Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник с вертикальной осью симметрии
Тип	треугольник
Ребра и вершины	3
Символ Шлефли	() ∨ {}
Группа симметрии	Dih 2 , [], (*), порядок 2
Двойной многоугольник	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый , циклический

В геометрии , равнобедренный треугольник является треугольником , который имеет две стороны одинаковой длины. Иногда указывается, что у него ровно две стороны равной длины, а иногда как минимум две стороны равной длины, последняя версия, таким образом, включает равносторонний треугольник в качестве особого случая . Примеры равнобедренных треугольников включают равнобедренный прямоугольный треугольник , золотой треугольник , а также грани бипирамид и некоторых каталонских тел .

Математическое изучение равнобедренных треугольников восходит к древнеегипетской математике и вавилонской математике . Равнобедренные треугольники использовались в качестве украшения еще с более ранних времен и часто появляются в архитектуре и дизайне, например, на фронтонах и фронтонах зданий.

Две равные стороны называются ногами, а третья сторона называется основанием треугольника. Другие размеры треугольника, такие как его высота, площадь и периметр, могут быть рассчитаны по простым формулам, исходя из длин ног и основания. Каждый равнобедренный треугольник имеет ось симметрии вдоль серединного перпендикуляра к его основанию. Два угла напротив сторон равны и всегда остры , поэтому классификация треугольника как острого, прямого или тупого зависит только от угла между двумя его сторонами.

Терминология, классификация и примеры [ править ]

Евклид определил равнобедренный треугольник как треугольник с точно двумя равными сторонами ^[1], но современные методы лечения предпочитают определять равнобедренные треугольники как имеющие по крайней мере две равные стороны. Разница между этими двумя определениями заключается в том, что современная версия делает равносторонние треугольники (с тремя равными сторонами) частным случаем равнобедренных треугольников. ^[2] Неравнобедренный треугольник (имеющий три неравные стороны) называется разносторонним . ^[3] «Равнобедренный» образовано от греческих корней «isos» (равный) и «skelos» (нога). То же слово используется, например, для равнобедренных трапеций , трапеций с двумя равными сторонами ^[4] и для равнобедренных множеств., множества точек, каждые три из которых образуют равнобедренный треугольник. ^[5]

В равнобедренном треугольнике, который имеет ровно две равные стороны, равные стороны называются ногами, а третья сторона называется основанием . Угол, образующийся между ножками, называется углом при вершине, а углы, которые имеют основание в качестве одной из сторон, называются базовыми углами . ^[6] Вершина напротив основания называется вершиной . ^[7] В случае равностороннего треугольника, поскольку все стороны равны, любую сторону можно назвать основанием. ^[8]

Будет ли равнобедренный треугольник острым, прямым или тупым, зависит только от угла при его вершине. В евклидовой геометрии базовые углы не могут быть тупыми (больше 90 °) или прямыми (равными 90 °), потому что их размер будет составлять не менее 180 °, сумму всех углов в любом евклидовом треугольнике. ^[8] Поскольку треугольник является тупым или прямым тогда и только тогда, когда один из его углов тупой или прямой, соответственно, равнобедренный треугольник является тупым, прямым или острым тогда и только тогда, когда его угол при вершине соответственно тупой, прямой или острый. ^[7] В книге Эдвина Эбботта « Флатландия» эта классификация форм использовалась как сатира социальной иерархии : равнобедренные треугольники представляли собойрабочий класс , с острыми равнобедренными треугольниками выше в иерархии, чем прямые или тупые равнобедренные треугольники. ^[9]

Помимо равнобедренного прямоугольного треугольника , были изучены несколько других специфических форм равнобедренных треугольников. Они включают в себя треугольник Калаби (треугольник с тремя конгруэнтными вписанными квадратами), ^[10] золотой треугольник и золотой гномон (два равнобедренных треугольников , чьи сторон и основание в золотой пропорции ), ^[11] 80-80-20 треугольника , появляющийся в Лэнгли Адвентивных Углов головоломки, ^[12] и 30-30-120 треугольника из тройнозубых акул треугольной плитки . Пять каталонских тел , триакис тетраэдр ,октаэдр триаки , шестигранник тетракис , додекаэдр пентакис и триакис икосаэдр имеют грани равнобедренного треугольника, как и бесконечное множество пирамид ^[8] и бипирамид . ^[13]

