Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Полный четырехугольник (слева) и полный четырехугольник (справа).

В математике , особенно в геометрии инцидентности и особенно в проективной геометрии , полный четырехугольник - это система геометрических объектов, состоящая из любых четырех точек на плоскости , никакие три из которых не находятся на общей линии, и шести прямых, соединяющих шесть пар. очков. Двойственно , A полный четырехугольник представляет собой систему из четырех линий, никакие три из которых проходят через ту же точку, и шесть точек пересечения этих линий. Полный четырехугольник был назван tetrastigm по Лаклану (1893 г.) , а полный четырехугольник был назван тетраграммой; эти термины иногда все еще используются.

Диагонали [ править ]

Шесть линий полного четырехугольника встречаются попарно, образуя три дополнительные точки, называемые диагональными точками четырехугольника. Точно так же среди шести точек полного четырехугольника есть три пары точек, которые еще не соединены линиями; эти отрезки , соединяющие эти пары называются диагоналями . Благодаря открытию плоскости Фано , конечной геометрии, в которой диагональные точки полного четырехугольника коллинеарны , некоторые авторы дополнили аксиомы проективной геометрии аксиомой Фано о том, что диагональные точки не коллинеарны [1]. в то время как другие были менее строгими.

Набор сокращенных выражений для частей полного четырехугольника был введен Г. Б. Холстедом : он называет вершины четырехугольника точками , а диагональные точки - кодотами . Линии проективного пространства называются прямыми , а в четырехугольнике - соединителями . «Диагональные линии» Кокстера называются Холстедом противоположными соединителями . Противоположные разъемы крест-накрест на кодоте. Конфигурация полного четырехугольника - тетрастим . [2] Эти термины никогда не были широко приняты и представляют только исторический интерес.

Проективные свойства [ править ]

KLMN - полный четырехугольник;
D является гармоническая четвёрка из C относительно A и B .

Как системы точек и прямых, в которых все точки принадлежат одному и тому же количеству прямых и все прямые содержат одинаковое количество точек, полный четырехугольник и полный четырехугольник образуют проективные конфигурации ; в обозначении проективных конфигураций полный четырехугольник записывается как (4 3 6 2 ), а полный четырехугольник записывается как (6 2 4 3 ), где числа в этом обозначении относятся к количеству точек, линий на точку, прямых , и точек на строку конфигурации. Проективно двойственное полного четырехугольника полный четырехугольник, и наоборот. Для любых двух полных четырехугольников или любых двух полных четырехугольников существует единственныйпроективное преобразование, переводящее одну из двух конфигураций в другую. [3]

Карл фон Штаудт реформировал математические основы в 1847 году с помощью полного четырехугольника, когда он заметил, что «гармоническое свойство» может быть основано на сопутствующих элементах четырехугольника: когда каждая пара противоположных сторон четырехугольника пересекается на линии, тогда диагонали пересекают линию в проективных гармонических сопряженных позициях. Четыре точки на линии, происходящие от сторон и диагоналей четырехугольника, называются гармоническим диапазоном . Гармоническое свойство стабильно благодаря перспективности и проекции. Развитие современной геометрии и алгебры отмечает влияние фон Штаудта на Марио Пиери и Феликса Кляйна .

Евклидовы свойства [ править ]

В евклидовой плоскости четыре линии полного четырехугольника не должны включать никаких пар параллельных прямых, так что каждая пара прямых имеет точку пересечения.

Уэллс (1991) описывает несколько дополнительных свойств полных четырехугольников, которые включают метрические свойства евклидовой плоскости , а не являются чисто проективными. Середины диагоналей коллинеарны и (как доказал Исаак Ньютон ) также коллинеарны центру коники , касательной ко всем четырем прямым четырехугольника. Любые три линии четырехугольника образуют стороны треугольника; в ортоцентрах четырех треугольников , образованных в этом пути , лежит на вторую линии, перпендикулярных к одному через середины. В окружности ,этих же четырех треугольников встречаются в одной точке. Кроме того, три окружности, имеющие диагонали в качестве диаметров, принадлежат к общему пучку окружностей [4], ось которого является линией, проходящей через ортоцентры.

В полярных кругах из треугольников полного четырехугольника образует коаксиальные системы. [5] : с. 179

См. Также [ править ]

  • Линия Ньютона
  • Девятиконечная коническая
  • Четырехугольник

Примечания [ править ]

  1. ^ Хартсхорн 1967 ; Кокстер, 1987 , стр. 15.
  2. ^ GB Halsted (1906) Синтетическая проективная геометрия , страница 14
  3. Перейти ↑ Coxeter 1987 , p. 51
  4. ^ Уэллс неправильно пишет, что три круга встречаются в паре точек, но, как видноиз анимации Александра Богомольного тех же результатов, карандаш может быть гиперболическим, а не эллиптическим, и в этом случае круги не пересекаются.
  5. Перейти ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publications, 2007 (ориг. 1960).

Ссылки [ править ]

  • Кокстер, HSM (1987). Проективная геометрия, 2-е изд . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96532-7.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  • Хартсхорн, Робин (1967). Основы проективной геометрии . WA Бенджамин. С. 53–6.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )
  • Лахлан, Роберт (1893). Элементарный трактат по современной чистой геометрии . Лондон, Нью-Йорк: Macmillan and Co.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )Ссылка из монографий по исторической математике Корнельского университета . См., В частности, тетрастигм, стр. 85, и тетраграмму, стр. 90.
  • Уэллс, Дэвид (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Пингвин. С.  35–36 . ISBN 0-14-011813-6.CS1 maint: ref = harv ( ссылка )

Внешние ссылки [ править ]

  • "Четырехугольник, полный" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Богомольный Александр . «Полный четырехугольник» . Разрежьте узел .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Полный четырехугольник» . MathWorld .