штаудта способствовал маршрут к числу через геометрии называется алгебра бросков ( немецкий : Wurftheorie ). Он основан на проективном диапазоне и соотношении проективных гармонических сопряженных . С помощью операций сложения точек и умножения точек можно получить «алгебру точек», как в главе 6 учебника Веблена и Янга по проективной геометрии. Обычное представление основано на перекрестном соотношении ( CA, BD ) четырех коллинеарных точек. Например, Кулидж писал: ^[5]

Как сложить два расстояния? Мы даем им одну и ту же начальную точку, находим точку на полпути между их конечными точками, то есть гармоническое сопряжение бесконечности относительно их конечных точек, а затем находим гармоническое сопряжение начальной точки относительно этой середины. точка и бесконечность. Обобщая это, если мы хотим добавить броски ( CA, BD ) и ( CA, BD ' ), мы находим M гармоническое сопряжение C относительно D и D' , а затем S гармоническое сопряжение A относительно C и М  :

${\displaystyle (CA,BD)+(CA,BD')=(CA,BS).\ }$

Таким же образом мы можем найти определение произведения двух бросков. Поскольку произведение двух чисел имеет такое же отношение к одному из них, как и другое к единице, отношение двух чисел является перекрестным отношением, которое они, как пара, имеют к бесконечности и нулю, поэтому Фон Штаудт в предыдущих обозначениях определяет произведение двух бросков на

${\displaystyle (CA,BD)\cdot (CA,DD')=(CA,BD').}$

Эти определения включают в себя длинную серию шагов, чтобы показать, что определенная таким образом алгебра подчиняется обычным коммутативным, ассоциативным и распределительным законам и что делителей нуля не существует.

Сводное утверждение дано Вебленом и Янгом ^[6] как теорема 10: «Множество точек на прямой с удалением образует поле по отношению к ранее определенным операциям». Как отмечает Фройденталь ^{[7] : 199}${\displaystyle P_{\infty }}$

... вплоть до Гильберта не существовало другого примера такого прямого вывода алгебраических законов из геометрических аксиом, как в « Beiträge» фон Штаудта .

Еще одно подтверждение работы фон Штаудта с гармоническими сопряжениями представлено в форме теоремы:

Единственное взаимно однозначное соответствие между действительными точками на прямой, которое сохраняет гармоническое отношение между четырьмя точками, - это неособая проективность. ^[8]

Алгебра бросков была описана как «проективная арифметика» в «Четырех столпах геометрии» (2005). ^[9] В разделе «Проективная арифметика» он говорит

Настоящая трудность состоит в том, что , например, построение a + b отличается от построения b + a , поэтому это "совпадение", если a + b = b + a . Точно так же это «совпадение», если ab = ba , любого другого закона алгебры. К счастью, мы можем показать, что требуемые совпадения действительно имеют место, потому что они подразумеваются определенными геометрическими совпадениями, а именно теоремами Паппа и Дезарга.

Если интерпретировать работу фон Штаудта как построение действительных чисел , то она неполна. Одно из обязательных свойств - ограниченная последовательность имеет точку кластера . Как заметил Ганс Фройденталь :

Чтобы иметь возможность рассматривать подход фон Штаудта как строгую основу проективной геометрии, нужно только явно добавить топологические аксиомы, которые негласно использует фон Штаудт. ... как можно сформулировать топологию проективного пространства без метрики? Фон Штаудт был еще далек от того, чтобы поднять этот вопрос, который спустя четверть века станет актуальным. ... Феликс Кляйн заметил пробел в подходе фон Штаудта; он осознавал необходимость сформулировать топологию проективного пространства независимо от евклидова пространства ... итальянцы были первыми, кто нашел действительно удовлетворительные решения проблемы чисто проективного основания проективной геометрии, которую фон Штауд пытался решить. . ^[7]

Одним из итальянских математиков был Джованни Вайлати , изучавший свойство кругового порядка действительной проективной прямой. Наука этого порядка требует четвертичного отношения, называемого отношением разделения . Используя это отношение, концепции монотонной последовательности и предела могут быть рассмотрены в циклической «строке». Предполагая, что каждая монотонная последовательность имеет предел, ^[10] строка становится полным пробелом . Эти разработки были вдохновлены выводами фон Штаудта аксиом поля в качестве инициативы по выводу свойств из аксиом проективной геометрии.

Работает

• 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Нюрнберг
• 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco в факультативном философском обряде , Кэрол. G. Chr. де Штаудт. Erlangae: Junge.
• 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu acadeo rite obtinendi causa commentatus est, Кэрол. G. Chr. де Штаудт. Erlangae: Junge.

Следующие ссылки относятся к историко-математическим монографиям Корнельского университета :

• 1847: Geometrie der Lage . Нюрнберг.
• 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft . Нюрнберг.
• 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft . Нюрнберг.
• 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft . Нюрнберг.

Смотрите также

• W-кривая

использованная литература

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Карл Джордж Кристиан фон Штаудт" , архив истории математики MacTutor , Сент-Эндрюсский университет
• Веблен, Освальд; Янг, JWA (1938). Проективная геометрия . Бостон: ISBN Ginn & Co. 978-1-4181-8285-4.
• Джон Уэсли Янг (1930) Проективная геометрия , Глава 8: Алгебра точек и введение аналитических методов, Открытый суд для математической ассоциации Америки .