Формулы [ править ]

Высота [ править ]

Для любого равнобедренного треугольника следующие шесть отрезков совпадают:

• высота , отрезок от вершины перпендикуляра к основанию, ^[14]
• биссектриса от вершины к основанию, ^[14]
• медианный от вершины к средней точке основания, ^[14]
• перпендикуляр основания внутри треугольника, ^[14]
• сегмент внутри треугольника единственной оси симметрии треугольника, и ^[14]
• сегмент внутри треугольника линии Эйлера треугольника, кроме равностороннего треугольника . ^[15]

Их общая длина равна высоте треугольника. Если треугольник имеет равные стороны длины и основания длины , общие формулы треугольника для длин этих сегментов все упрощаются до ^[16]${\ displaystyle h}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle h = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Эту формулу можно также вывести из теоремы Пифагора, используя тот факт, что высота делит основание пополам и делит равнобедренный треугольник на два равнобедренных прямоугольных треугольника. ^[17]

Линия Эйлера любого треугольника проходит через ортоцентр треугольника (пересечение трех его высот), его центр тяжести (пересечение трех его медиан) и его центр описанной окружности (пересечение серединных перпендикуляров его трех сторон, которое также является центр описанной окружности, проходящей через три вершины). В равнобедренном треугольнике с ровно двумя равными сторонами эти три точки различны и (по симметрии) все лежат на оси симметрии треугольника, из чего следует, что линия Эйлера совпадает с осью симметрии. Вписанной треугольника также лежит на прямой Эйлера, то , что это не верно и для других треугольников. ^[15]Если любые два из биссектрис угла, медианы или высоты совпадают в данном треугольнике, этот треугольник должен быть равнобедренным. ^[18]

Площадь [ править ]

Площадь равнобедренного треугольника может быть получена по формуле для его высоты и по общей формуле для площади треугольника как половины произведения основания и высоты: ^[16]${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T = {\ frac {b} {4}} {\ sqrt {4a ^ {2} -b ^ {2}}}.}$

Та же самая формула площади может быть получена из формулы Герона для площади треугольника с трех сторон. Однако прямое применение формулы Герона может быть численно нестабильным для равнобедренных треугольников с очень острыми углами из-за почти полного сокращения между полупериметром и длиной стороны в этих треугольниках. ^[19]

Если угол при вершине и длина ног равнобедренного треугольника известны, то площадь этого треугольника равна: ^[20]${\ Displaystyle (\ тета)}$${\ Displaystyle (а)}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ sin \ theta.}$

Это частный случай общей формулы для площади треугольника, равной половине произведения двух сторон, умноженной на синус включенного угла. ^[21]

Периметр [ править ]

Периметр равнобедренного треугольника с равными сторонами и основанием равен ^[16]${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle p = 2a + b.}$

Как и в любом треугольнике, площадь и периметр связаны изопериметрическим неравенством ^[22]${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p ^ {2}> 12 {\ sqrt {3}} т.}$

Это строгое неравенство для равнобедренных треугольников со сторонами, не равными основанию, и становится равенством для равностороннего треугольника. Площадь, периметр и основание также могут быть связаны друг с другом уравнением ^[23]

${\ displaystyle 2pb ^ {3} -p ^ {2} b ^ {2} + 16T ^ {2} = 0.}$

Если основание и периметр фиксированы, то эта формула определяет площадь результирующего равнобедренного треугольника, которая является максимально возможной среди всех треугольников с одинаковым основанием и периметром. ^[24] С другой стороны, если площадь и периметр фиксированы, эту формулу можно использовать для восстановления базовой длины, но не однозначно: в целом есть два различных равнобедренных треугольника с заданной площадью и периметром . Когда изопериметрическое неравенство превращается в равенство, остается только один такой треугольник, который является равносторонним. ^[25]${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p}$

