В геометрии , высота из треугольника является отрезок через вершину и перпендикуляр к (то есть, образуя прямой угол с) строкой , содержащего основание ( со стороны , противоположной вершиной). Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенной базой высоты. Пересечение расширенной базы и высоты называется подножием.высоты. Длина высоты, часто называемая просто «высотой», - это расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины к стопе называется понижением высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .
Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника: половина произведения длины высоты и длины основания равна площади треугольника. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .
В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) высота, имеющая неконгруэнтную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве основания. Также высота, имеющая инконгруэнтную сторону в качестве основы, будет биссектрисой угла при вершине.
Обычно высоту отмечают буквой h (как высота ), часто с подписями к названию стороны, на которую рисуется высота.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если обозначить длину высоты через h c , то получим соотношение
Для острых треугольников все основания высот приходятся на стороны треугольника (не вытянутые). В тупоугольном треугольнике (треугольнике с тупым углом ) основание высоты до тупоугольной вершины попадает внутрь противоположной стороны, но основания высот к остроугольным вершинам падают на противоположную вытянутую сторону. , вне треугольника. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупом треугольнике высота, пониженная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает расширенную горизонтальную сторону вне треугольника.
Ортоцентр
Три (возможно , расширено) абсолютные высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентр треугольника, обычно обозначаемый Н . [1] [2] Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый (т.е. не имеет угла больше или равного прямому). Если один угол является прямым углом, ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. [2]
Пусть A , B , C обозначают вершины, а также углы треугольника, и пусть a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | быть длинами сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты [3]
Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки на внешней стороне, а две из барицентрических координат равны нулю для вершины, барицентрические координаты, данные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри острого треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и вне тупого треугольника .
На комплексной плоскости пусть точки A , B и C представляют числа , и, соответственно, и предположим, что центр описанной окружности треугольника ABC находится в начале координат плоскости. Тогда комплексное число
представлен точкой H , а именно ортоцентром треугольника ABC . [4] Отсюда можно непосредственно установить следующие характеристики ортоцентра H с помощью свободных векторов :
Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром . [5]
Характеристики
Пусть D , E и F обозначают основания высот от A , B и C соответственно. Потом:
- Произведение длин сегментов, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот: [6] [7]
- Круг с центром в H, имеющий радиус квадратный корень из этой константы, является полярным кругом треугольника . [8]
- Сумма отношений на трех высотах расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1: [9] (Это и следующее свойство являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и через него три чевиана .)
- Сумма отношений на трех высотах расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2: [9]
- Изогональный конъюгат из ортоцентра является окружностью треугольника. [10]
- Изотомическое сопряжение из ортоцентра является симедиана точкой из антикомплементарную треугольника . [11]
- Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного другими тремя, называются ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.
Связь с кругами и кониками
Обозначим описанной окружности треугольника с помощью R . Тогда [12] [13]
Кроме того, обозначая r как радиус вписанной окружности треугольника , r a , r b и r c как радиусы его вневписанных окружностей , а R снова как радиус его описанной окружности, следующие соотношения справедливы относительно расстояний ортоцентра от вершины: [14]
Если любую высоту, например AD , продолжить до пересечения описанной окружности в точке P , так что AP является хордой описанной окружности, то основание D делит отрезок HP пополам : [7]
В директрисах всех парабол , которые внешне касательную к одной из сторон треугольника и касательной к продолжениям других сторон проходят через ортоцентр. [15]
Circumconic , проходящий через ортоцентр треугольника является прямоугольной гиперболой . [16]
Отношение к другим центрам, девятиконечный круг
Ортоцентр H , центроид G , центр описанной окружности O и центр N окружности из девяти точек лежат на одной прямой, известной как линия Эйлера . [17] Центр окружности из девяти точек находится в средней точке линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центром тяжести и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центром тяжести и ортоцентром: [18]
Ортоцентр ближе к центру I, чем к центроиду, а ортоцентр дальше, чем центр тяжести от центроида:
С точки зрения сторон a, b, c , радиуса r и описанного радиуса R , [19]
- [20] : с. 449
Ортический треугольник
Если треугольник АВС является косым (не содержит правый угол), то педаль треугольник из ортоцентра исходного треугольника называется orthic треугольник или высота треугольника . То есть основания высот наклонного треугольника образуют ортический треугольник DEF . Кроме того, центр (центр вписанной окружности) ортогонального треугольника DEF является ортоцентром исходного треугольника ABC . [21]
Трилинейные координаты вершин ортогонального треугольника задаются выражением
- D = 0: сек B : сек C
- E = сек A : 0: сек C
- F = сек A : сек B : 0 .
В протяженной стороны этого треугольника пересекается orthic противоположности расширенной стороны ее опорного треугольника в три коллинеарных точках . [22] [23] [21]
В любом остром треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром является ортическим треугольником. [24] Это решение проблемы Фаньяно , поставленной в 1775 году. [25] Стороны ортогонального треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника. [26]
Ортический треугольник острого треугольника дает треугольный световой путь. [27]
Касательные линии девятиконечной окружности в серединах сторон ABC параллельны сторонам ортогонального треугольника, образуя треугольник, подобный ортическому треугольнику. [28]
Ортический треугольник тесно связан с касательным треугольником , построенным следующим образом: пусть L A - прямая, касательная к описанной окружности треугольника ABC в вершине A , и аналогично определим L B и L C. Пусть A " = L B ∩ L C , B" = L C ∩ L A , C " = L C ∩ L A. Касательный треугольник - это A" B "C" , стороны которого являются касательными к описанной окружности треугольника ABC. в его вершинах; он гомотетичен ортическому треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия ортического и касательного треугольников находятся на прямой Эйлера . [20] : с. 447
Трилинейные координаты вершин касательного треугольника задаются выражением
- A " = - a : b : c
- B " = a : - b : c
- C " = a : b : - c .
