Полярный круг (геометрия)

Полярный круг (красный) треугольника ABC

полярный круг (d), окружность из девяти точек (t), описанная окружность (e), описанная окружность касательного треугольника (ов)

В геометрии , то полярный круг из треугольника является кругом , центр которого треугольник ортоцентра и чей квадрат радиуса

${\ displaystyle {\ begin {align} r ^ {2} & = HA \ times HD = HB \ times HE = HC \ times HF \\ & = - 4R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C = 4R ^ {2} - {\ frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}), \ end {align}}}$

где A, B, C обозначают как вершины треугольника, так и меры углов в этих вершинах, H - ортоцентр (пересечение высот треугольника ), D , E , F - основания высот из вершин A, B, C. соответственно, R является треугольник в описанной окружности (радиус его окружности ), а , Ь , с являются длинами сторон треугольника противоположных вершин A , B, C соответственно. ^{[1] : стр. 176}

Первые части формулы радиуса отражают тот факт, что ортоцентр делит высоты на пары сегментов равных произведений. Тригонометрическая формула радиус показывает , что полярный круг имеет реальное существование только тогда , когда треугольник является тупым , так что один из его углов тупая и , следовательно , имеет отрицательный косинус .

Свойства [ править ]

Любые два полярных кругов двух треугольников в качестве orthocentric системы являются ортогональными . ^{[1] : стр. 177}

Полярные круги треугольников полного четырехугольника образуют коаксиальную систему. ^{[1] : стр. 179}

Описанная окружность треугольника, окружность с девятью точками , полярная окружность и описанная окружность касательного треугольника соосны. ^{[2] : с. 241}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Полярный круг» . MathWorld .