Длина биссектрисы угла [ править ]

Если две равные стороны имеют длину, а другая сторона имеет длину , то биссектриса внутреннего угла от одной из двух равных угловых вершин удовлетворяет ^[26]${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {2ab} {a + b}}> t> {\ frac {ab {\ sqrt {2}}} {a + b}}}$

а также

${\ displaystyle t <{\ frac {4a} {3}};}$

и наоборот, если последнее условие выполняется, равнобедренный треугольник параметризован и существует. ^[27]${\ displaystyle a}$${\ displaystyle t}$

Теорема Штейнера – Лемуса утверждает, что каждый треугольник с двумя биссектрисами равной длины равнобедренный. Он был сформулирован в 1840 г. К.Л. Лемусом . Другой его тезка, Якоб Штайнер , был одним из первых, кто предложил решение. ^[28] Хотя изначально он был сформулирован только для биссектрис внутреннего угла, он работает во многих (но не во всех) случаях, когда вместо этого две биссектрисы внешних углов равны. Равнобедренный треугольник 30-30-120 представляет собой граничный случай для этой вариации теоремы, поскольку он имеет четыре равных биссектрисы (две внутренние и две внешние). ^[29]

Радиусы [ править ]

Формулы для внутреннего и описанного радиуса для равнобедренного треугольника могут быть получены из их формул для произвольных треугольников. ^[30] Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника с длиной стороны , основанием и высотой равен: ^[16]${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {\ frac {2ab-b ^ {2}} {4h}}.}$

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии от основания. Равнобедренный треугольник имеет самый большой вписанный круг среди треугольников с тем же основанием и углом при вершине, а также имеет самую большую площадь и периметр среди треугольников того же класса. ^[31]

Радиус описанной окружности равен: ^[16]

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {2h}}.}$

Центр круга лежит на оси симметрии треугольника, на этом расстоянии ниже вершины.

Расписанный квадрат [ править ]

Для любого равнобедренного треугольника существует уникальный квадрат, одна сторона которого коллинеарна основанию треугольника, а два противоположных угла на его сторонах. Треугольник Калаби это специальный равнобедренный треугольник со свойством , что два других вписанных квадратов со сторонами коллинеарны со сторонами треугольника, одного и того же размера, что и основной площади. ^[10] Гораздо более старая теорема, сохранившаяся в трудах Героя Александрийского , гласит, что для равнобедренного треугольника с основанием и высотой длина стороны вписанного квадрата в основание треугольника равна ^[32]${\ displaystyle b}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {\ frac {bh} {b + h}}.}$

Равнобедренное подразделение других форм [ править ]

Для любого целого числа любой треугольник можно разбить на равнобедренные треугольники. ^[33] В прямоугольном треугольнике медиана от гипотенузы (то есть отрезок прямой от середины гипотенузы до прямоугольной вершины) делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника. Это связано с тем, что середина гипотенузы является центром описанной окружности прямоугольного треугольника, и каждый из двух треугольников, образованных разделением, имеет два равных радиуса в качестве двух сторон. ^[34] Точно так же острый треугольник можно разделить на три равнобедренных треугольника отрезками от его центра описанной окружности, ^[35]${\ displaystyle n \ geq 4}$${\ displaystyle n}$но этот метод не работает для тупых треугольников, потому что центр описанной окружности лежит вне треугольника. ^[30]

Обобщая разбиение острого треугольника, любой циклический многоугольник , содержащий центр его описанной окружности, может быть разбит на равнобедренные треугольники радиусами этого круга, проходящего через его вершины. Тот факт, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину, означает, что все эти треугольники равнобедренные. Это разбиение можно использовать для получения формулы площади многоугольника в зависимости от его длин сторон, даже для циклических многоугольников, которые не содержат центров окружностей. Эта формула обобщает формулу Герона для треугольников и формулу Брахмагупты для циклических четырехугольников . ^[36]

Либо по диагонали из через ромб делит его на два конгруэнтные равнобедренные треугольники. Точно так же одна из двух диагоналей воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника, которые не совпадают, за исключением случая, когда воздушный змей представляет собой ромб. ^[37]