Дополнительную информацию об ортическом треугольнике см. Здесь .
Некоторые дополнительные теоремы о высоте
Высота по сторонам
Для любого треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром s = ( a + b + c ) / 2 высота со стороны a определяется выражением
Это следует из сочетания формулы Герона для площади треугольника с точкой зрения сторон с формулой площади (1/2) × × высота базы, где основание берутся в качестве бокового а , а высота высоты от A .
Теоремы Инрадиуса
Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c и соответствующими высотами h a , h b и h c . Высоты и радиус вписанной окружности r связаны соотношением [29] : Лемма 1
Теорема о круговом радиусе
Обозначая высоту от одной стороны треугольника как ч а , а две другие стороны как б и с , и треугольника описанной окружности (радиус описанной окружности треугольника) , как R , высота задается [30]
Внутренняя точка
Если p 1 , p 2 и p 3 - перпендикулярные расстояния от любой точки P до сторон, а h 1 , h 2 и h 3 - высоты до соответствующих сторон, то [31]
Теорема площади
Обозначая высоты любого треугольника со сторонами a , b и c соответственно как, , а также , и обозначив полусумму обратных величин высот как у нас есть [32]
Общая точка на высоте
Если E - любая точка на высоте AD любого треугольника ABC , то [33] : 77–78
Треугольники особого случая
Равносторонний треугольник
Для любой точки P внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике три высоты h a , h b и h c (первые две из которых равны длинам участков b и a соответственно) связаны согласно [34] [35]
Это также известно как обратная теорема Пифагора .
История
Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, ортоцентре, была впервые доказана в публикации 1749 года Уильямом Чапплом . [36]
Смотрите также
- Центр треугольника
- Медиана (геометрия)
Заметки
- Перейти ↑ Smart 1998 , p. 156
- ^ a b Berele & Goldman 2001 , стр. 118
- ^ Энциклопедия Кларк Кимберлинг о Triangle центров «архивной копии» . Архивировано из оригинала на 2012-04-19 . Проверено 19 апреля 2012 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Андрееску, Титу; Андрица, Дорин , "Комплексные числа от А до ... Я". Биркхойзер, Бостон, 2006 г., ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, Предложение 3
- ^ Дёрри, Генрих, "100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142
- ^ Джонсон 2007 , стр. 163, статья 255
- ^ а б « « Ортоцентр треугольника » » . Архивировано из оригинала на 2012-07-05 . Проверено 4 мая 2012 .
- ^ Джонсон 2007 , стр. 176, статья 278
- ^ a b Panapoi, Ronnachai, "Некоторые свойства ортоцентра треугольника" , Университет Джорджии .
- Перейти ↑ Smart 1998 , p. 182
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Изотомическое сопряжение" из MathWorld - веб-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Ортоцентр". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
- ^ Altshiller-суд 2007 , стр. 102
- ↑ Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, обратная ей и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Parabola. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
- ↑ Weisstein, Eric W. Jerabek Hyperbola. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
- ^ Berele & Goldman 2001 , стр. 123
- ^ Berele & Goldman 2001 , стр. 124-126
- ^ Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника вне касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
- ^ a b Смит, Джефф и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.
- ^ а б Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ISBN. 0-8218-3900-4.См. Также: следствие 5.5, с. 318.
- ^ Джонсон 2007 , стр. 199, статья 315
- ^ Altshiller-суд 2007 , стр. 165
- ^ Джонсон 2007 , стр. 168, статья 264
- ^ Berele & Goldman 2001 , стр. 120-122
- ^ Джонсон 2007 , стр. 172, Раздел 270c
- ↑ Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые пути», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298-299.
- ^ Кей, Дэвид К. (1993), College Geometry / A Discovery Approach , HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4
- ^ Дорин Андрица и Дэн Стефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства к R ≥ 2r Эйлера». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
- ^ Джонсон 2007 , стр. 71, раздел 101а
- ^ Джонсон 2007 , стр. 74, Раздел 103c
- ^ Митчелл, Дуглас В., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
- ^ Альфред S Посаментьер и Чарльз Т. Залкинд, сложные проблемы в геометрии , Dover Publishing Co., второй пересмотренное издание 1996 года.
- ^ Волс, Роджер, "Целочисленные решения, " Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., стр. 269–271".
- ^ Richinick, Дженнифер, "Перевернутая теоремы Пифагора," Математический вестник 92 июля 2008, 313-317.
- ^ Богомольный, Александр , «Возможно первое доказательство совпадения высот» , Cut The Knot , дата обращения 17.11.2019
Рекомендации
- Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], College Geometry , Dover Publications
- Береле, Аллан; Голдман, Джерри (2001), Геометрия / Теоремы и конструкции , Прентис Холл, ISBN 0-13-087121-4
- Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
- Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-35188-3
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Высота» . MathWorld .
- Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
- Анимированная демонстрация построения ортоцентра. Компас и линейка.
- Проблема Фаньяно Джея Варендорфа, Wolfram Demonstrations Project .