Приложения [ править ]

В архитектуре и дизайне [ править ]

Равнобедренные треугольники обычно появляются в архитектуре как формы фронтонов и фронтонов . В древнегреческой архитектуре и ее более поздних подражаниях использовался тупой равнобедренный треугольник; в готической архитектуре его заменил острый равнобедренный треугольник. ^[8]

В архитектуре средневековья стала популярна другая форма равнобедренного треугольника: египетский равнобедренный треугольник. Это равнобедренный треугольник, имеющий меньшую остроту, чем равносторонний; его высота пропорциональна 5/8 его основания. ^[38] Египетский равнобедренный треугольник был возвращен в использование в современной архитектуре голландским архитектором Хендриком Петрусом Берлаге . ^[39]

Ферменные конструкции Уоррена , такие как мосты, обычно располагаются в виде равнобедренных треугольников, хотя иногда также включаются вертикальные балки для дополнительной прочности. ^[40] Поверхности, замощенные тупыми равнобедренными треугольниками, могут использоваться для формирования развертываемых структур, которые имеют два стабильных состояния: развернутое состояние, в котором поверхность расширяется до цилиндрической колонны, и сложенное состояние, в котором она складывается в более компактную форму призмы, которая можно легче транспортировать. ^[41]

В графическом дизайне и декоративном искусстве равнобедренные треугольники были частым элементом дизайна в культурах по всему миру, по крайней мере, от раннего неолита ^[42] до наших дней. ^[43] Они являются обычным элементом дизайна флагов и геральдики , заметно выступая с вертикальным основанием, например, на флаге Гайаны , или с горизонтальным основанием на флаге Сент-Люсии , где они образуют стилизованное изображение горный остров. ^[44]

Они также используются в конструкциях с религиозной или мистической значимости, например , в Шри Янтра из индуистской медитационной практики . ^[45]

В других областях математики [ править ]

Если кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет три корня, которые не являются действительными числами , то, когда эти корни нанесены на комплексную плоскость в виде диаграммы Аргана, они образуют вершины равнобедренного треугольника, ось симметрии которого совпадает с горизонтальной (действительной) осью. . Это потому, что комплексные корни являются комплексно сопряженными и, следовательно, симметричными относительно действительной оси. ^[46]

В небесной механике , то задача трех тел было изучено в специальном случае, когда три тела образуют равнобедренный треугольник, потому что если предположить , что тела расположены таким образом , уменьшает число степеней свободы системы , не снижая его к решен случай лагранжевой точки, когда тела образуют равносторонний треугольник. Первые примеры неограниченных колебаний в задаче трех тел были в равнобедренной задаче трех тел. ^[47]

История и заблуждения [ править ]

Задолго до того, как равнобедренные треугольники были изучены древнегреческими математиками , практики древнеегипетской математики и вавилонской математики знали, как вычислить их площадь. Задачи этого типа включены в Московский математический папирус и Математический папирус Райнда . ^[48]

Теорема о том, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, появляется как Предложение I.5 в Евклиде. ^[49] Этот результат получил название Pons asinorum (мост ослов) или теоремы о равнобедренном треугольнике. Соперничающие объяснения этого имени включают теорию, что это потому, что диаграмма, используемая Евклидом в его демонстрации результата, напоминает мост, или потому, что это первый трудный результат Евклида, и он действует, чтобы отделить тех, кто может понять геометрию Евклида от тех, кто кто не может. ^[50]

Хорошо известное заблуждение - это ложное доказательство утверждения, что все треугольники равнобедренные . Робин Уилсон кредитует этот аргумент Льюиса Кэрролла , ^[51] , который опубликовал его в 1899 году, но WW Рауза Бал опубликовал ее в 1892 году и позже написал , что Кэрролл получил аргумент от него. ^[52] Заблуждение коренится в непризнании Евклидом концепции промежуточности и вытекающей из этого двусмысленности внутреннего и внешнего фигур. ^[53]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. , «Равнобедренный треугольник» , MathWorld